Esponja Menger - Menger sponge

Uma ilustração de M ₄ , a esponja após quatro iterações do processo de construção

Em matemática , a esponja Menger (também conhecido como o cubo Menger , Menger curva universal , Sierpinsky cubo , ou esponja Sierpinsky ) é uma curva fractal . É uma generalização tridimensional do conjunto Cantor unidimensional e do tapete Sierpinski bidimensional . Foi descrito pela primeira vez por Karl Menger em 1926, em seus estudos do conceito de dimensão topológica .

Construção

Imagem 3: uma representação escultural das iterações 0 (parte inferior) a 3 (parte superior).

A construção de uma esponja Menger pode ser descrita da seguinte forma:

Comece com um cubo.
Divida cada face do cubo em nove quadrados, como o Cubo de Rubik . Isso subdivide o cubo em 27 cubos menores.
Remova o cubo menor no meio de cada face e remova o cubo menor bem no centro do cubo maior, deixando 20 cubos menores. Esta é uma esponja Menger de nível 1 (semelhante a um cubo vazio ).
Repita as etapas dois e três para cada um dos cubos menores restantes e continue a iterar ad infinitum .

A segunda iteração fornece uma esponja de nível 2, a terceira iteração fornece uma esponja de nível 3 e assim por diante. A própria esponja Menger é o limite desse processo após um número infinito de iterações.

Uma ilustração da construção iterativa de uma esponja Menger até M ₃ , a terceira iteração

Animação da esponja Menger através de (4) etapas de recursão

Propriedades

Seção transversal hexagonal de uma esponja Menger de nível 4. Veja uma série de cortes perpendiculares à diagonal do espaço.

O º estágio da esponja Menger,, é feito de cubos menores, cada um com um comprimento lateral de (1/3) ⁿ . O volume total de é assim . A área de superfície total de é dada pela expressão . Portanto, o volume da construção se aproxima de zero, enquanto sua área de superfície aumenta sem limites. No entanto, qualquer superfície escolhida na construção será completamente perfurada à medida que a construção continua, de modo que o limite não seja um sólido nem uma superfície; ele tem uma dimensão topológica de 1 e, portanto, é identificado como uma curva. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle M_ {n}}$ ${\ displaystyle 20 ^ {n}}$ ${\ displaystyle M_ {n}}$ ${\ displaystyle ({\ frac {20} {27}}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle M_ {n}}$ ${\ displaystyle 2 (20/9) ^ {n} +4 (8/9) ^ {n}}$

Cada face da construção se torna um tapete Sierpinski , e a intersecção da esponja com qualquer diagonal do cubo ou qualquer linha média das faces é um conjunto de Cantor . A seção transversal da esponja através de seu centróide e perpendicular a um espaço diagonal é um hexágono regular perfurado com hexagramas dispostos em simetria sêxtupla. O número desses hexagramas, em tamanho decrescente, é dado por , com . ${\ displaystyle a_ {n} = 9a_ {n-1} -12a_ {n-2}}$ ${\ displaystyle a_ {0} = 1, \ a_ {1} = 6}$

A dimensão de Hausdorff da esponja élog 20/log 3≅ 2.727. A dimensão de cobertura de Lebesgue da esponja de Menger é única, igual a qualquer curva . Menger mostrou, na construção de 1926, que a esponja é uma curva universal , em que toda curva é homeomórfica a um subconjunto da esponja de Menger, onde uma curva significa qualquer espaço métrico compacto de Lebesgue cobrindo a dimensão um; isto inclui árvores e gráficos com uma arbitrária contáveis número de arestas, vértices e circuitos fechados, ligados de forma arbitrária. De maneira semelhante, o tapete Sierpinski é uma curva universal para todas as curvas que podem ser traçadas no plano bidimensional. A esponja de Menger construída em três dimensões estende essa ideia a gráficos que não são planos e podem ser incorporados em qualquer número de dimensões.

A esponja Menger é um conjunto fechado ; uma vez que também é limitado, o teorema de Heine-Borel implica que ele é compacto . Possui medida de Lebesgue 0. Por conter caminhos contínuos, é um conjunto incontável .

Experimentos também mostraram que, para o mesmo material, cubos com estrutura de esponja Menger podem dissipar choques cinco vezes melhor do que cubos sem poros.

Cubos com estruturas fractais de Menger após o carregamento da onda de choque. A cor indica o aumento de temperatura associado à deformação plástica.

Definição formal

Projeção equirretangular de 360 ° do meio de uma esponja Menger de nível 5
( vista como um panorama interativo de 360 ° )

Formalmente, uma esponja Menger pode ser definida da seguinte forma:

{\ displaystyle M: ​​= \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} M_ {n}}

onde está o cubo unitário e ${\ displaystyle M_ {0}}$

{\ displaystyle M_ {n + 1}: = \ left \ {{\ begin {matrix} (x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: & {\ begin {matrix} \ exists i , j, k \ in \ {0,1,2 \} :( 3x-i, 3y-j, 3z-k) \ in M_ {n} \\ {\ mbox {e no máximo um de}} i, j, k {\ mbox {é igual a 1}} \ end {matriz}} \ end {matriz}} \ direita \}.}

MegaMenger

MegaMenger foi um projeto com o objetivo de construir o maior modelo fractal, lançado por Matt Parker da Queen Mary University de Londres e Laura Taalman da James Madison University . Cada pequeno cubo é feito de seis cartões de visita dobrados entrelaçados, dando um total de 960.000 para uma esponja de nível quatro. As superfícies externas são então cobertas com painéis de papel ou papelão impressos com um desenho de carpete Sierpinski para serem mais esteticamente agradáveis. Em 2014, vinte esponjas Menger de nível três foram construídas, que combinadas formariam uma esponja Menger de nível quatro distribuída.

Um dos MegaMengers, na Universidade de Bath
Um modelo de uma tetrix vista através do centro do Cambridge Level-3 MegaMenger no Cambridge Science Festival 2015

Fractais semelhantes

Cubo de jerusalém

Um cubo de Jerusalém é um objeto fractal descrito por Eric Baird em 2011. Ele é criado pela perfuração recursiva de orifícios gregos em forma de cruz em um cubo. O nome vem de uma face do cubo semelhante a um padrão de cruz de Jerusalém .

A construção do cubo de Jerusalém pode ser descrita da seguinte forma:

Comece com um cubo.
Corte uma cruz em cada lado do cubo, deixando oito cubos (de classificação +1) nos cantos do cubo original, bem como doze cubos menores (de classificação +2) centrados nas bordas do cubo original entre cubos de classificação +1.
Repita o processo nos cubos de classificação 1 e 2.

Cada iteração adiciona oito cubos de classificação um e doze cubos de classificação dois, um aumento de vinte vezes. (Semelhante à esponja Menger, mas com dois cubos de tamanhos diferentes.) Iterando um número infinito de vezes resulta no cubo de Jerusalém.

Terceira iteração do cubo de Jerusalém
Cubo de Jerusalém modelo impresso em 3D
Floco de neve de Sierpinski-Menger. Oito cubos de canto e um cubo central são mantidos

Outros

Um floco de neve Mosely é um fractal baseado em cubo com cantos removidos recursivamente.
Um tetrix é um fractal baseado em tetraedro feito de quatro cópias menores, organizadas em um tetraedro.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2001), teoria da função geométrica e análise não linear , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, MR 1859913.
Zhou, Li (2007), "Problem 11208: Chromatic numbers of the Menger sponges", American Mathematical Monthly , 114 (9): 842, JSTOR 27642353

links externos

Esponja Menger na Wolfram MathWorld
The 'Business Card Menger Sponge', da Dra. Jeannine Mosely - uma exposição online sobre este gigante fractal de origami no Institute For Figuring
Uma esponja Menger interativa
Modelos Java interativos
Puzzle Hunt - Vídeo explicando os paradoxos de Zenão usando a esponja de Menger – Sierpinski
Esfera Menger , renderizada em SunFlow
Post-it Menger Sponge - uma esponja Menger de nível 3 sendo construída a partir de Post-its
O Mistério da Esponja Menger. Cortado diagonalmente para revelar estrelas
Sequência OEIS A212596 (número de cartas necessárias para construir uma esponja Menger de nível n no origami)
Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge por dois "Mathekniticians"
Dickau, R .: Cubo de Jerusalém Discussão adicional.

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