Tensor de tensão de Maxwell - Maxwell stress tensor

O tensor de tensão Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell ) é um tensor simétrico de segunda ordem usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e o momento mecânico . Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças na carga a partir da lei de força de Lorentz . Quando a situação se torna mais complicada, esse procedimento comum pode se tornar impraticavelmente difícil, com equações abrangendo várias linhas. Portanto, é conveniente coletar muitos desses termos no tensor de tensão de Maxwell e usar a aritmética do tensor para encontrar a resposta para o problema em questão.

Na formulação relativística do eletromagnetismo, o tensor de Maxwell aparece como uma parte do tensor eletromagnético tensão-energia, que é o componente eletromagnético do tensor tensão-energia total . O último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo .

Motivação

Força de Lorentz (por unidade de 3-volume) f em uma distribuição de carga contínua ( densidade de carga ρ ) em movimento. A 3 densidade de corrente J corresponde ao movimento do elemento de carga dq no elemento de volume dV e varia ao longo do continuum.

Como descrito em seguida, a força electromagnética é escrita em termos de E e B . Usando o cálculo vetorial e as equações de Maxwell , busca-se a simetria nos termos que contêm E e B , e a introdução do tensor de tensão de Maxwell simplifica o resultado.

Equações de Maxwell em unidades SI no vácuo
(para referência)
Nome Forma diferencial
Lei de Gauss (no vácuo)
Lei de Gauss para o magnetismo
Equação de Maxwell-Faraday
(lei de indução de Faraday)
Lei circuital de Ampère (no vácuo)
(com a correção de Maxwell)
  1. Começando com a lei da força de Lorentz

    a força por unidade de volume é

  2. Em seguida, ρ e J podem ser substituídos pelos campos E e B , usando a lei de Gauss e a lei circuital de Ampère :
  3. A derivada do tempo pode ser reescrita em algo que pode ser interpretado fisicamente, ou seja, o vetor de Poynting . Usando a regra do produto e a lei da indução de Faraday

    e agora podemos reescrever f como

    em seguida, coletar os termos com E e B

  4. Um termo parece estar "faltando" na simetria em E e B , o que pode ser obtido inserindo (∇ ⋅ B ) B por causa da lei de Gauss para o magnetismo :

    Eliminar os cachos (que são bastante complicados de calcular), usando a identidade do cálculo vetorial

    leva a:

  5. Esta expressão contém todos os aspectos do eletromagnetismo e momentum e é relativamente fácil de calcular. Ele pode ser escrito de forma mais compacta, introduzindo o tensor de tensão de Maxwell ,

    Todos, exceto o último termo de f, podem ser escritos como a divergência de tensor do tensor de tensão de Maxwell, dando:

    ,

    Como no teorema de Poynting , o segundo termo no lado direito da equação acima pode ser interpretado como a derivada de tempo da densidade de momento do campo EM, enquanto o primeiro termo é a derivada de tempo da densidade de momento para as partículas massivas. Desta forma, a equação acima será a lei de conservação do momento na eletrodinâmica clássica.

    onde o vetor de Poynting foi introduzido

na relação acima para a conservação do momento, é a densidade de fluxo de impulso e desempenha um papel semelhante ao de teorema de Poynting .

A derivação acima assume o conhecimento completo de ρ e J (cargas e correntes livres e limitadas). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão não linear de Maxwell deve ser usado.

Equação

Em física , o tensor de tensão de Maxwell é o tensor de tensão de um campo eletromagnético . Conforme derivado acima em unidades SI , é dado por:

,

onde ε 0 é a constante elétrica e μ 0 é a constante magnética , E é o campo elétrico , B é o campo magnético e δ ij é o delta de Kronecker . Na unidade cgs gaussiana , é dado por:

,

onde H é o campo de magnetização .

Uma forma alternativa de expressar esse tensor é:

onde ⊗ é o produto diádico , e o último tensor é a díade unitária:

O elemento ij do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e dá o fluxo de momento paralelo ao eixo i cruzando uma superfície normal ao eixo j (na direção negativa) por unidade de tempo .

Essas unidades pode também ser visto como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o ij elemento do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao i º eixo sofrido por uma superfície normal ao j eixo por unidade da área. Na verdade, os elementos diagonais fornecem a tensão (tração) agindo em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devidas à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal para o elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.

Magnetismo apenas

Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades SI torna-se:

Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:

onde r é a força cortante na direção radial (para fora do cilindro) e t é a força cortante na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que faz o motor girar. B r é a densidade de fluxo na direção radial e B t é a densidade de fluxo na direção tangencial.

Em eletrostática

Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece,, e obtemos o tensor de tensão eletrostático de Maxwell . É fornecido em forma de componente por

e em forma simbólica por

onde está o tensor de identidade apropriado (geralmente ).

Valor próprio

Os valores próprios do tensor de tensão de Maxwell são dados por:

Esses autovalores são obtidos aplicando iterativamente o Lema Determinante da Matriz , em conjunto com a fórmula de Sherman-Morrison .

Observando que a matriz de equação característica , pode ser escrita como

Onde

montamos

Aplicando o Lema Determinante da Matriz uma vez, isso nos dá

Aplicá-lo novamente produz,

A partir do último multiplicando no RHS, vemos imediatamente que é um dos autovalores.

Para encontrar o inverso de , usamos a fórmula de Sherman-Morrison:

Fatorando um termo no determinante, resta-nos encontrar os zeros da função racional:

Assim, uma vez que resolvemos

obtemos os outros dois valores próprios.

Veja também

Referências

  • David J. Griffiths , "Introduction to Electrodynamics" pp. 351-352, Benjamin Cummings Inc., 2008
  • John David Jackson, "Classical Electrodynamics, 3rd Ed.", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Richard Becker, "Electromagnetic Fields and Interactions", Dover Publications Inc., 1964.