Força de Lorentz - Lorentz force

Força de Lorentz atuando em partículas carregadas que se movem rapidamente em uma câmara de bolha . As trajetórias de carga positiva e negativa se curvam em direções opostas.

Na física (especificamente no eletromagnetismo ), a força de Lorentz (ou força eletromagnética ) é a combinação de força elétrica e magnética em uma carga pontual devido a campos eletromagnéticos . Uma partícula de carga q movendo-se com uma velocidade v em um campo elétrico E e um campo magnético B experimenta uma força de

(em unidades SI ). Diz que a força eletromagnética em uma carga q é uma combinação de uma força na direção do campo elétrico E proporcional à magnitude do campo e a quantidade de carga, e uma força perpendicular ao campo magnético B e o velocidade v da carga, proporcional à magnitude do campo, a carga e a velocidade. Variações nesta fórmula básica descrevem a força magnética em um fio condutor de corrente (às vezes chamada de força de Laplace ), a força eletromotriz em um loop de fio movendo-se através de um campo magnético (um aspecto da lei de indução de Faraday ) e a força em um movimento partícula carregada.

Os historiadores sugerem que a lei está implícita em um artigo de James Clerk Maxwell , publicado em 1865. Hendrik Lorentz chegou a uma derivação completa em 1895, identificando a contribuição da força elétrica alguns anos depois que Oliver Heaviside identificou corretamente a contribuição da força magnética .

Lorentz força a lei como a definição de E e B

Trajetória de uma partícula com carga positiva ou negativa q sob a influência de um campo magnético B , que é direcionado perpendicularmente para fora da tela.
Feixe de elétrons movendo-se em círculo, devido à presença de um campo magnético. A luz roxa revelando o caminho do elétron neste tubo de Teltron é criada pela colisão dos elétrons com as moléculas de gás.
Partículas carregadas experimentando a força de Lorentz.

Em muitos tratamentos de livros didáticos de eletromagnetismo clássico, a lei da força de Lorentz é usado como a definição dos campos elétrico e magnético E e B . Para ser mais específico, a força de Lorentz é entendida como a seguinte declaração empírica:

A força eletromagnética F sobre uma carga de teste em um determinado ponto e tempo é uma determinada função de sua carga q e velocidade v , que pode ser parametrizada por exatamente dois vetores E e B , na forma funcional :

Isso é válido, mesmo para partículas que se aproximam da velocidade da luz (ou seja, magnitude de v , | v | ≈ c ). Assim, os dois campos vetoriais E e B são definidos ao longo do espaço e do tempo, e são chamados de "campo elétrico" e "campo magnético". Os campos são definidos em todos os lugares no espaço e no tempo com relação à força que uma carga de teste receberia, independentemente de uma carga estar presente para experimentar a força.

Como uma definição de E e B , a força de Lorentz é apenas uma definição em princípio porque uma partícula real (em oposição à hipotética "carga de teste" de massa e carga infinitesimalmente pequenas) geraria seus próprios campos E e B finitos , que alteraria a força eletromagnética que experimenta. Além disso, se a carga sofrer aceleração, como se forçada a uma trajetória curva, ela emite radiação que a faz perder energia cinética. Veja por exemplo Bremsstrahlung e luz síncrotron . Esses efeitos ocorrem por meio de um efeito direto (chamado de força de reação da radiação ) e indiretamente (afetando o movimento de cargas e correntes próximas).

Equação

Partícula carregada

Lorentz força F em uma partícula carregada (de carga q ) em movimento (velocidade instantânea v ). O E campo e B campo variam no espaço e no tempo.

A força F atuando sobre uma partícula de carga elétrica q com velocidade instantânea v , devido a um campo elétrico externo E e campo magnético B , é dada por (em unidades SI ):

onde × é o produto vetorial do vetor (todas as quantidades em negrito são vetores). Em termos de componentes cartesianos, temos:

Em geral, os campos elétricos e magnéticos são funções da posição e do tempo. Portanto, explicitamente, a força de Lorentz pode ser escrita como:

em que r é o vetor de posição da partícula carregada, t é o tempo e o overdot é uma derivada do tempo.

Uma partícula carregada positivamente será acelerada na mesma orientação linear que o campo E , mas irá se curvar perpendicularmente ao vetor de velocidade instantânea v e ao campo B de acordo com a regra da mão direita (em detalhe, se os dedos da mão direita são estendidos para apontar na direção de ve são então curvados para apontar na direção de B , então o polegar estendido apontará na direção de F ).

O termo q E é chamado de força elétrica , enquanto o termo q ( v × B ) é chamado de força magnética . De acordo com algumas definições, o termo "força de Lorentz" se refere especificamente à fórmula da força magnética, com a força eletromagnética total (incluindo a força elétrica) recebendo algum outro nome (não padrão). Este artigo não seguirá esta nomenclatura: A seguir, o termo "força de Lorentz" se referirá à expressão para a força total.

O componente de força magnética da força de Lorentz se manifesta como a força que atua em um fio condutor de corrente em um campo magnético. Nesse contexto, também é chamada de força de Laplace .

A força de Lorentz é uma força exercida pelo campo eletromagnético sobre a partícula carregada, ou seja, é a taxa na qual o momento linear é transferido do campo eletromagnético para a partícula. Associado a ele está a potência, que é a taxa na qual a energia é transferida do campo eletromagnético para a partícula. Esse poder é

Observe que o campo magnético não contribui para a potência porque a força magnética é sempre perpendicular à velocidade da partícula.

Distribuição contínua de carga

Força de Lorentz (por unidade de 3-volume) f em uma distribuição de carga contínua ( densidade de carga ρ) em movimento. A 3 densidade de corrente J corresponde ao movimento do elemento de carga dq no elemento de volume dV e varia ao longo do continuum.

Para uma distribuição de carga contínua em movimento, a equação de força de Lorentz torna-se:

onde é a força em um pequeno pedaço da distribuição de carga com carga . Se ambos os lados desta equação são divididos pelo volume deste pequeno pedaço da distribuição de carga , o resultado é:

onde é a densidade de força (força por unidade de volume) e é a densidade de carga (carga por unidade de volume). Em seguida, a densidade de corrente correspondente ao movimento do continuum de carga é

então o análogo contínuo à equação é

A força total é o volume integral sobre a distribuição de carga:

Ao eliminar e , usando as equações de Maxwell , e manipular usando os teoremas do cálculo vetorial , esta forma da equação pode ser usada para derivar o tensor de tensão de Maxwell , por sua vez, isso pode ser combinado com o vetor de Poynting para obter o tensor de tensão-energia eletromagnética T usado na relatividade geral .

Em termos de e , outra maneira de escrever a força de Lorentz (por unidade de volume) é

onde é a velocidade da luz e · denota a divergência de um campo tensorial . Em vez da quantidade de carga e sua velocidade em campos elétricos e magnéticos, esta equação relaciona o fluxo de energia (fluxo de energia por unidade de tempo por unidade de distância) nos campos à força exercida em uma distribuição de carga. Consulte a formulação covariante do eletromagnetismo clássico para obter mais detalhes.

A densidade de potência associada à força de Lorentz em um meio material é

Se separarmos a carga total e a corrente total em suas partes livres e limitadas, obtemos que a densidade da força de Lorentz é

onde: é a densidade de carga gratuita; é a densidade de polarização ; é a densidade da corrente livre; e é a densidade de magnetização . Dessa forma, a força de Lorentz pode explicar o torque aplicado a um ímã permanente pelo campo magnético. A densidade do poder associado é

Equação em unidades cgs

As fórmulas mencionadas acima usam unidades SI que são as mais comuns. Em unidades cgs-Gaussianas mais antigas , que são um pouco mais comuns entre alguns físicos teóricos, bem como experimentalistas de matéria condensada, em vez disso

onde c é a velocidade da luz . Embora essa equação pareça um pouco diferente, é completamente equivalente, uma vez que temos as seguintes relações:

onde ε 0 é a permissividade do vácuo e μ 0 a permeabilidade do vácuo . Na prática, os subscritos "cgs" e "SI" são sempre omitidos e o sistema de unidades deve ser avaliado a partir do contexto.

História

Teoria dos elétrons de Lorentz. Fórmulas para a força de Lorentz (I, força ponderomotriz) e as equações de Maxwell para a divergência do campo elétrico E (II) e do campo magnético B (III), La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants , 1892, p . 451. V é a velocidade da luz.

As primeiras tentativas de descrever quantitativamente a força eletromagnética foram feitas em meados do século XVIII. Foi proposto que a força nos pólos magnéticos, por Johann Tobias Mayer e outros em 1760, e objetos eletricamente carregados, por Henry Cavendish em 1762, obedeciam a uma lei do inverso do quadrado . No entanto, em ambos os casos, a prova experimental não foi completa nem conclusiva. Somente em 1784, Charles-Augustin de Coulomb , usando uma balança de torção , pôde demonstrar definitivamente por meio de experimentos que isso era verdade. Logo após a descoberta, em 1820, por Hans Christian Ørsted, de que uma agulha magnética é acionada por uma corrente voltaica, André-Marie Ampère, nesse mesmo ano, conseguiu imaginar por meio de experimentação a fórmula para a dependência angular da força entre dois elementos da corrente. Em todas essas descrições, a força sempre foi descrita em termos das propriedades da matéria envolvida e das distâncias entre duas massas ou cargas, e não em termos de campos elétricos e magnéticos.

O conceito moderno de campos elétricos e magnéticos surgiu pela primeira vez nas teorias de Michael Faraday , particularmente em sua ideia de linhas de força , que mais tarde recebeu uma descrição matemática completa de Lord Kelvin e James Clerk Maxwell . De uma perspectiva moderna, é possível identificar na formulação de Maxwell de 1865 de suas equações de campo uma forma da equação de força de Lorentz em relação às correntes elétricas, embora na época de Maxwell não fosse evidente como suas equações se relacionavam com as forças em movimento carregado. objetos. JJ Thomson foi o primeiro a tentar derivar das equações de campo de Maxwell as forças eletromagnéticas em um objeto carregado em movimento em termos de propriedades do objeto e campos externos. Interessado em determinar o comportamento eletromagnético das partículas carregadas em raios catódicos , Thomson publicou um artigo em 1881 onde deu a força sobre as partículas devido a um campo magnético externo como

Thomson derivou a forma básica correta da fórmula, mas, por causa de alguns erros de cálculo e uma descrição incompleta da corrente de deslocamento , incluiu um fator de escala incorreto de meio na frente da fórmula. Oliver Heaviside inventou a notação vetorial moderna e a aplicou às equações de campo de Maxwell; ele também (em 1885 e 1889) corrigiu os erros da derivação de Thomson e chegou à forma correta da força magnética em um objeto carregado em movimento. Finalmente, em 1895, Hendrik Lorentz derivou a forma moderna da fórmula para a força eletromagnética que inclui as contribuições para a força total dos campos elétrico e magnético. Lorentz começou abandonando as descrições maxwellianas do éter e da condução. Em vez disso, Lorentz fez uma distinção entre matéria e o éter luminífero e procurou aplicar as equações de Maxwell em uma escala microscópica. Usando a versão de Heaviside das equações de Maxwell para um éter estacionário e aplicando a mecânica Lagrangiana (veja abaixo), Lorentz chegou à forma correta e completa da lei de força que agora leva seu nome.

Trajetórias de partículas devido à força de Lorentz

Partículas carregadas derivam em um campo magnético homogêneo. (A) Sem força perturbadora (B) Com um campo elétrico, E (C) Com uma força independente, F (por exemplo, gravidade) (D) Em um campo magnético não homogêneo, grad H

Em muitos casos de interesse prático, o movimento em um campo magnético de uma partícula eletricamente carregada (como um elétron ou íon em um plasma ) pode ser tratado como a superposição de um movimento circular relativamente rápido em torno de um ponto denominado centro guia e um deriva relativamente lenta deste ponto. As velocidades de deriva podem diferir para várias espécies dependendo de seus estados de carga, massas ou temperaturas, possivelmente resultando em correntes elétricas ou separação química.

Significado da força Lorentz

Enquanto as equações de Maxwell modernas descrevem como partículas eletricamente carregadas e correntes ou partículas carregadas em movimento dão origem a campos elétricos e magnéticos, a lei de força de Lorentz completa esse quadro descrevendo a força agindo em uma carga pontual móvel q na presença de campos eletromagnéticos. A lei da força de Lorentz descreve o efeito de E e B sobre uma carga pontual, mas tais forças eletromagnéticas não são a imagem completa. As partículas carregadas são possivelmente acopladas a outras forças, notadamente a gravidade e as forças nucleares. Assim, as equações de Maxwell não estão separadas de outras leis físicas, mas são acopladas a elas por meio das densidades de carga e corrente. A resposta de uma carga pontual à lei de Lorentz é um aspecto; a geração de E e B por correntes e cargas é outra.

Em materiais reais, a força de Lorentz é inadequada para descrever o comportamento coletivo de partículas carregadas, tanto em princípio como em cálculo. As partículas carregadas em um meio material não apenas respondem aos campos E e B , mas também geram esses campos. Equações de transporte complexas devem ser resolvidas para determinar o tempo e a resposta espacial das cargas, por exemplo, a equação de Boltzmann ou a equação de Fokker-Planck ou as equações de Navier-Stokes . Por exemplo, veja magnetohidrodinâmica , dinâmica de fluidos , eletrohidrodinâmica , supercondutividade , evolução estelar . Todo um aparato físico para lidar com essas questões foi desenvolvido. Veja, por exemplo, relações de Green-Kubo e função de Green (teoria de muitos corpos) .

Força em um fio condutor de corrente

Regra da mão direita para um fio condutor de corrente em um campo magnético B

Quando um fio que transporta uma corrente elétrica é colocado em um campo magnético, cada uma das cargas móveis, que constituem a corrente, experimenta a força de Lorentz e, juntas, podem criar uma força macroscópica no fio (às vezes chamada de força de Laplace ). Combinando a lei de força de Lorentz acima com a definição de corrente elétrica, a seguinte equação resulta, no caso de um fio reto estacionário:

onde é um vector cuja magnitude é o comprimento de fio, e cuja direcção é ao longo do fio, alinhada com a direcção de corrente convencional de carga fluir eu .

Se o fio não for reto, mas curvo, a força sobre ele pode ser calculada aplicando-se esta fórmula a cada segmento infinitesimal do fio d , somando todas essas forças por integração . Formalmente, a força resultante em um fio rígido estacionário carregando uma corrente constante I é

Esta é a força resultante. Além disso, normalmente haverá torque , além de outros efeitos se o fio não for perfeitamente rígido.

Uma aplicação disso é a lei de força de Ampère , que descreve como dois fios condutores de corrente podem se atrair ou repelir, já que cada um experimenta uma força de Lorentz do campo magnético do outro. Para mais informações, consulte o artigo: Lei da força de Ampère .

EMF

A força magnética ( q v × B ) componente da força de Lorentz é responsável por dinâmicas força electromotriz (ou EMF dinâmicas ), o fenómeno subjacente muitos geradores eléctricos. Quando um condutor é movido através de um campo magnético, o campo magnético exerce forças opostas nos elétrons e núcleos do fio, e isso cria o EMF. O termo "EMF de movimento" é aplicado a este fenômeno, uma vez que o EMF é devido ao movimento do fio.

Em outros geradores elétricos, os ímãs se movem, enquanto os condutores não. Nesse caso, o EMF é devido ao termo de força elétrica ( q E ) na equação de Força de Lorentz. O campo elétrico em questão é criado pela mudança do campo magnético, resultando em um CEM induzido , conforme descrito pela equação de Maxwell-Faraday (uma das quatro equações de Maxwell modernas ).

Ambos os CEMs, apesar de suas origens aparentemente distintas, são descritos pela mesma equação, ou seja, o EMF é a taxa de variação do fluxo magnético através do fio. (Esta é a lei da indução de Faraday, veja abaixo .) A teoria da relatividade especial de Einstein foi parcialmente motivada pelo desejo de compreender melhor essa ligação entre os dois efeitos. Na verdade, os campos elétricos e magnéticos são facetas diferentes do mesmo campo eletromagnético e, ao se mover de uma estrutura inercial para outra, a porção do campo vetorial solenoidal do campo E pode mudar no todo ou em parte para um campo B ou vice-versa .

Força de Lorentz e lei de indução de Faraday

Lorentz força-imagem em uma parede em Leiden

Dado um laço de fio em um campo magnético , a lei de indução de Faraday afirma que a força eletromotriz induzida (EMF) no fio é:

Onde

é o fluxo magnético através do loop, B é o campo magnético, Σ ( t ) é uma superfície limitada pelo contorno fechado ∂Σ ( t ), no tempo t , d A é um elemento de área vetorial infinitesimal de Σ ( t ) ( magnitude é a área de um remendo infinitesimal de superfície, a direção é ortogonal a esse remendo de superfície).

O sinal do EMF é determinado pela lei de Lenz . Observe que isso é válido não apenas para um fio estacionário - mas também para um fio móvel .

A partir da lei da indução de Faraday (que é válida para um fio móvel, por exemplo em um motor) e das Equações de Maxwell , a Força de Lorentz pode ser deduzida. O inverso também é verdadeiro, a força de Lorentz e as Equações de Maxwell podem ser usadas para derivar a Lei de Faraday .

Seja Σ ( t ) o fio móvel, movendo-se juntos sem rotação e com velocidade constante ve Σ ( t ) a superfície interna do fio. O EMF em torno do caminho fechado ∂Σ ( t ) é dado por:

Onde

é o campo elétrico ed é um elemento vetorial infinitesimal do contorno ∂Σ ( t ).

NB: Ambos d e d A têm uma ambigüidade de sinal; para obter o sinal correto, a regra da mão direita é usada, conforme explicado no artigo teorema de Kelvin-Stokes .

O resultado acima pode ser comparado com a versão da lei de indução de Faraday que aparece nas equações de Maxwell modernas, chamada aqui de equação de Maxwell-Faraday :

A equação de Maxwell-Faraday também pode ser escrita em uma forma integral usando o teorema de Kelvin-Stokes .

Então temos, a equação de Maxwell Faraday:

e a Lei Faraday,

Os dois são equivalentes se o fio não estiver se movendo. Usando a regra integral de Leibniz e que div B = 0, resulta em,

e usando a equação de Maxwell Faraday,

uma vez que isso é válido para qualquer posição do fio, isso implica que,

A lei da indução de Faraday é válida quer a alça do fio seja rígida e estacionária, quer esteja em movimento ou em processo de deformação, quer o campo magnético seja constante no tempo ou em mudança. No entanto, há casos em que a lei de Faraday é inadequada ou difícil de usar, e a aplicação da lei da força de Lorentz subjacente é necessária. Veja inaplicabilidade da lei de Faraday .

Se o campo magnético for fixo no tempo e o loop condutor se mover através do campo, o fluxo magnético Φ B ligando o loop pode mudar de várias maneiras. Por exemplo, se o campo B varia com a posição, e o loop se move para um local com campo B diferente , Φ B mudará. Alternativamente, se o circuito muda a orientação no que diz respeito ao B -Campo, o B ⋅ d Um diferencial elemento irá mudar devido à diferente ângulo entre B e d A , alterando também Φ B . Como um terceiro exemplo, se uma parte do circuito é varrida através de um campo B uniforme e independente do tempo , e outra parte do circuito é mantida estacionária, o fluxo que liga todo o circuito fechado pode mudar devido à mudança na posição relativa das partes componentes do circuito com o tempo (superfície ∂Σ ( t ) dependente do tempo). Em todos os três casos, a lei da indução de Faraday, em seguida, prevê o EMF gerado pela mudança na Φ B .

Observe que a equação de Maxwell Faraday implica que o campo elétrico E é não conservador quando o campo magnético B varia no tempo, e não pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar , e não está sujeito ao teorema do gradiente, pois sua rotação não é zero.

Força de Lorentz em termos de potenciais

Os campos E e B podem ser substituídos pelo potencial vetorial magnético A e potencial eletrostático ( escalar ) ϕ por

onde ∇ é o gradiente, ∇⋅ é a divergência, ∇ × é a curva .

A força se torna

Usando uma identidade para o produto triplo, isso pode ser reescrito como,

(Observe que as coordenadas e os componentes de velocidade devem ser tratados como variáveis ​​independentes, de modo que o operador del atua apenas sobre , não sobre ; portanto, não há necessidade de usar a notação subscrita de Feynman na equação acima). Usando a regra da cadeia, a derivada total de é:

para que a expressão acima se torne:

.

Com v = , podemos colocar a equação na forma conveniente de Euler-Lagrange

Onde

e

.

Força de Lorentz e mecânica analítica

O Lagrangeanos para uma partícula de carga de massa m e carga q em um campo electromagnético descreve equivalentemente a dinâmica da partícula em termos de energia , em vez do que a força exercida sobre ele. A expressão clássica é dada por:

onde A e ϕ são os campos potenciais como acima. A quantidade pode ser pensada como uma função potencial dependente da velocidade. Usando as equações de Lagrange , a equação para a força de Lorentz dada acima pode ser obtida novamente.

A energia potencial depende da velocidade da partícula, então a força é dependente da velocidade, então não é conservadora.

O Lagrangiano relativístico é

A ação é o comprimento de arco relativístico do caminho da partícula no espaço-tempo , menos a contribuição de energia potencial, mais uma contribuição extra que mecanicamente quântica é uma fase extra que uma partícula carregada obtém quando está se movendo ao longo de um potencial vetorial.

Forma relativística da força de Lorentz

Forma covariante da força Lorentz

Tensor de campo

Usando a assinatura métrica (1, −1, −1, −1) , a força de Lorentz para uma carga q pode ser escrita na forma covariante :

onde p α é o quatro-momento , definido como

τ o tempo adequado da partícula, F αβ o tensor eletromagnético contravariante

e U é a velocidade covariante 4 da partícula, definida como:

no qual

é o fator de Lorentz .

Os campos são transformados em um quadro que se move com velocidade relativa constante por:

onde Λ μ α é o tensor de transformação de Lorentz .

Tradução para notação vetorial

O componente α = 1 (componente x ) da força é

Substituir os componentes do tensor eletromagnético covariante F produz

Usando os componentes dos rendimentos covariantes de quatro velocidades

O cálculo de α = 2 , 3 (componentes da força nas direções y e z ) produz resultados semelhantes, portanto, coletando as 3 equações em uma:

e uma vez que as diferenças no tempo coordenado dt e no tempo próprio estão relacionadas pelo fator de Lorentz,

então chegamos a

Esta é precisamente a lei de força de Lorentz, no entanto, é importante notar que p é a expressão relativística,

Força de Lorentz na álgebra do espaço-tempo (STA)

Os campos elétricos e magnéticos dependem da velocidade de um observador , de modo que a forma relativística da lei de força de Lorentz pode ser melhor exibida a partir de uma expressão independente de coordenadas para os campos eletromagnéticos e magnéticos e uma direção de tempo arbitrária ,. Isso pode ser resolvido por meio da Álgebra do Espaço-Tempo (ou da álgebra geométrica do espaço-tempo), um tipo de álgebra de Clifford definida em um espaço pseudo-euclidiano , como

e

é um bivetor de espaço-tempo (um segmento de plano orientado, assim como um vetor é um segmento de linha orientado), que tem seis graus de liberdade correspondentes a impulsos (rotações em planos de espaço-tempo) e rotações (rotações em planos de espaço-espaço) . O produto escalar com o vetor puxa um vetor (na álgebra espacial) da parte translacional, enquanto o produto em cunha cria um trivetor (na álgebra espacial) que é dual para um vetor que é o vetor de campo magnético usual. A velocidade relativística é dada pelas mudanças (semelhantes ao tempo) em um vetor posição-tempo , onde

(que mostra nossa escolha para a métrica) e a velocidade é

A forma apropriada (invariante é um termo inadequado porque nenhuma transformação foi definida) da lei da força de Lorentz é simplesmente

Observe que a ordem é importante porque entre um bivetor e um vetor, o produto escalar é anti-simétrico. Em uma divisão do espaço-tempo como se pode obter a velocidade, e campos como acima produzindo a expressão usual.

Força de Lorentz na relatividade geral

Na teoria geral da relatividade, a equação do movimento para uma partícula com massa e carga , movendo-se em um espaço com tensor métrico e campo eletromagnético , é dada como

onde ( é levado ao longo da trajetória) , e .

A equação também pode ser escrita como

onde está o símbolo de Christoffel (da conexão métrica livre de torção na relatividade geral), ou como

onde é o diferencial covariante na relatividade geral (métrica, livre de torção).

Formulários

A força de Lorentz ocorre em muitos dispositivos, incluindo:

Em sua manifestação como a força de Laplace em uma corrente elétrica em um condutor, essa força ocorre em muitos dispositivos, incluindo:

Veja também

Notas de rodapé

Referências

As referências numeradas referem-se em parte à lista imediatamente abaixo.

  • Serway, Raymond A .; Jewett, John W., Jr. (2004). Física para cientistas e engenheiros, com física moderna . Belmont, [CA]: Thomson Brooks / Cole. ISBN 0-534-40846-X.
  • Srednicki, Mark A. (2007). Teoria quântica de campos . Cambridge, [Inglaterra]; Nova York [NY.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86449-7.

links externos