Na geometria , a curva kappa ou curva de Gutschoven é uma curva algébrica bidimensional semelhante à letra grega ϰ (kappa)Gérard van Gutschoven por volta de 1662. Na história da matemática, ela é lembrada como um dos primeiros exemplos da aplicação de métodos de cálculo rudimentares de Isaac Barrow para determinar a tangente de uma curva. Isaac Newton e Johann Bernoulli continuaram os estudos dessa curva posteriormente.
Usando o sistema de coordenadas cartesianas , pode ser expresso como
x
2
(
x
2
+
y
2
)
=
uma
2
y
2
{\ displaystyle x ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) = a ^ {2} y ^ {2}}
ou, usando equações paramétricas ,
x
=
uma
pecado
t
,
y
=
uma
pecado
t
bronzeado
t
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhado} x & = a \ sin t, \\ y & = a \ sin t \ tan t. \ end {alinhado}}}
Em coordenadas polares, sua equação é ainda mais simples:
r
=
uma
bronzeado
θ
.
{\ displaystyle r = a \ tan \ theta.}
Tem duas assíntotas verticais em x = ± a
Curvatura da curva kappa :
κ
(
θ
)
=
8
(
3
-
pecado
2
θ
)
pecado
4
θ
uma
(
pecado
2
(
2
θ
)
+
4
)
3
2
.
{\ displaystyle \ kappa (\ theta) = {\ frac {8 \ left (3- \ sin ^ {2} \ theta \ right) \ sin ^ {4} \ theta} {a \ left (\ sin ^ {2 } (2 \ theta) +4 \ direita) ^ {\ frac {3} {2}}}}.}
tangencial :
ϕ
(
θ
)
=
-
Arctan
(
1
2
pecado
(
2
θ
)
)
.
{\ displaystyle \ phi (\ theta) = - \ arctan \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ sin (2 \ theta) \ right).}
Tangentes via infinitesimais As linhas tangentes da curva kappa também podem ser determinadas geometricamente usando diferenciais e as regras elementares da aritmética infinitesimal . Suponha que x e y sejam variáveis, enquanto a é considerada uma constante. A partir da definição da curva kappa,
x
2
(
x
2
+
y
2
)
-
uma
2
y
2
=
0
{\ displaystyle x ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) -a ^ {2} y ^ {2} = 0}
Agora, uma mudança infinitesimal em nossa localização também deve mudar o valor do lado esquerdo, então
d
(
x
2
(
x
2
+
y
2
)
-
uma
2
y
2
)
=
0
{\ displaystyle d \ left (x ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) -a ^ {2} y ^ {2} \ right) = 0}
Distribuindo o diferencial e aplicando regras adequadas ,
d
(
x
2
(
x
2
+
y
2
)
)
-
d
(
uma
2
y
2
)
=
0
(
2
x
d
x
)
(
x
2
+
y
2
)
+
x
2
(
2
x
d
x
+
2
y
d
y
)
-
uma
2
2
y
d
y
=
0
(
4
x
3
+
2
x
y
2
)
d
x
+
(
2
y
x
2
-
2
uma
2
y
)
d
y
=
0
x
(
2
x
2
+
y
2
)
d
x
+
y
(
x
2
-
uma
2
)
d
y
=
0
x
(
2
x
2
+
y
2
)
y
(
uma
2
-
x
2
)
=
d
y
d
x
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} d \ left (x ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) \ right) -d \ left (a ^ {2} y ^ {2} \ right) & = 0 \\ [6px] (2x \, dx) \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + x ^ {2} (2x \, dx + 2y \, dy) -a ^ {2} 2y \, dy & = 0 \\ [6px] \ left (4x ^ {3} + 2xy ^ {2} \ right) dx + \ left (2yx ^ {2} -2a ^ {2} y \ right) dy & = 0 \\ [6px] x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right) dx + y \ left (x ^ {2} -a ^ {2} \ right) dy & = 0 \\ [6px] {\ frac {x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} {y \ left (a ^ {2} -x ^ {2} \ right)}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {alinhados}}}
Derivado Se usarmos o conceito moderno de uma relação funcional y ( x )diferenciação implícita , a inclinação de uma linha tangente à curva kappa em um ponto ( x , y ) é:
2
x
(
x
2
+
y
2
)
+
x
2
(
2
x
+
2
y
d
y
d
x
)
=
2
uma
2
y
d
y
d
x
2
x
3
+
2
x
y
2
+
2
x
3
=
2
uma
2
y
d
y
d
x
-
2
x
2
y
d
y
d
x
4
x
3
+
2
x
y
2
=
(
2
uma
2
y
-
2
x
2
y
)
d
y
d
x
2
x
3
+
x
y
2
uma
2
y
-
x
2
y
=
d
y
d
x
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} 2x \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + x ^ {2} \ left (2x + 2y {\ frac {dy} {dx}} \ direita) & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 2x ^ {3} + 2xy ^ {2} + 2x ^ {3} & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} - 2x ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 4x ^ {3} + 2xy ^ {2} & = \ left (2a ^ {2} y-2x ^ {2} y \ right) {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] {\ frac {2x ^ {3} + xy ^ {2}} {a ^ {2 } yx ^ {2} y}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {alinhado}}}
links externos
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} d \ left (x ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) \ right) -d \ left (a ^ {2} y ^ {2} \ right) & = 0 \\ [6px] (2x \, dx) \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + x ^ {2} (2x \, dx + 2y \, dy) -a ^ {2} 2y \, dy & = 0 \\ [6px] \ left (4x ^ {3} + 2xy ^ {2} \ right) dx + \ left (2yx ^ {2} -2a ^ {2} y \ right) dy & = 0 \\ [6px] x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right) dx + y \ left (x ^ {2} -a ^ {2} \ right) dy & = 0 \\ [6px] {\ frac {x \ left (2x ^ {2} + y ^ {2} \ right)} {y \ left (a ^ {2} -x ^ {2} \ right)}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {alinhados}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fbbee06e516acb095da379a192f66d2c38e956)
![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} 2x \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + x ^ {2} \ left (2x + 2y {\ frac {dy} {dx}} \ direita) & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 2x ^ {3} + 2xy ^ {2} + 2x ^ {3} & = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} - 2x ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] 4x ^ {3} + 2xy ^ {2} & = \ left (2a ^ {2} y-2x ^ {2} y \ right) {\ frac {dy} {dx}} \\ [6px] {\ frac {2x ^ {3} + xy ^ {2}} {a ^ {2 } yx ^ {2} y}} & = {\ frac {dy} {dx}} \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba914f68cdf1eee7a64e63203b830e54b63a6522)