Dipolo magnético - Magnetic dipole

O campo magnético devido a dipolos magnéticos naturais (canto superior esquerdo), monopólos magnéticos (canto superior direito), uma corrente elétrica em um loop circular (canto inferior esquerdo) ou em um solenóide (canto inferior direito). Todos geram o mesmo perfil de campo quando o arranjo é infinitesimalmente pequeno.

Um dipolo magnético é o limite de um circuito fechado de corrente elétrica ou de um par de pólos, pois o tamanho da fonte é reduzido a zero, mantendo o momento magnético constante. É um análogo magnético do dipolo elétrico , mas a analogia não é perfeita. Em particular, um verdadeiro monopolo magnético , o análogo magnético de uma carga elétrica , nunca foi observado na natureza. No entanto, monopolo magnéticos quasipartículas têm sido observados como propriedades emergentes de determinados sistemas de matéria condensada. Além disso, uma forma de momento dipolar magnético está associada a uma propriedade quântica fundamental - o spin das partículas elementares .

Como os monopólos magnéticos não existem, o campo magnético a uma grande distância de qualquer fonte magnética estática se parece com o campo de um dipolo com o mesmo momento de dipolo. Para fontes de ordem superior (por exemplo, quadrupolos ) sem momento de dipolo, seu campo decai com a distância a zero mais rápido do que o de um campo de dipolo.

Campo magnético externo produzido por um momento de dipolo magnético

Um análogo eletrostático para um momento magnético: duas cargas opostas separadas por uma distância finita. Cada seta representa a direção do vetor de campo naquele ponto.

O campo magnético de um loop de corrente. O anel representa o loop atual, que vai para a página no x e sai no ponto.

Na física clássica , o campo magnético de um dipolo é calculado como o limite de um loop de corrente ou de um par de cargas conforme a fonte encolhe a um ponto, enquanto mantém o momento magnético $m$ constante. Para o loop de corrente, este limite é mais facilmente derivado do potencial vetorial :

{\ displaystyle {\ mathbf {A}} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {2}}} {\ frac {{\ mathbf { m}} \ times {\ mathbf {r}}} {r}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {{\ mathbf {m}} \ times {\ mathbf {r}}} {r ^ {3}}},}

onde μ ₀ é a constante de permeabilidade ao vácuo e $4 π r 2$ é a superfície de uma esfera de raio $r$ . A densidade do fluxo magnético (força do campo B) é então

{\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ mathbf {r}}) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left [ {\ frac {3 \ mathbf {r} (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {5}}} - {\ frac {\ mathbf {m}} {r ^ {3} }}\direito].}

Alternativamente, pode-se obter o potencial escalar primeiro a partir do limite do pólo magnético,

{\ displaystyle \ psi ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {{\ mathbf {m}} \ cdot {\ mathbf {r}}} {4 \ pi r ^ {3}}},}

e, portanto, a força do campo magnético (ou força do campo H) é

{\ displaystyle {\ mathbf {H}} ({\ mathbf {r}}) = - \ nabla \ psi = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {\ hat {r}} (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {\ hat {r}}) - \ mathbf {m}} {r ^ {3}}} \ right] = {\ frac {\ mathbf {B }} {\ mu _ {0}}}.}

A intensidade do campo magnético é simétrica em rotações em torno do eixo do momento magnético. Em coordenadas esféricas, com e com o momento magnético alinhado com o eixo z, então a intensidade do campo pode ser mais simplesmente expressa como ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}} = \ mathbf {\ hat {r}} \ cos \ theta - {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} \ sin \ theta}$

{\ displaystyle \ mathbf {H} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {| \ mathbf {m} |} {4 \ pi r ^ {3}}} \ left (2 \ cos \ theta \ , \ mathbf {\ hat {r}} + \ sin \ theta \, {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} \ right).}

Campo magnético interno de um dipolo

Os dois modelos de dipolo (circuito de corrente e pólos magnéticos) fornecem as mesmas previsões para o campo magnético longe da fonte. No entanto, dentro da região de origem, eles fornecem previsões diferentes. O campo magnético entre os pólos está na direção oposta ao momento magnético (que aponta da carga negativa para a carga positiva), enquanto dentro de um loop de corrente está na mesma direção (veja a figura à direita). Claramente, os limites desses campos também devem ser diferentes, pois as fontes diminuem para o tamanho zero. Essa distinção só importa se o limite do dipolo for usado para calcular os campos dentro de um material magnético.

Se um dipolo magnético é formado tornando um loop de corrente cada vez menor, mas mantendo o produto da corrente e da área constante, o campo limite é

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {\ hat {r}} (\ mathbf {\ hat {r}} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} + {\ frac {8 \ pi} {3 }} \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {r}) \ direita],}

onde $δ (r)$ é a função delta de Dirac em três dimensões. Ao contrário das expressões na seção anterior, este limite está correto para o campo interno do dipolo.

Se um dipolo magnético é formado tomando um "pólo norte" e um "pólo sul", aproximando-os cada vez mais, mas mantendo o produto da carga do pólo magnético e da distância constante, o campo limite é

{\ displaystyle \ mathbf {H} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {\ hat {r}} (\ mathbf {\ hat {r}} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} - {\ frac {4 \ pi} {3}} \ mathbf { m} \ delta (\ mathbf {r}) \ direita].}

Esses campos são relacionados por $B = μ 0 (H + M)$ , onde

{\ displaystyle \ mathbf {M} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {r})}

é a magnetização .

Forças entre dois dipolos magnéticos

A força $F$ exercida por um momento de dipolo $m 1$ em outro $m 2$ separado no espaço por um vetor $r$ pode ser calculada usando:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ left (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {B} _ {1} \ right),}

ou

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, \ mathbf {m} _ {1}, \ mathbf {m} _ {2}) = {\ dfrac {3 \ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {5}}} \ left [(\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {2} + (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {1} + (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {m} _ {2}) \ mathbf {r} - {\ dfrac { 5 (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {2}}} \ mathbf {r } \direito],}

onde $r$ é a distância entre dipolos. A força atuando em $m 1$ está na direção oposta.

O torque pode ser obtido a partir da fórmula

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {m} _ {2} \ times \ mathbf {B} _ {1}.}

Campos dipolares de fontes finitas

O potencial escalar magnético $ψ$ produzido por uma fonte finita, mas externa a ela, pode ser representado por uma expansão multipolar . Cada termo na expansão está associado a um momento característico e a um potencial com uma taxa característica de diminuição com a distância $r$ da fonte. Os momentos monopolo têm uma taxa de diminuição de $1 / r$ , os momentos dipolo têm uma taxa de $1 / r 2$ , os momentos quadrupolos têm uma taxa de $1 / r 3$ e assim por diante. Quanto mais alta a ordem, mais rápido o potencial diminui. Uma vez que o termo de ordem inferior observado em fontes magnéticas é o termo dipolar, ele domina em grandes distâncias. Portanto, a grandes distâncias, qualquer fonte magnética parece um dipolo do mesmo momento magnético .

Notas

Referências

Chow, Tai L. (2006). Introdução à teoria eletromagnética: uma perspectiva moderna . Jones e Bartlett Learning . ISBN 978-0-7637-3827-3.
Jackson, John D. (1975). Eletrodinâmica Clássica (2ª ed.). Wiley . ISBN 0-471-43132-X.
Furlani, Edward P. (2001). Ímã permanente e dispositivos eletromecânicos: materiais, análises e aplicações . Academic Press . ISBN 0-12-269951-3.
Schill, RA (2003). "Relação geral para o campo magnético vetorial de um loop circular de corrente: um olhar mais atento". IEEE Transactions on Magnetics . 39 (2): 961–967. Bibcode : 2003ITM .... 39..961S . doi : 10.1109 / TMAG.2003.808597 .

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