Equações de Londres - London equations

À medida que um material cai abaixo de sua temperatura crítica supercondutora, os campos magnéticos dentro do material são expelidos por meio do efeito Meissner . As equações de Londres fornecem uma explicação quantitativa desse efeito.

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Formulação covariante Tensor eletromagnético ( tensor tensão-energia ) Quatro correntes Quatro potenciais eletromagnéticos
Cientistas Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Cantor Tesla Volta Weber Poisson
v t e

As equações de Londres, desenvolvidas pelos irmãos Fritz e Heinz London em 1935, são relações constitutivas para um supercondutor relacionando sua corrente supercondutora com os campos eletromagnéticos dentro e ao redor dele. Enquanto a lei de Ohm é a relação constitutiva mais simples para um condutor comum , as equações de Londres são a descrição mais simples e significativa dos fenômenos supercondutores e formam a gênese de quase qualquer texto introdutório moderno sobre o assunto. Um grande triunfo das equações é sua capacidade de explicar o efeito Meissner , em que um material expele exponencialmente todos os campos magnéticos internos ao cruzar o limiar supercondutor.

Descrição

Existem duas equações de Londres quando expressas em termos de campos mensuráveis:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {j} _ {s}} {\ partial t}} = {\ frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} \ mathbf {E}, \ qquad \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {j} _ {s} = - {\ frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} \ mathbf {B}.}$

Aqui está a densidade de corrente (supercondutora) , E e B são, respectivamente, os campos elétrico e magnético dentro do supercondutor, é a carga de um elétron ou próton, é a massa do elétron e é uma constante fenomenológica vagamente associada a uma densidade numérica de portadores supercondutores . ${\ displaystyle {\ mathbf {j}}}$${\ displaystyle e \,}$${\ displaystyle m \,}$${\ displaystyle n_ {s} \,}$

As duas equações podem ser combinadas em uma única "Equação de Londres" em termos de um potencial vetorial específico que foi fixado pelo medidor no "medidor de Londres", fornecendo: ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {s}}$

${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {s} = - {\ frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} \ mathbf {A} _ {s}.}$

No medidor de Londres, o potencial vetorial obedece aos seguintes requisitos, garantindo que possa ser interpretado como uma densidade de corrente:

• ${\ displaystyle {\ text {div}} \ mathbf {A} _ {s} = 0,}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {s} = 0}$ no volume do supercondutor,
• ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {s} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} = 0,}$onde está o vetor normal na superfície do supercondutor.${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$

Esses requisitos eliminam toda a liberdade do medidor e determinam exclusivamente o potencial do vetor. Também se pode escrever a equação de Londres em termos de um medidor arbitrário simplesmente definindo , onde é uma função escalar e é a mudança no medidor que muda o medidor arbitrário para o medidor de Londres. A expressão do potencial vetorial é válida para campos magnéticos que variam lentamente no espaço. ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {s} = (\ mathbf {A} + \ nabla \ phi)}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ nabla \ phi}$

Profundidade de penetração de Londres

Se a segunda das equações de Londres for manipulada pela aplicação da lei de Ampère ,

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {j}}$,

então ele pode ser transformado na equação de Helmholtz para o campo magnético:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = {\ frac {1} {\ lambda _ {s} ^ {2}}} \ mathbf {B}}$

onde o inverso do autovalor laplaciano :

${\ displaystyle \ lambda _ {s} \ equiv {\ sqrt {\ frac {m} {\ mu _ {0} n_ {s} e ^ {2}}}}}$

é a escala de comprimento característica,, sobre a qual os campos magnéticos externos são exponencialmente suprimidos: é chamada de profundidade de penetração de Londres : os valores típicos são de 50 a 500 nm . ${\ displaystyle \ lambda _ {s}}$

Por exemplo, considere um supercondutor dentro do espaço livre onde o campo magnético fora do supercondutor é um valor constante apontado paralelo ao plano limite supercondutor na direção z . Se x conduz perpendicularmente ao limite, então a solução dentro do supercondutor pode ser mostrada como

${\ displaystyle B_ {z} (x) = B_ {0} e ^ {- x / \ lambda _ {s}}. \,}$

A partir daqui, o significado físico da profundidade de penetração de Londres pode talvez ser mais facilmente discernido.

Justificativa para as equações de Londres

Argumentos originais

Embora seja importante notar que as equações acima não podem ser derivadas formalmente, os Londons seguiram uma certa lógica intuitiva na formulação de sua teoria. As substâncias em uma faixa incrivelmente ampla de composição se comportam aproximadamente de acordo com a lei de Ohm , que afirma que a corrente é proporcional ao campo elétrico. No entanto, essa relação linear é impossível em um supercondutor, pois, quase por definição, os elétrons em um fluxo supercondutor sem resistência alguma. Para tanto, os irmãos London imaginaram os elétrons como se fossem elétrons livres sob a influência de um campo elétrico externo uniforme. De acordo com a lei da força de Lorentz

${\ displaystyle \ mathbf {F} = e \ mathbf {E} + e \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}}$

esses elétrons devem encontrar uma força uniforme e, portanto, devem de fato acelerar uniformemente. Isso é precisamente o que afirma a primeira equação de Londres.

Para obter a segunda equação, pegue a curva da primeira equação de Londres e aplique a lei de Faraday ,

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$,

obter

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {j} + {\ frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} \ mathbf { B} \ right) = 0.}$

Como está atualmente, esta equação permite soluções constantes e exponencialmente decrescentes. Os Londons reconheceram a partir do efeito Meissner que as soluções constantes diferentes de zero não eram físicas e, portanto, postularam que não apenas a derivada do tempo da expressão acima era igual a zero, mas também que a expressão entre parênteses deveria ser igual a zero. Isso resulta na segunda equação de Londres.

Argumentos de momentum canônico

Também é possível justificar as equações de Londres por outros meios. A densidade atual é definida de acordo com a equação

${\ displaystyle \ mathbf {j} = -n_ {s} e \ mathbf {v}.}$

Tomando esta expressão a partir de uma descrição clássica para um um mecânica quântica, temos de substituir os valores de j e v por os valores esperados de seus operadores. O operador de velocidade

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {1} {m}} \ left (\ mathbf {p} + e \ mathbf {A} \ right)}$

é definido pela divisão do operador de momento cinemático invariante de calibre pela massa da partícula m . Observe que estamos usando como a carga do elétron. Podemos então fazer essa substituição na equação acima. No entanto, uma suposição importante da teoria microscópica da supercondutividade é que o estado supercondutor de um sistema é o estado fundamental, e de acordo com um teorema de Bloch, em tal estado o momento canônico p é zero. Isso deixa ${\ displaystyle -e}$

${\ displaystyle \ mathbf {j} = - {\ frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} \ mathbf {A},}$

que é a equação de Londres de acordo com a segunda formulação acima.

Referências