O tensor de tensão Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell ) é um tensor simétrico de segunda ordem usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e o momento mecânico . Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças na carga a partir da lei de força de Lorentz . Quando a situação se torna mais complicada, esse procedimento comum pode se tornar impraticavelmente difícil, com equações abrangendo várias linhas. Portanto, é conveniente coletar muitos desses termos no tensor de tensão de Maxwell e usar a aritmética do tensor para encontrar a resposta para o problema em questão.
Na formulação relativística do eletromagnetismo, o tensor de Maxwell aparece como uma parte do tensor eletromagnético tensão-energia, que é o componente eletromagnético do tensor tensão-energia total . O último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo .
Motivação
Como descrito em seguida, a força electromagnética é escrita em termos de E e B . Usando o cálculo vetorial e as equações de Maxwell , busca-se a simetria nos termos que contêm E e B , e a introdução do tensor de tensão de Maxwell simplifica o resultado.
Equações de Maxwell em unidades SI no vácuo
(para referência)
Nome
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Forma diferencial
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Lei de Gauss (no vácuo)
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Lei de Gauss para o magnetismo
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Equação de Maxwell-Faraday (lei de indução de Faraday)
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Lei circuital de Ampère (no vácuo) (com a correção de Maxwell)
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- Começando com a lei da
força de Lorentz
a força por unidade de volume é
- Em seguida, ρ e J podem ser substituídos pelos campos E e B , usando a lei de Gauss e a lei circuital de Ampère :
- A derivada do tempo pode ser reescrita em algo que pode ser interpretado fisicamente, ou seja, o vetor de Poynting . Usando a regra do produto e a lei da indução de Faraday dá
e agora podemos reescrever f como
em seguida, coletar os termos com E e B dá
- Um termo parece estar "faltando" na simetria em E e B , o que pode ser obtido inserindo (∇ ⋅ B ) B por causa da lei de Gauss para o magnetismo :
Eliminar os cachos (que são bastante complicados de calcular), usando a identidade do cálculo vetorial
leva a:
- Esta expressão contém todos os aspectos do eletromagnetismo e momentum e é relativamente fácil de calcular. Ele pode ser escrito de forma mais compacta, introduzindo o tensor de tensão de Maxwell ,
Todos, exceto o último termo de f, podem ser escritos como a divergência de tensor do tensor de tensão de Maxwell, dando:
-
,
Como no teorema de Poynting , o segundo termo no lado direito da equação acima pode ser interpretado como a derivada de tempo da densidade de momento do campo EM, enquanto o primeiro termo é a derivada de tempo da densidade de momento para as partículas massivas. Desta forma, a equação acima será a lei de conservação do momento na eletrodinâmica clássica.
onde o vetor de Poynting foi introduzido
na relação acima para a conservação do momento, é a densidade de fluxo de impulso e desempenha um papel semelhante ao de teorema de Poynting .
A derivação acima assume o conhecimento completo de ρ e J (cargas e correntes livres e limitadas). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão não linear de Maxwell deve ser usado.
Equação
Em física , o tensor de tensão de Maxwell é o tensor de tensão de um campo eletromagnético . Conforme derivado acima em unidades SI , é dado por:
-
,
onde ε 0 é a constante elétrica e μ 0 é a constante magnética , E é o campo elétrico , B é o campo magnético e δ ij é o delta de Kronecker . Na unidade cgs gaussiana , é dado por:
-
,
onde H é o campo de magnetização .
Uma forma alternativa de expressar esse tensor é:
onde ⊗ é o produto diádico , e o último tensor é a díade unitária:
O elemento ij do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e dá o fluxo de momento paralelo ao eixo i cruzando uma superfície normal ao eixo j (na direção negativa) por unidade de tempo .
Essas unidades pode também ser visto como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o ij elemento do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao i º eixo sofrido por uma superfície normal ao j eixo por unidade da área. Na verdade, os elementos diagonais fornecem a tensão (tração) agindo em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devidas à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal para o elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.
Magnetismo apenas
Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades SI torna-se:
Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:
onde r é a força cortante na direção radial (para fora do cilindro) e t é a força cortante na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que faz o motor girar. B r é a densidade de fluxo na direção radial e B t é a densidade de fluxo na direção tangencial.
Em eletrostática
Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece,, e obtemos o tensor de tensão eletrostático de Maxwell . É fornecido em forma de componente por
e em forma simbólica por
onde está o tensor de identidade apropriado (geralmente ).
Valor próprio
Os valores próprios do tensor de tensão de Maxwell são dados por:
Esses autovalores são obtidos aplicando iterativamente o Lema Determinante da Matriz , em conjunto com a fórmula de Sherman-Morrison .
Observando que a matriz de equação característica , pode ser escrita como
Onde
montamos
Aplicando o Lema Determinante da Matriz uma vez, isso nos dá
Aplicá-lo novamente produz,
A partir do último multiplicando no RHS, vemos imediatamente que é um dos autovalores.
Para encontrar o inverso de , usamos a fórmula de Sherman-Morrison:
Fatorando um termo no determinante, resta-nos encontrar os zeros da função racional:
Assim, uma vez que resolvemos
obtemos os outros dois valores próprios.
Veja também
Referências
-
David J. Griffiths , "Introduction to Electrodynamics" pp. 351-352, Benjamin Cummings Inc., 2008
- John David Jackson, "Classical Electrodynamics, 3rd Ed.", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
- Richard Becker, "Electromagnetic Fields and Interactions", Dover Publications Inc., 1964.