Beleza matemática - Mathematical beauty

Um exemplo de "beleza no método" - um descritor visual simples e elegante do teorema de Pitágoras .

A beleza matemática é o prazer estético tipicamente derivado da abstração, pureza, simplicidade, profundidade ou ordem da matemática . Os matemáticos freqüentemente expressam esse prazer descrevendo a matemática (ou, pelo menos, algum aspecto da matemática) como bela . Eles também podem descrever a matemática como uma forma de arte (por exemplo, uma posição assumida por GH Hardy ) ou, no mínimo, como uma atividade criativa . Freqüentemente, as comparações são feitas com música e poesia.

Bertrand Russell expressou seu senso de beleza matemática nestas palavras:

A matemática, vista corretamente, possui não apenas a verdade, mas a beleza suprema - uma beleza fria e austera, como a da escultura, sem apelar para qualquer parte de nossa natureza mais fraca, sem os ornamentos deslumbrantes da pintura ou da música, embora sublimemente pura e capaz de uma perfeição severa, como apenas a maior arte pode mostrar. O verdadeiro espírito de deleite, a exaltação, a sensação de ser mais do que o homem, que é a pedra de toque da mais alta excelência, pode ser encontrado na matemática com tanta certeza quanto na poesia.

Paul Erdős expressou suas opiniões sobre a inefabilidade da matemática quando disse: "Por que os números são bonitos? É como perguntar por que a Nona Sinfonia de Beethoven é bonita. Se você não entende por quê, alguém não pode dizer. Eu sei que os números são bonitos . Se não forem bonitos, nada é ".

Beleza no método

Os matemáticos descrevem um método de prova especialmente agradável como elegante . Dependendo do contexto, isso pode significar:

  • Uma prova que usa um mínimo de suposições adicionais ou resultados anteriores.
  • Uma prova extraordinariamente sucinta.
  • Uma prova que deriva um resultado de uma forma surpreendente (por exemplo, de um teorema aparentemente não relacionado ou uma coleção de teoremas).
  • Uma prova baseada em percepções novas e originais.
  • Um método de prova que pode ser facilmente generalizado para resolver uma família de problemas semelhantes.

Na busca por uma prova elegante, os matemáticos muitas vezes procuram diferentes maneiras independentes de provar um resultado - já que a primeira prova encontrada pode muitas vezes ser melhorada. O teorema para o qual o maior número de provas diferentes foi descoberto é possivelmente o teorema de Pitágoras , com centenas de provas sendo publicadas até o momento. Outro teorema que foi provado de muitas maneiras diferentes é o teorema da reciprocidade quadrática . Na verdade, Carl Friedrich Gauss sozinho tinha oito provas diferentes desse teorema, seis das quais ele publicou.

Por outro lado, os resultados que são logicamente corretos, mas envolvem cálculos trabalhosos, métodos elaborados demais, abordagens altamente convencionais ou um grande número de axiomas poderosos ou resultados anteriores geralmente não são considerados elegantes e podem até ser referidos como feios ou desajeitados .

Beleza nos resultados

Começando em e 0 = 1, viajando na velocidade i relativa à posição de alguém pelo período de tempo π, e adicionando 1, chega-se a 0. (O diagrama é um diagrama de Argand .)

Alguns matemáticos vêem beleza em resultados matemáticos que estabelecem conexões entre duas áreas da matemática que, à primeira vista, parecem não estar relacionadas. Esses resultados são frequentemente descritos como profundos . Embora seja difícil encontrar um acordo universal sobre se um resultado é profundo, alguns exemplos são mais comumente citados do que outros. Um exemplo é a identidade de Euler :

A identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler , que o físico Richard Feynman chamou de "nossa joia" e "a fórmula mais notável da matemática". Exemplos modernos incluem o teorema da modularidade , que estabelece uma conexão importante entre curvas elípticas e formas modulares (trabalho que levou à atribuição do Prêmio Wolf a Andrew Wiles e Robert Langlands ), e " luar monstruoso ", que conecta o grupo Monster a funções modulares via teoria das cordas (pela qual Richard Borcherds foi premiado com a Medalha Fields ).

Outros exemplos de resultados profundos incluem insights inesperados sobre estruturas matemáticas. Por exemplo, o Teorema Egregium de Gauss é um teorema profundo que relaciona um fenômeno local ( curvatura ) a um fenômeno global ( área ) de forma surpreendente. Em particular, a área de um triângulo em uma superfície curva é proporcional ao excesso do triângulo e a proporcionalidade é a curvatura. Outro exemplo é o teorema fundamental do cálculo (e suas versões vetor incluindo teorema de Green e teorema de Stokes ).

O oposto de profundo é trivial . Um teorema trivial pode ser um resultado que pode ser derivado de uma maneira óbvia e direta de outros resultados conhecidos, ou que se aplica apenas a um conjunto específico de objetos particulares, como o conjunto vazio . Em algumas ocasiões, no entanto, o enunciado de um teorema pode ser original o suficiente para ser considerado profundo - embora sua prova seja bastante óbvia.

Em seu A Mathematician's Apology , Hardy sugere que uma bela prova ou resultado possui "inevitabilidade", "imprevisibilidade" e "economia".

Rota , porém, discorda do inesperado como condição necessária para a beleza e propõe um contra-exemplo:

Muitos teoremas da matemática, quando publicados pela primeira vez, parecem ser surpreendentes; assim, por exemplo, cerca de vinte anos atrás [a partir de 1977], a prova da existência de estruturas diferenciáveis ​​não equivalentes em esferas de alta dimensão era considerada surpreendente, mas não ocorreu a ninguém chamar tal fato de belo, então ou agora .

Em contraste, Monastyrsky escreve:

É muito difícil encontrar uma invenção análoga no passado à bela construção de Milnor das diferentes estruturas diferenciais na esfera de sete dimensões ... A prova original de Milnor não era muito construtiva, mas mais tarde E. Briscorn mostrou que estas estruturas diferenciais podem ser descritas de uma forma extremamente explícita e bela.

Essa discordância ilustra tanto a natureza subjetiva da beleza matemática quanto sua conexão com os resultados matemáticos: neste caso, não apenas a existência de esferas exóticas, mas também uma compreensão particular delas.

Beleza na experiência

Uma "beleza fria e austera" foi atribuída ao composto de cinco cubos

O interesse pela matemática pura, separado do estudo empírico , tem feito parte da experiência de várias civilizações , incluindo a dos antigos gregos , que "fizeram matemática pela beleza dela". O prazer estético que os físicos matemáticos tendem a sentir na teoria da relatividade geral de Einstein foi atribuído (por Paul Dirac , entre outros) à sua "grande beleza matemática". A beleza da matemática é experimentada quando a realidade física dos objetos é representada por modelos matemáticos . A teoria dos grupos , desenvolvida no início do século 19 com o único propósito de resolver equações polinomiais , tornou-se uma forma frutífera de categorizar partículas elementares - os blocos de construção da matéria. Da mesma forma, o estudo dos nós fornece informações importantes sobre a teoria das cordas e a gravidade quântica em loop .

Alguns acreditam que, para apreciar a matemática, é preciso se dedicar à matemática. Por exemplo, Math Circle é um programa de enriquecimento pós-escola em que os alunos fazem matemática por meio de jogos e atividades; existem também alguns professores que encorajam o envolvimento dos alunos ensinando matemática de uma forma cinestésica (veja aprendizagem cinestésica ).

Em uma aula geral do Círculo de Matemática, os alunos usam a descoberta, observação e exploração de padrões para fazer suas próprias descobertas matemáticas. Por exemplo, a beleza matemática surge em uma atividade do Círculo de Matemática sobre simetria projetada para alunos de 2ª e 3ª séries, onde os alunos criam seus próprios flocos de neve dobrando um pedaço de papel quadrado e cortando desenhos de sua escolha ao longo das bordas do papel dobrado. Quando o papel é desdobrado, um desenho simétrico se revela. Em uma aula de matemática do dia a dia da escola primária, a simetria pode ser apresentada como tal de uma maneira artística, onde os alunos vêem resultados esteticamente agradáveis ​​em matemática.

Alguns professores preferem usar manipuladores matemáticos para apresentar a matemática de uma forma esteticamente agradável. Exemplos de um manipulador incluem blocos de álgebra , hastes culinárias e blocos de padrão . Por exemplo, pode-se ensinar o método de completar o quadrado usando blocos de álgebra. As hastes Cuisenaire podem ser usadas para ensinar frações e blocos de padrão podem ser usados ​​para ensinar geometria. O uso de manipuladores matemáticos ajuda os alunos a obter uma compreensão conceitual que pode não ser vista imediatamente nas fórmulas matemáticas escritas.

Outro exemplo de beleza na experiência envolve o uso de origami . Origami, a arte de dobrar papel, tem qualidades estéticas e muitas conexões matemáticas. Pode-se estudar a matemática da dobra de papel observando o padrão de vinco nas peças de origami desdobradas.

Combinatória , o estudo da contagem, tem representações artísticas que alguns consideram matematicamente belas. Existem muitos exemplos visuais que ilustram conceitos combinatórios. Alguns dos tópicos e objetos vistos em cursos combinatórios com representações visuais incluem, entre outros:

Beleza e filosofia

Alguns matemáticos são de opinião que fazer matemática está mais perto da descoberta do que da invenção, por exemplo:

Não há nenhum descobridor científico, nenhum poeta, nenhum pintor, nenhum músico, que não dirá a você que ele achou pronto feito sua descoberta ou poema ou quadro - que veio a ele de fora, e que ele não o criou conscientemente de dentro .

-  William Kingdon Clifford , de uma palestra para a Royal Institution intitulada "Algumas das condições de desenvolvimento mental"

Esses matemáticos acreditam que os resultados detalhados e precisos da matemática podem ser razoavelmente considerados verdadeiros, sem qualquer dependência do universo em que vivemos. Por exemplo, eles argumentariam que a teoria dos números naturais é fundamentalmente válida, de uma forma que não requer nenhum contexto específico. Alguns matemáticos extrapolaram esse ponto de vista de que a beleza matemática é mais verdade, em alguns casos tornando-se misticismo .

Na filosofia de Platão , havia dois mundos, o físico em que vivemos e outro mundo abstrato que continha verdades imutáveis, incluindo a matemática. Ele acreditava que o mundo físico era um mero reflexo do mundo abstrato mais perfeito.

O matemático húngaro Paul Erdős falou de um livro imaginário, no qual Deus escreveu todas as mais belas provas matemáticas. Quando Erdős queria expressar apreciação particular por uma prova, ele exclamava "Esta é do Livro!"

O filósofo francês do século XX, Alain Badiou, afirma que a ontologia é matemática. Badiou também acredita em conexões profundas entre matemática, poesia e filosofia.

Em alguns casos, filósofos naturais e outros cientistas que fizeram uso extensivo da matemática deram saltos de inferência entre a beleza e a verdade física de maneiras que se revelaram errôneas. Por exemplo, em um estágio de sua vida, Johannes Kepler acreditava que as proporções das órbitas dos planetas então conhecidos no Sistema Solar foram organizadas por Deus para corresponder a um arranjo concêntrico dos cinco sólidos platônicos , cada órbita situada em a circunsfera de um poliedro e a insfera de outro. Como existem exatamente cinco sólidos platônicos, a hipótese de Kepler só poderia acomodar seis órbitas planetárias e foi refutada pela descoberta subsequente de Urano .

Beleza e teoria da informação matemática

Na década de 1970, Abraham Moles e Frieder Nake analisaram as ligações entre beleza, processamento de informações e teoria da informação . Na década de 1990, Jürgen Schmidhuber formulou uma teoria matemática da beleza subjetiva dependente do observador baseada na teoria da informação algorítmica : os objetos mais bonitos entre objetos subjetivamente comparáveis ​​têm descrições algorítmicas curtas (isto é, complexidade de Kolmogorov ) em relação ao que o observador já sabe. Schmidhuber distingue explicitamente entre belo e interessante. Este último corresponde à primeira derivada da beleza percebida subjetivamente: o observador tenta continuamente melhorar a previsibilidade e compressibilidade das observações, descobrindo regularidades como repetições e simetrias e auto-similaridade fractal . Sempre que o processo de aprendizagem do observador (possivelmente uma rede neural artificial preditiva ) leva a compressão de dados melhorada, de modo que a sequência de observação pode ser descrita por menos bits do que antes, o interesse temporário dos dados corresponde ao progresso da compressão e é proporcional a a recompensa da curiosidade interna do observador.

Matemática e artes

Artigos principais: Matemática e arte , Matemática e música e Matemática e arquitetura

Música

Exemplos do uso de matemática na música incluem a música estocástica de Iánnis Xenákis , Fibonacci em Ferramenta de Lateralus , contraponto de Bach , polirrítmicos estruturas (como em Stravinsky 's O rito da mola ), a modulação métrica de Elliott Carter , permutação teoria em serialismo começando com Arnold Schoenberg , e aplicação de tons Shepard em Karlheinz Stockhausen 's Hymnen .

Artes visuais

Diagrama do 1435 Della Pittura de Leon Battista Alberti , com pilares em perspectiva em uma grade

Exemplos do uso da matemática nas artes visuais incluem aplicações da teoria do caos e da geometria fractal à arte gerada por computador , estudos de simetria de Leonardo da Vinci , geometrias projetivas no desenvolvimento da teoria da perspectiva da arte renascentista , grades na arte Op , geometria óptica na câmera obscura de Giambattista della Porta , e perspectiva múltipla no cubismo analítico e futurismo .

O designer gráfico holandês MC Escher criou xilogravuras , litografias e mezzotints com inspiração matemática . Estes apresentam construções impossíveis, explorações do infinito , arquitetura , paradoxos visuais e tesselações . O artista construcionista britânico John Ernest criou relevos e pinturas inspirados na teoria dos grupos. Vários outros artistas britânicos das escolas construcionistas e de sistemas de pensamento também se inspiram em modelos e estruturas matemáticas, incluindo Anthony Hill e Peter Lowe . A arte gerada por computador é baseada em algoritmos matemáticos .

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

links externos