Ossos de Napier - Napier's bones

Um conjunto incomum de ossos de Napier do século 18 em que os números estão em cilindros giratórios em vez de hastes de seção transversal quadrada

Os ossos de Napier são um dispositivo de cálculo operado manualmente, criado por John Napier de Merchiston , Escócia , para o cálculo de produtos e quocientes de números. O método era baseado na multiplicação em rede , também chamado de 'rabdologia', uma palavra inventada por Napier. Napier publicou sua versão em 1617. impressa em Edimburgo , dedicada a seu patrono Alexander Seton .

Usando as tabelas de multiplicação embutidas nas barras, a multiplicação pode ser reduzida a operações de adição e a divisão a subtrações. O uso avançado das hastes pode extrair raízes quadradas . Os ossos de Napier não são iguais aos logaritmos , aos quais o nome de Napier também está associado, mas são baseados em tabuadas dissecadas.

O dispositivo completo geralmente inclui uma placa de base com um aro; o usuário coloca as hastes de Napier dentro da borda para conduzir a multiplicação ou divisão. A borda esquerda do tabuleiro é dividida em nove quadrados, contendo os números de 1 a 9. No design original de Napier, as hastes são feitas de metal, madeira ou marfim e têm uma seção transversal quadrada. Cada haste é gravada com uma tabuada de multiplicação em cada uma das quatro faces. Em alguns projetos posteriores, as hastes são planas e têm duas mesas ou apenas uma gravada nelas e feitas de plástico ou papelão grosso. Um conjunto desses ossos pode ser colocado em uma maleta de transporte.

A face de uma vara é marcada com nove quadrados. Cada quadrado, exceto o topo, é dividido em duas metades por uma linha diagonal do canto inferior esquerdo ao superior direito. Os quadrados contêm uma tabela de multiplicação simples. O primeiro contém um único dígito, que Napier chamou de "único". Os outros mantêm os múltiplos do único, ou seja, duas vezes o único, três vezes o único e assim por diante até o nono quadrado contendo nove vezes o número do quadrado superior. Os números de um dígito são escritos no triângulo inferior direito, deixando o outro triângulo em branco, enquanto os números de dois dígitos são escritos com um dígito em cada lado da diagonal.

Se as tabelas forem seguradas em barras de um lado, 40 barras são necessárias para multiplicar os números de 4 dígitos - uma vez que os números podem ter dígitos repetidos, quatro cópias da tabela de multiplicação para cada um dos dígitos de 0 a 9 são necessárias. Se forem usadas barras quadradas, as 40 tábuas de multiplicação podem ser inscritas em 10 barras. Napier deu detalhes de um esquema para organizar as tabelas de modo que nenhuma barra tenha duas cópias da mesma tabela, permitindo que cada número possível de quatro dígitos seja representado por 4 das 10 barras. Um conjunto de 20 hastes, consistindo em duas cópias idênticas das 10 hastes de Napier, permite o cálculo com números de até oito dígitos, e um conjunto de 30 hastes pode ser usado para números de 12 dígitos.

Multiplicação

O tipo mais simples de multiplicação, um número com vários dígitos por um número com um único dígito, é feito colocando barras que representam o número de vários dígitos no quadro contra a borda esquerda. A resposta é lida na linha correspondente ao número de um dígito que está marcado à esquerda do quadro, com uma pequena soma necessária, conforme explicado nos exemplos abaixo.

Ao multiplicar um número de vários dígitos por outro número de vários dígitos, o número maior é configurado nas hastes do quadro. Um resultado intermediário é produzido pelo dispositivo para multiplicação por cada um dos dígitos do número menor. Estas são anotadas e o resultado final é calculado com papel e caneta.

Para demonstrar como usar os ossos de Napier para multiplicação, três exemplos de dificuldade crescente são explicados abaixo.

Exemplo 1 - multiplicação por um pequeno número de um único dígito

O primeiro exemplo calcula 425 × 6 .

Os ossos de Napier para 4, 2 e 5 são colocados no tabuleiro. Os ossos do maior número são multiplicados. Como um exemplo dos valores sendo derivados de tabelas de multiplicação, os valores da sétima linha do osso 4 seriam  8 , derivados de 7 × 4 = 28 . No exemplo abaixo para 425 × 6 , os ossos são representados como vermelho, amarelo e azul, respectivamente.

Primeira etapa para resolver 425 × 6

A coluna mais à esquerda antes de qualquer um dos ossos poderia ser representada como o osso 1, que teria um espaço em branco ou zero no canto superior esquerdo separado por uma linha diagonal, uma vez que 1 × 1 = 01 , 1 × 2 = 02 , 1 x 3 = 03 , etc. Um pequeno número é escolhido, geralmente de 2 a 9, pelo qual multiplicar o grande número. Neste exemplo, o pequeno número multiplicado por é 6. A linha em que esse número está localizado é a única linha necessária para realizar os cálculos restantes e, portanto, geralmente é isolada do resto do quadro para maior clareza.

Segunda etapa para resolver 425 × 6

O cálculo pode ser iniciado em qualquer uma das extremidades. Os valores separados por linhas verticais são adicionados para formar os dígitos dos produtos. O último número encontrado nessa linha horizontal de ossos nunca exigirá adição, pois está sempre isolado pela última linha. Sempre estará no "lugar" do produto. Para os outros dígitos, os dois números de osso adjacentes separados por linhas verticais são somados. Neste exemplo, existem quatro dígitos, uma vez que existem quatro grupos de valores ósseos separados por linhas. Os dígitos do produto vão na mesma ordem em que são calculados. Além do último (ou primeiro) dígito, os dígitos do produto serão a soma de dois valores retirados de dois ossos diferentes.

Terceira etapa da resolução de 425 × 6

Os valores ósseos são adicionados para obter os dígitos do produto. O terceiro dígito do produto dos ossos amarelo e azul tem seus valores relevantes coloridos em verde. Cada soma está escrita no espaço abaixo. Os resultados das somas da esquerda para a direita produzem a resposta final de 2550. Portanto, a solução para multiplicar 425 por 6 é 2550.

Exemplo 2 - multiplicação por um número maior de um dígito

Ao multiplicar por dígitos únicos maiores, é comum que, ao adicionar uma coluna diagonal, a soma dos números resulte em um número igual ou superior a 10.

O segundo exemplo calcula 6785 × 8 .

Como no exemplo 1, os ossos correspondentes ao maior número são colocados no tabuleiro. Para este exemplo, os ossos 6, 7, 8 e 5 foram colocados na ordem correta, conforme mostrado abaixo.

Primeira etapa para resolver 6785 × 8

Na primeira coluna, é localizado o número pelo qual o maior número é multiplicado. Neste exemplo, o número era 8. Apenas a linha 8 será usada para os cálculos restantes, portanto, o resto do quadro foi limpo para maior clareza na explicação das etapas restantes.

Segunda etapa para resolver 6785 × 8

Como antes, cada coluna diagonal é avaliada, começando pelo lado direito. Se a soma de uma coluna diagonal for igual ou superior a 10, a casa das "dezenas" dessa soma deve ser transportada e adicionada junto com os números na coluna esquerda adjacente, conforme demonstrado abaixo.

Terceira etapa da resolução de 6785 × 8

Depois que cada coluna diagonal é avaliada, os números calculados são lidos da esquerda para a direita para produzir uma resposta final; neste exemplo, 54280 foi produzido.

Portanto: A solução para multiplicar 6785 por 8 é 54280.

Exemplo 3 - multiplicação por um número de vários dígitos

O terceiro exemplo calcula 825 × 913 .

Os ossos correspondentes ao número inicial são colocados no tabuleiro. Para este exemplo, os ossos 8, 2 e 5 foram colocados na ordem correta, conforme mostrado abaixo.

Primeira etapa para resolver 825 × 913

Para multiplicar por um número de vários dígitos, várias linhas são revisadas. Para este exemplo, as linhas para 9, 1 e 3 foram removidas do quadro para maior clareza.

Segunda etapa para resolver 825 × 913

Cada linha é avaliada individualmente e cada coluna diagonal é adicionada conforme explicado nos exemplos anteriores. As somas são lidas da esquerda para a direita, produzindo os números necessários para os cálculos de adição longos a seguir. Para este exemplo, linha 9, linha 1 e linha 3 foram avaliadas separadamente para produzir os resultados mostrados abaixo.

Terceira etapa da resolução de 825 × 913

Começando com o dígito mais à direita do segundo número, as somas são colocadas a partir das linhas em ordem sequencial, conforme visto da direita para a esquerda, uma sob a outra, utilizando um 0 para um marcador de posição.

   2475
   8250
 742500

As linhas e os espaços reservados são somados para produzir uma resposta final.

    2475
    8250
+ 742500
  753225

Neste exemplo, a resposta final produzida foi 753225. Portanto: A solução para multiplicar 825 por 913 é 753225.

Divisão

A divisão é realizada de forma semelhante. Para dividir 46785399 por 96431, as barras do divisor (96431) são colocadas na placa, conforme mostrado no gráfico abaixo. Usando o ábaco, todos os produtos do divisor de 1 a 9 são encontrados lendo os números exibidos. Observe que o dividendo tem oito dígitos, enquanto os produtos parciais (exceto o primeiro) têm seis. Portanto, os dois dígitos finais de 46785399, ou seja, '99', são temporariamente ignorados, deixando o número 467853. Em seguida, o maior produto parcial que é menor que o dividendo truncado é encontrado. Neste caso, 385724. Duas coisas devem ser marcadas, como visto no diagrama: uma vez que 385724 está na linha '4' do ábaco, um '4' é marcado como o dígito mais à esquerda do quociente; o produto parcial, alinhado à esquerda, sob o dividendo original, também é escrito. Os dois termos são subtraídos, o que deixa 8212999. As mesmas etapas são repetidas: o número é truncado para seis dígitos, o produto parcial imediatamente menor que o número truncado é escolhido, o número da linha é escrito como o próximo dígito do quociente, e o produto parcial é subtraído da diferença encontrada na primeira repetição. O processo é mostrado no diagrama. O ciclo é repetido até que o resultado da subtração seja menor que o divisor. O número restante é o resto.

Napier-example-3.png

Portanto, neste exemplo, o que resta é um quociente de 485 com um restante de 16364. O processo geralmente para aqui e a resposta usa a forma fracionária 485+16364/96431.

Para obter mais precisão, o ciclo continua para encontrar quantas casas decimais forem necessárias. Um ponto decimal é marcado após o último dígito do quociente e um zero é acrescentado ao resto que deixa 163640. O ciclo continua, cada vez acrescentando um zero ao resultado após a subtração.

Extraindo raízes quadradas

Para a extração da raiz quadrada, utiliza-se um osso adicional, diferente dos demais por possuir três colunas. A primeira coluna contém os primeiros nove números quadrados, a segunda os primeiros nove números pares e a última os números de 1 a 9.

Hastes de Napier com osso de raiz quadrada
  1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 01 02 03 04 05 06 07 08 09 01     2 1
2 02 04 06 08 10 12 14 16 18 04     4 2
3 03 06 09 12 15 18 21 24 27 09     6 3
4 04 08 12 16 20 24 28 32 36 16     8 4
5 05 10 15 20 25 30 35 40 45 25   10 5
6 06 12 18 24 30 36 42 48 54 36   12 6
7 07 14 21 28 35 42 49 56 63 49   14 7
8 08 16 24 32 40 48 56 64 72 64   16 8
9 09 18 27 36 45 54 63 72 81 81   18 9

Para encontrar a raiz quadrada de 46785399, seus dígitos são agrupados em dois, começando da direita, para ter a seguinte aparência:

46 78 53 99
Observação: um número com um número ímpar de dígitos, como 85399, seria agrupado como 08 53 99

O grupo mais à esquerda é escolhido primeiro, neste caso 46. O maior quadrado no osso da raiz quadrada com menos de 46 é escolhido, que é 36 da sexta linha. O primeiro dígito da solução é 6, já que a sexta linha foi escolhida.

Então, o número na segunda coluna da sexta linha no osso da raiz quadrada, 12, é definido no tabuleiro.

O valor na primeira coluna da sexta linha, 36, é subtraído de 46, o que deixa 10.

O próximo grupo de dígitos, 78, é adicionado próximo a 10; isso deixa o restante 1078.

Nesta fase, o quadro e os cálculos intermediários devem ter a seguinte aparência:

  1 2
1 01 02 01     2 1
2 02 04 04     4 2
3 03 06 09     6 3
4 04 08 16     8 4
5 05 10 25   10 5
6 06 12 36   12 6
7 07 14 49   14 7
8 08 16 64   16 8
9 09 18 81   18 9
46 78 53 99    =    6
       − 36
         10 78

Os números em cada linha são "lidos", ignorando a segunda e a terceira colunas da raiz quadrada; estes são registrados. (Por exemplo, a sexta linha é lida como: 06 12 36 → 756 ).

Como na multiplicação mostrada antes, os números são lidos da direita para a esquerda e somam os números diagonais do canto superior direito ao esquerdo inferior ( 6 + 0 = 6 ; 3 + 2 = 5 ; 1 + 6 = 7 ).

O maior número menor que o restante atual, 1078 (da oitava linha), é encontrado.

  1 2 (valor)
1 01 02 01     2 1 121
2 02 04 04     4 2 244
3 03 06 09     6 3 369
4 04 08 16     8 4 496
5 05 10 25   10 5 625
6 06 12 36   12 6 756
7 07 14 49   14 7 889
8 08 16 64   16 8 1024
9 09 18 81   18 9 1161
46 78 53 99    =    6836
         10 78
       − 10 24
            54

Como antes, 8 é acrescentado para obter o próximo dígito da raiz quadrada e o valor da oitava linha, 1024, é subtraído do restante atual, 1078, para obter 54. A segunda coluna da oitava linha na raiz quadrada , 16, é lido e o número é definido no quadro como segue.

O número atual no quadro é 12. O primeiro dígito de 16 é adicionado a 12 e o segundo dígito de 16 é acrescentado ao resultado. Portanto, a placa deve ser definida para:

12 + 1 = 13 → anexar 6 → 136
Nota: Se a segunda coluna da raiz quadrada tem apenas um dígito, ele é anexado ao número atual no quadro.

O quadro e os cálculos intermediários agora têm esta aparência.

  1 3 6
1 01 03 06 01     2 1
2 02 06 12 04     4 2
3 03 09 18 09     6 3
4 04 12 24 16     8 4
5 05 15 30 25   10 5
6 06 18 36 36   12 6
7 07 21 42 49   14 7
8 08 24 48 64   16 8
9 09 27 54 81   18 9
46 78 53 99    =    68
       − 36
         10 78
       − 10 24
            54 53

Mais uma vez, a linha com o maior valor menor que o restante parcial atual, 5453, é encontrada. Desta vez, é a terceira linha com 4089.

  1 3 6  
1 01 03 06 01     2 1 1361
2 02 06 12 04     4 2 2724
3 03 09 18 09     6 3 4089
4 04 12 24 16     8 4 5456
5 05 15 30 25   10 5 6825
6 06 18 36 36   12 6 8196
7 07 21 42 49   14 7 9569
8 08 24 48 64   16 8 10944
9 09 27 54 81   18 9 12321
46 78 53 99    =    68336
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64

O próximo dígito da raiz quadrada é 3. As mesmas etapas anteriores são repetidas e 4089 é subtraído do restante atual, 5453, para obter 1364 como o próximo restante. Quando o tabuleiro é reorganizado, a segunda coluna da raiz quadrada é 6, um único dígito. Portanto, 6 é acrescentado ao número atual no quadro, 136, para deixar 1366 no quadro.

136 → anexar 6 → 1366
  1 3 6 6
1 01 03 06 06 01     2 1
2 02 06 12 12 04     4 2
3 03 09 18 18 09     6 3
4 04 12 24 24 16     8 4
5 05 15 30 30 25   10 5
6 06 18 36 36 36   12 6
7 07 21 42 42 49   14 7
8 08 24 48 48 64   16 8
9 09 27 54 54 81   18 9
46 78 53 99    =    683
       − 36
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99

O processo é repetido novamente. Agora, o maior valor na placa menor que o restante atual, 136499, é 123021 da nona linha.

O valor de cada linha geralmente não precisa ser encontrado para obter a resposta. A linha que contém a resposta pode ser adivinhada observando o número nos primeiros ossos e comparando-o com os primeiros dígitos do restante. Mas os diagramas mostram o valor de todas as linhas para torná-lo compreensível.

9 é acrescentado ao resultado e 123021 é subtraído do restante atual.

  1 3 6 6  
1 01 03 06 06 01     2 1 13661
2 02 06 12 12 04     4 2 27324
3 03 09 18 18 09     6 3 40989
4 04 12 24 24 16     8 4 54656
5 05 15 30 30 25   10 5 68325
6 06 18 36 36 36   12 6 81996
7 07 21 42 42 49   14 7 95669
8 08 24 48 48 64   16 8 109344
9 09 27 54 54 81   18 9 123021
46 78 53 99    =    683936
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99
          − 12 30 21
             1 34 78

Se todos os dígitos foram usados ​​e um resto é deixado, então a parte inteira é resolvida, mas um bit fracionário ainda precisa ser encontrado.

Se a parte inteira for resolvida, o resultado atual ao quadrado ( 6839 2 = 46771921 ) deve ser o maior quadrado perfeito menor que 46785899.

Essa ideia é usada mais tarde para entender como a técnica funciona, mas mais dígitos podem ser gerados.

Semelhante a encontrar a porção fracionária na divisão longa , dois zeros são anexados ao restante para obter o novo restante 1347800. A segunda coluna da nona linha do osso da raiz quadrada é 18 e o número atual no tabuleiro é 1366.

1366 + 1 → 1367 → anexar 8 → 13678

é calculado para definir 13678 no quadro.

O quadro e os cálculos intermediários agora se parecem com isso.

  1 3 6 7 8
1 01 03 06 07 08 01     2 1
2 02 06 12 14 16 04     4 2
3 03 09 18 21 24 09     6 3
4 04 12 24 28 32 16     8 4
5 05 15 30 35 40 25   10 5
6 06 18 36 42 48 36   12 6
7 07 21 42 49 56 49   14 7
8 08 24 48 56 64 64   16 8
9 09 27 54 63 72 81   18 9
46 78 53 99.00    =    6839.
       − 36
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99
          − 12 30 21
             1 34 78 00

A nona linha com 1231101 é o maior valor menor que o restante, então o primeiro dígito da parte fracionária da raiz quadrada é 9.

  1 3 6 7 8  
1 01 03 06 07 08 01     2 1 136781
2 02 06 12 14 16 04     4 2 273564
3 03 09 18 21 24 09     6 3 410349
4 04 12 24 28 32 16     8 4 547136
5 05 15 30 35 40 25   10 5 683925
6 06 18 36 42 48 36   12 6 820716
7 07 21 42 49 56 49   14 7 957509
8 08 24 48 56 64 64   16 8 1094304
9 09 27 54 63 72 81   18 9 1231101
46 78 53 99.00    =    6839.936
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99
          − 12 30 21
             1 34 78 00
           − 1 23 11 01
               11 66 99

O valor da nona linha é subtraído do restante e mais alguns zeros são acrescentados para obter o novo restante 11669900. A segunda coluna na nona linha é 18 com 13678 no tabuleiro, então

13678 + 1 → 13679 → anexar 8 → 136798

é calculado para definir 136798 no quadro.

  1 3 6 7 9 8
1 01 03 06 07 09 08 01     2 1
2 02 06 12 14 18 16 04     4 2
3 03 09 18 21 27 24 09     6 3
4 04 12 24 28 36 32 16     8 4
5 05 15 30 35 45 40 25   10 5
6 06 18 36 42 54 48 36   12 6
7 07 21 42 49 63 56 49   14 7
8 08 24 48 56 72 64 64   16 8
9 09 27 54 63 81 72 81   18 9
46 78 53 99.00 00    =    6839.9
       − 36
         10 78
       − 10 24
            54 53
          − 40 89
            13 64 99
          − 12 30 21
             1 34 78 00
           − 1 23 11 01
               11 66 99 00

As etapas podem ser continuadas para encontrar quantos dígitos forem necessários e se a precisão necessária for alcançada. Se o resto se tornar zero, isso significa que a raiz quadrada exata foi encontrada.

Arredondamento para cima

Tendo encontrado o número de dígitos desejado, é fácil determinar se ele precisa ou não de arredondamento; ou seja, alterando o último dígito. Outro dígito não precisa ser encontrado para ver se ele é igual ou maior que 5. 25 é anexado à raiz e é comparado ao restante; se for menor ou igual ao restante, o próximo dígito será pelo menos cinco e será necessário arredondar para cima. No exemplo acima, 6839925 é menor que 11669900, então a raiz precisa ser arredondada para 6840,0.

Para encontrar a raiz quadrada de um número que não seja um inteiro, digamos 54.782,917, tudo é o mesmo, exceto que os dígitos à esquerda e à direita do ponto decimal são agrupados em dois.

Portanto, 54.782.917 seriam agrupados como

05 47 82,91 70

Em seguida, a raiz quadrada pode ser encontrada usando o processo mencionado anteriormente.

Modificação diagonal

Durante o século 19, os ossos de Napier foram transformados para torná-los mais fáceis de ler. As hastes foram feitas com um ângulo de cerca de 65 ° para que os triângulos que deveriam ser adicionados fossem alinhados. Nesse caso, em cada quadrado da barra a unidade está à direita e o dez (ou o zero) à esquerda.

Napier Modification.png

As hastes foram feitas de forma que as linhas verticais e horizontais fossem mais visíveis do que a linha onde as hastes se tocavam, tornando os dois componentes de cada dígito do resultado mais fáceis de ler. Assim, na imagem é imediatamente claro que:

987654321 × 5 = 4938271605

Governantes Genaille-Lucas

Em 1891, Henri Genaille inventou uma variante dos ossos de Napier que ficou conhecida como governantes Genaille-Lucas . Ao representar o carry graficamente, os resultados de problemas de multiplicação simples podem ser lidos diretamente, sem cálculos mentais intermediários.

O exemplo a seguir calcula 52749 × 4 = 210996 .

Governantes Genaille-Lucas, exemplo 5.png

Veja também

Referências

links externos