Linha moiré - Line moiré

Moiré de linha é um tipo de padrão de moiré ; um padrão que aparece ao sobrepor duas camadas transparentes contendo padrões opacos correlacionados. O moiré de linha ocorre quando os padrões sobrepostos compreendem linhas retas ou curvas. Ao mover os padrões de camada, os padrões moiré se transformam ou se movem em uma velocidade mais rápida. Esse efeito é chamado de aceleração de moiré ótico.

Superposição de camadas com linhas paralelas que se repetem periodicamente

Figura 1. Duas camadas com linhas paralelas

Padrões de moiré simples podem ser observados ao sobrepor duas camadas transparentes compreendendo linhas paralelas opacas que se repetem periodicamente, como mostrado na Figura 1. As linhas de uma camada são paralelas às linhas da segunda camada.

A imagem de superposição não muda se as camadas transparentes com seus padrões opacos forem invertidas. Ao considerar as amostras impressas, uma das camadas é indicada como a camada de base e a outra como a camada de revelação. Supõe-se que a camada reveladora é impressa em uma transparência e é sobreposta no topo da camada de base, que pode ser impressa em uma transparência ou em um papel opaco. Os períodos dos padrões de duas camadas são próximos. Denotamos o período da camada de base como p b e o período da camada reveladora como p r .

A imagem de superposição da Figura 1 delineia faixas escuras paralelas que se repetem periodicamente, chamadas de linhas moiré. O espaçamento entre as linhas moiré é muito maior do que os períodos das linhas nas duas camadas.

Figura 2. Zonas de sobreposição e intercalação

As bandas claras da imagem de superposição correspondem às zonas onde as linhas de ambas as camadas se sobrepõem. As faixas escuras da imagem de superposição formando as linhas moiré correspondem às zonas onde as linhas das duas camadas se intercalam, ocultando o fundo branco. Os rótulos da Figura 2 mostram as passagens de zonas claras com linhas de camada sobrepostas para zonas escuras com linhas de camada intercaladas. As zonas claras e escuras são trocadas periodicamente.


A Figura 3 mostra um diagrama detalhado da imagem de superposição entre duas zonas adjacentes com linhas sobrepostas das camadas de revelação e de base (ou seja, entre duas bandas de luz).

O período p m das linhas moiré é a distância de um ponto onde as linhas de ambas as camadas se sobrepõem (na parte inferior da figura) até o próximo ponto (no topo). Vamos contar as linhas da camada, começando do ponto inferior. Na contagem 0, as linhas de ambas as camadas se sobrepõem. Como em nosso caso p r < p b , para o mesmo número de linhas contadas, as linhas da camada de base com um longo período avançam mais rápido do que as linhas da camada reveladora com um período curto. Na metade da distância p m , as linhas da camada de base estão à frente das linhas da camada reveladora por meio período ( p r / 2) das linhas da camada reveladora, devido ao qual as linhas se intercalam, formando uma faixa moiré escura. Na distância total p m , as linhas da camada base estão à frente das linhas da camada reveladora por um período completo p r , de modo que as linhas das camadas se sobrepõem novamente. As linhas da camada de base ganham a distância p m com tantas linhas ( p m / p b ) quanto o número das linhas da camada reveladora ( p m / p r ) para a mesma distância menos um: p m / p r = p m / p b + 1. A partir daqui, obtemos a fórmula bem conhecida para o período p m da imagem de superposição:

Para o caso em que o período da camada reveladora é maior do que o período da camada base, a distância entre as bandas de moiré é o valor absoluto calculado pela fórmula. A sobreposição de duas camadas com linhas paralelas forma uma imagem óptica composta por linhas moiré paralelas com ponto ampliado. De acordo com a fórmula para calcular p m , quanto mais próximos os períodos das duas camadas, mais forte é o fator de ampliação.

As espessuras das linhas de camada afetam a escuridão geral da imagem de superposição e a espessura das bandas moiré, mas o período p m não depende da espessura das linhas de camada.

Aceleração de movimentos com moiré

As bandas moiré da Figura 1 se moverão se deslocarmos a camada reveladora. Quando a camada reveladora se move perpendicularmente às linhas da camada, as bandas moiré se movem ao longo do mesmo eixo, mas várias vezes mais rápido do que o movimento da camada reveladora.

Figura 4. Movimento lento da camada reveladora para cima

A animação GIF mostrada na Figura 4 corresponde a um movimento lento da camada reveladora. O arquivo GIF anima repetidamente um movimento para cima da camada reveladora (perpendicular às linhas da camada) em uma distância igual a p r . A animação demonstra que as linhas moiré da imagem de superposição se movem a uma velocidade muito maior do que a velocidade de movimento da camada reveladora.

Quando a camada reveladora é deslocada perpendicularmente às linhas da camada por um período completo ( p r ) de seu padrão, a imagem ótica de superposição deve ser a mesma que a inicial. Isso significa que as linhas moiré percorrem uma distância igual ao período da imagem de superposição p m enquanto a camada reveladora percorre a distância igual ao seu período p r . Supondo que a camada de base seja imóvel ( v b = 0), a seguinte equação representa a proporção da velocidade óptica para a velocidade da camada reveladora:

Ao substituir p m por sua fórmula, temos

Caso o período da camada reveladora seja maior do que o período da camada base, a imagem ótica move-se na direção oposta. O valor negativo da razão calculada de acordo com esta fórmula significa um movimento na direção reversa.

Superposição de camadas com linhas inclinadas

Aqui, apresentamos padrões com linhas inclinadas. Quando estamos interessados ​​em speedup óptico, podemos representar o caso de padrões inclinados de forma que as fórmulas para calcular períodos de moiré e speedups ópticos permaneçam válidos em sua forma mais simples atual. Para tanto, os valores dos períodos p r , p b e p m correspondem às distâncias entre as linhas ao longo do eixo dos movimentos (o eixo vertical no exemplo animado da Figura 4). Quando as linhas da camada são perpendiculares ao eixo do movimento, os períodos ( p ) são iguais às distâncias (denotadas como T ) entre as linhas (como na Figura 4). Se as linhas são inclinadas, os períodos ( p ) ao longo do eixo do movimento não são iguais às distâncias ( T ) entre as linhas.

Calculando a inclinação das linhas moiré em função da inclinação das linhas das camadas

Figura 5. Inclinação idêntica de linhas de camada

A sobreposição de duas camadas com linhas inclinadas de forma idêntica forma linhas moiré inclinadas no mesmo ângulo. A Figura 5 é obtida da Figura 1 com um cisalhamento vertical. Na Figura 5 as linhas de camada e as linhas de moiré são inclinadas em 10 graus. Como a inclinação não é uma rotação, durante a inclinação a distância ( p ) entre as linhas da camada ao longo do eixo vertical é conservada, mas a distância real ( T ) entre as linhas (ao longo de um eixo perpendicular a essas linhas) é alterada. A diferença entre os períodos verticais p b , p r e as distâncias T b , T r é mostrada no diagrama da Figura 8.


O grau de inclinação das linhas da camada pode mudar ao longo do eixo horizontal formando curvas. A sobreposição de duas camadas com padrão de inclinação idêntico forma curvas moiré com o mesmo padrão de inclinação. Na Figura 6, o grau de inclinação das linhas de camada muda gradualmente de acordo com a seguinte sequência de graus (+30, –30, +30, –30, +30). Os períodos da camada p b e p r representam as distâncias entre as curvas ao longo do eixo vertical. As fórmulas apresentadas para calcular o período p m (distância vertical entre as curvas de moiré) e o speedup óptico (ao longo do eixo vertical) são válidas para a Figura 6.


Mais interessante é o caso quando os graus de inclinação das linhas de camada não são os mesmos para as camadas de base e reveladoras. A Figura 7 mostra uma animação de imagens de superposição onde o grau de inclinação das linhas da camada de base é constante (10 graus), mas a inclinação das linhas da camada reveladora oscila entre 5 e 15 graus. Os períodos das camadas ao longo do eixo vertical p b e p r são os mesmos o tempo todo. Correspondentemente, o período p m (ao longo do eixo vertical) calculado com a fórmula básica também permanece o mesmo.


A Figura 8 ajuda a calcular o grau de inclinação das linhas ópticas moiré em função da inclinação das linhas de revelação e da camada de base. Nós desenhamos as linhas das camadas esquematicamente sem mostrar suas verdadeiras espessuras. As linhas em negrito do diagrama inclinadas por α b graus são as linhas da camada de base. As linhas em negrito inclinadas por α r graus são as linhas de camada reveladoras. As linhas da camada de base são espaçadas verticalmente por uma distância igual a p b , e as linhas da camada reveladora são espaçadas verticalmente por uma distância igual a p r . As distâncias T b e T r representam o espaço real entre a camada base e as linhas da camada reveladora, correspondentemente. As interseções das linhas da base e das camadas reveladoras (marcadas na figura por duas setas) situam-se sobre um eixo central de uma faixa moiré leve. A linha tracejada da Figura 8 corresponde ao eixo da banda de moiré leve. O grau de inclinação das linhas moiré é, portanto, a inclinação α m da linha tracejada.

Da Figura 8, deduzimos as seguintes duas equações:

A partir dessas equações, deduzimos a equação para calcular a inclinação das linhas moiré em função das inclinações da camada de base e das linhas da camada reveladora:

Deduzindo outras fórmulas conhecidas

Os verdadeiros períodos padrão T b , T r e T m (ao longo dos eixos perpendiculares às linhas padrão) são calculados da seguinte forma (ver Figura 8):

A partir daqui, usando a fórmula para calcular tan ( α m ) com períodos p , deduzimos uma fórmula bem conhecida para calcular o ângulo de moiré α m com períodos T :

Da fórmula para calcular p m , deduzimos outra fórmula bem conhecida para calcular o período T m do padrão de moiré (ao longo do eixo perpendicular às bandas de moiré):

No caso particular em que T b = T r = T , a fórmula para o período T m é reduzida a uma fórmula bem conhecida:

E a fórmula para calcular α m é reduzida a:

A inclinação das linhas reveladoras em função da inclinação das linhas da imagem de superposição

Aqui está a equação para calcular a inclinação da linha da camada reveladora α r para uma determinada inclinação da linha da camada de base α b , e uma inclinação da linha moiré desejada α m :

Figura 9. Curvas de Moiré com linhas retas da camada de base

Para qualquer inclinação da linha da camada de base, esta equação nos permite obter uma inclinação da linha moiré desejada escolhendo corretamente a inclinação da camada reveladora. Na Figura 6 mostramos um exemplo onde as curvas das camadas seguem um padrão de inclinação idêntico formando uma imagem de superposição com o mesmo padrão de inclinação. Os graus de inclinação das linhas de camadas e moiré mudam ao longo do eixo horizontal de acordo com a seguinte seqüência de valores de graus alternados (+30, –30, +30, –30, +30). Na Figura 9, obtemos o mesmo padrão de superposição da Figura 6, mas com uma camada de base composta por linhas retas inclinadas em –10 graus. O padrão revelador da Figura 9 é calculado pela interpolação das curvas em linhas retas conectadas, onde para cada posição ao longo do eixo horizontal, o ângulo de inclinação da linha reveladora α r é calculado como uma função de α b e α m de acordo com a equação acima.

A Figura 9 demonstra que a diferença entre os ângulos de inclinação das linhas de revelação e da camada de base deve ser várias vezes menor do que a diferença entre os ângulos de inclinação das linhas de moiré e da camada de base.

Figura 10. Camada de base invertida e linhas moiré

Outro exemplo formando os mesmos padrões de superposição como na Figura 6 e Figura 9 é mostrado na Figura 10. Na Figura 10, o padrão de inclinação desejado (+30, -30, +30, -30, +30) é obtido usando uma camada de base com um padrão de inclinação invertido (–30, +30, –30, +30, –30).

Figura 11. As mesmas curvas moiré com modificação de padrões de camada
Efeito em linhas circulares.

A Figura 11 mostra uma animação onde obtemos uma imagem de superposição com um padrão de inclinação constante de linhas moiré (+30, –30, +30, –30, +30) para modificar continuamente pares de camadas de base e reveladoras. O padrão de inclinação da camada de base muda gradualmente e o padrão de inclinação da camada reveladora se adapta correspondentemente de modo que o padrão de inclinação da imagem de superposição permanece o mesmo.

Referências

  1. ^ CA Sciammarella; AJ Durelli (1962). "Franjas de moiré como meio de análise de cepas" (PDF) . Transações da Sociedade Americana de Engenheiros Civis . 127, parte I: 582–587. doi : 10.1061 / TACEAT.0008466 . Arquivado do original (PDF) em 11/12/2007 . Página visitada em 2007-03-19 .
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  3. ^ Emin Gabrielyan (2007-03-08). "Noções básicas de padrões de moiré de linha e speedup óptico". arXiv : física / 0703098 .
  4. ^ Stanley Morse; August J. Durelli; Cesar A. Sciammarella (1961). "Geometria das franjas moiré na análise de deformações" (PDF) . Transações da Sociedade Americana de Engenheiros Civis . 126, parte I: 250–271. Arquivado do original (PDF) em 2007-10-08 . Página visitada em 2007-03-19 .
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  6. ^ G. Oster; Y. Nishijima (1963). "Padrões de moiré". Scientific American . 208 (maio): 54–63. Bibcode : 1963SciAm.208e..54O . doi : 10.1038 / scientificamerican0563-54 .

links externos

  • Padrões de moiré de linha : Noções básicas de padrões de moiré de linha e speedup óptico; equações para calcular os contornos e as velocidades das curvas moiré; padrões circulares e movimentos rotacionais
  • Moiré de linha aleatória : Moiré de linha aleatória aperiódica
  • Mirrors of line moiré intro page: EUA , Suíça