Joseph-Louis Lagrange - Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange
Лагранж.jpg
Joseph-Louis (Giuseppe Luigi),
conde de Lagrange
Nascer
Giuseppe Lodovico Lagrangia

(1736-01-25)25 de janeiro de 1736
Faleceu 10 de abril de 1813 (1813-04-10)(com 77 anos)
Cidadania Sardenha
Império Francês
Alma mater Universidade de turim
Conhecido por (ver lista)
Mecânica analítica
Cálculo da variação
Mecânica celeste
Análise matemática Teoria dos
números
Teoria das equações
Carreira científica
Campos Matemática
Astronomia
Mecânica
Instituições École Normale
École Polytechnique
Orientadores acadêmicos Leonhard Euler (correspondente epistolar)
Giovanni Battista Beccaria
Alunos notáveis Joseph Fourier
Giovanni Plana
Siméon Poisson
Influenciado Évariste Galois

Joseph-Louis Lagrange (nascido Giuseppe Luigi Lagrangia ou Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier ; 25 de janeiro de 1736 - 10 de abril de 1813), também relatado como Giuseppe Luigi Lagrange ou Lagrangia , foi um matemático e astrônomo italiano , posteriormente naturalizado francês. Ele fez contribuições significativas para os campos de análise , teoria dos números , e ambos os clássicos e mecânica celeste .

Em 1766, por recomendação do suíço Leonhard Euler e French d'Alembert , Lagrange sucedeu Euler como diretor de matemática na Academia Prussiana de Ciências em Berlim, Prússia , onde permaneceu por mais de vinte anos, produzindo volumes de trabalho e ganhando vários prêmios da Academia Francesa de Ciências . O tratado de Lagrange sobre mecânica analítica ( Mécanique analytique , 4. ed., 2 vols. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1788-89), escrito em Berlim e publicado pela primeira vez em 1788, ofereceu o tratamento mais abrangente da mecânica clássica desde Newton e formou a base para o desenvolvimento da física matemática no século XIX.

Em 1787, aos 51 anos, mudou-se de Berlim para Paris e tornou-se membro da Academia Francesa de Ciências. Ele permaneceu na França até o fim de sua vida. Ele foi fundamental na decimação na França revolucionária , tornou-se o primeiro professor de análise na École Polytechnique após sua inauguração em 1794, foi membro fundador do Bureau des Longitudes e tornou-se senador em 1799.

Contribuição científica

Lagrange foi um dos criadores do cálculo das variações , derivando as equações de Euler-Lagrange para extremos de funcionais . Ele estendeu o método para incluir possíveis restrições, chegando ao método dos multiplicadores de Lagrange . Lagrange inventou o método de resolver equações diferenciais conhecidas como variação de parâmetros , aplicou cálculo diferencial à teoria das probabilidades e trabalhou em soluções para equações algébricas . Ele provou que todo número natural é a soma de quatro quadrados . Seu tratado Theorie des fonctions analytiques lançou alguns dos fundamentos da teoria dos grupos , antecipando Galois . Em cálculo , Lagrange desenvolveu uma nova abordagem para interpolação e séries de Taylor . Ele estudou o problema dos três corpos para a Terra, o Sol e a Lua (1764) e o movimento dos satélites de Júpiter (1766) e, em 1772, encontrou as soluções de casos especiais para esse problema que geraram o que agora são conhecidos como pontos Lagrangianos . Lagrange é mais conhecido por transformar a mecânica newtoniana em um ramo da análise, a mecânica lagrangiana , e apresentou os "princípios" mecânicos como resultados simples do cálculo variacional.

Biografia

Na aparência, ele era de estatura mediana e ligeiramente formado, com olhos azul-claros e tez incolor. Seu caráter era nervoso e tímido, detestava a controvérsia e, para evitá-la, de bom grado permitia que outros assumissem o crédito pelo que ele mesmo havia feito.

Ele sempre pensava sobre o assunto de seus artigos antes de começar a escrevê-los e, normalmente, os escrevia imediatamente, sem um único apagamento ou correção.

WW Rouse Ball

Retrato de Joseph-Louis Lagrange (século 18)

Primeiros anos

Primogênito de onze filhos como Giuseppe Lodovico Lagrangia , Lagrange era de ascendência italiana e francesa. Seu bisavô paterno era um capitão da cavalaria francês , cuja família era originária da região francesa de Tours . Depois de servir a Luís XIV , ele entrou para o serviço de Carlos Emmanuel II , duque de Sabóia , e se casou com um Conti da nobre família romana. O pai de Lagrange, Giuseppe Francesco Lodovico, era doutor em Direito pela Universidade de Torino , enquanto sua mãe era filha única de um rico médico de Cambiano , no interior de Torino . Ele foi criado como católico romano (mas mais tarde tornou-se agnóstico ).

Seu pai, que estava encarregado do baú militar do rei e era tesoureiro do Escritório de Obras Públicas e Fortificações em Turim, deveria ter mantido uma boa posição social e riqueza, mas antes de seu filho crescer, ele perdeu a maior parte de suas propriedades em especulações . Uma carreira de advogado foi planejada para Lagrange por seu pai, e certamente Lagrange parece ter aceitado isso de bom grado. Ele estudou na Universidade de Torino e sua matéria favorita era o latim clássico. No início, ele não teve grande entusiasmo pela matemática, achando a geometria grega um tanto enfadonha.

Foi só aos dezessete anos que ele mostrou qualquer gosto pela matemática - seu interesse no assunto foi estimulado pela primeira vez por um artigo de Edmond Halley de 1693 que ele encontrou por acaso. Sozinho e sem ajuda, ele se dedicou aos estudos matemáticos; ao final de um ano de trabalho incessante, ele já era um matemático realizado. Charles Emmanuel III nomeou Lagrange para servir como o "Sostituto del Maestro di Matematica" (professor assistente de matemática) na Real Academia Militar de Teoria e Prática da Artilharia em 1755, onde ministrou cursos de cálculo e mecânica para apoiar o exército piemontês desde o início adoção das teorias balísticas de Benjamin Robins e Leonhard Euler . Nessa posição, Lagrange foi o primeiro a ensinar cálculo em uma escola de engenharia. De acordo com Alessandro Papacino D'Antoni , o comandante militar da academia e famoso teórico da artilharia, Lagrange infelizmente provou ser um professor problemático com seu estilo de ensino esquecido, raciocínio abstrato e impaciência com aplicações de artilharia e engenharia de fortificação. Nesta Academia, um de seus alunos foi François Daviet .

Cálculo Variacional

Lagrange é um dos fundadores do cálculo das variações . A partir de 1754, ele trabalhou no problema da tautócrona , descobrindo um método de maximizar e minimizar funcionais de forma semelhante a encontrar extremos de funções. Lagrange escreveu várias cartas a Leonhard Euler entre 1754 e 1756 descrevendo seus resultados. Ele delineou seu "algoritmo δ", levando às equações de cálculo variacional de Euler-Lagrange e simplificando consideravelmente a análise anterior de Euler. Lagrange também aplicou suas idéias a problemas da mecânica clássica, generalizando os resultados de Euler e Maupertuis .

Euler ficou muito impressionado com os resultados de Lagrange. Afirmou-se que "com cortesia característica, ele reteve um artigo que havia escrito anteriormente, que cobria parte do mesmo terreno, a fim de que o jovem italiano pudesse ter tempo para concluir seu trabalho e reivindicar a invenção indiscutível do novo cálculo" ; no entanto, essa visão cavalheiresca foi contestada. Lagrange publicou seu método em duas memórias da Sociedade de Torino em 1762 e 1773.

Miscelânea Taurinensia

Em 1758, com a ajuda de seus alunos (principalmente com Daviet), Lagrange estabeleceu uma sociedade, que foi posteriormente incorporada como a Academia de Ciências de Turim , e a maioria de seus primeiros escritos podem ser encontrados nos cinco volumes de suas transações, geralmente conhecido como a Miscelânea Taurinensia . Muitos deles são artigos elaborados. O primeiro volume contém um artigo sobre a teoria da propagação do som; nisso ele indica um erro cometido por Newton , obtém a equação diferencial geral para o movimento e a integra para o movimento em linha reta. Este volume também contém a solução completa do problema de uma corda vibrando transversalmente ; neste artigo ele aponta uma falta de generalidade nas soluções anteriormente dadas por Brook Taylor , D'Alembert e Euler, e chega à conclusão de que a forma da curva em qualquer momento t é dada pela equação . O artigo conclui com uma discussão magistral de ecos , batidas e sons compostos. Outros artigos neste volume são sobre séries recorrentes , probabilidades e o cálculo de variações .

O segundo volume contém um longo artigo que incorpora os resultados de vários artigos no primeiro volume sobre a teoria e notação do cálculo das variações; e ele ilustra seu uso deduzindo o princípio da menor ação e solucionando vários problemas de dinâmica .

O terceiro volume inclui a solução de vários problemas dinâmicos por meio do cálculo de variações; alguns artigos sobre cálculo integral ; uma solução do problema de Fermat mencionado acima: dado um inteiro n que não é um quadrado perfeito , encontrar um número x tal que x 2 n  + 1 seja um quadrado perfeito; e as equações diferenciais gerais de movimento para três corpos movendo-se sob suas atrações mútuas.

O próximo trabalho que ele produziu foi em 1764 sobre a libração da Lua, e uma explicação de por que a mesma face estava sempre voltada para a terra, um problema que ele tratou com a ajuda de um trabalho virtual . Sua solução é especialmente interessante por conter o germe da ideia de equações generalizadas de movimento, equações que ele provou formalmente em 1780.

Berlim

Já em 1756, Euler e Maupertuis , vendo o talento matemático de Lagrange, tentaram persuadir Lagrange a vir para Berlim, mas ele recusou timidamente a oferta. Em 1765, d'Alembert intercedeu em nome de Lagrange junto a Frederico da Prússia e, por carta, pediu-lhe que deixasse Turin para uma posição consideravelmente mais prestigiosa em Berlim. Ele novamente recusou a oferta, respondendo que

Parece-me que Berlim não seria nada adequado para mim enquanto M.Euler estiver lá .

Em 1766, depois que Euler deixou Berlim e foi para São Petersburgo , o próprio Frederico escreveu a Lagrange expressando o desejo do "maior rei da Europa" de ter "o maior matemático da Europa" residente em sua corte. Lagrange foi finalmente persuadido. Ele passou os próximos vinte anos na Prússia , onde produziu uma longa série de artigos publicados nas transações de Berlim e Turim, e compôs sua obra monumental, a Mécanique analytique . Em 1767, ele se casou com sua prima Vittoria Conti.

Lagrange era o favorito do rei, que frequentemente lhe dava preleções sobre as vantagens da perfeita regularidade de vida. A lição foi aceita, e Lagrange estudou sua mente e corpo como se fossem máquinas, e experimentou para encontrar a quantidade exata de trabalho que ele poderia fazer antes da exaustão. Todas as noites ele se propunha uma tarefa definida para o dia seguinte e, ao completar qualquer ramo de um assunto, ele escrevia uma breve análise para ver quais pontos nas demonstrações ou no assunto eram capazes de melhorar. Ele planejou cuidadosamente seus papéis antes de escrevê-los, geralmente sem um único apagamento ou correção.

Mesmo assim, durante seus anos em Berlim, a saúde de Lagrange estava bastante precária, e a de sua esposa Vittoria piorou ainda mais. Ela morreu em 1783 após anos de doença e Lagrange estava muito deprimido. Em 1786, Frederico II morreu e o clima de Berlim tornou-se difícil para Lagrange.

Paris

Em 1786, após a morte de Frederico, Lagrange recebeu convites semelhantes de estados como Espanha e Nápoles , e aceitou a oferta de Luís XVI para se mudar para Paris. Na França foi recebido com todas as marcas de distinção e apartamentos especiais no Louvre foram preparados para sua recepção, e ele se tornou membro da Academia Francesa de Ciências , que mais tarde passou a fazer parte do Institut de France (1795). No início de sua residência em Paris, ele foi tomado por um ataque de melancolia, e até mesmo a cópia impressa de sua Mécanique em que havia trabalhado por um quarto de século ficou por mais de dois anos fechada em sua mesa. A curiosidade quanto aos resultados da Revolução Francesa primeiro o tirou de sua letargia, curiosidade que logo se tornou alarmante com o desenvolvimento da revolução.

Foi mais ou menos na mesma época, 1792, que a inexplicável tristeza de sua vida e sua timidez comoveram a compaixão de Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, de 24 anos, filha de seu amigo, o astrônomo Pierre Charles Le Monnier . Ela insistiu em se casar com ele e revelou-se uma esposa dedicada, a quem ele se tornou afetuosamente ligado.

Em setembro de 1793, o Reinado do Terror começou. Sob intervenção de Antoine Lavoisier , que já havia sido expulso da Academia junto com muitos outros estudiosos, Lagrange foi especificamente isento nominalmente no decreto de outubro de 1793 que ordenava que todos os estrangeiros deixassem a França. Em 4 de maio de 1794, Lavoisier e 27 outros cobradores de impostos foram presos, condenados à morte e guilhotinados na tarde após o julgamento. Lagrange disse sobre a morte de Lavoisier:

Demorou apenas um momento para fazer com que essa cabeça caísse e cem anos não serão suficientes para produzi-la.

Embora Lagrange estivesse se preparando para escapar da França enquanto ainda havia tempo, ele nunca esteve em perigo; diferentes governos revolucionários (e posteriormente, Napoleão ) carregaram-no com honras e distinções. Esta sorte ou segurança pode, em certa medida, dever-se à atitude de vida que expressou muitos anos antes: " Acredito que, em geral, um dos primeiros princípios de todo homem sábio é obedecer estritamente às leis do país em que está vivendo, mesmo quando não é razoável ". Um testemunho impressionante do respeito pelo qual ele foi mantido foi demonstrado em 1796, quando o comissário francês na Itália foi ordenado a comparecer em pleno estado ao pai de Lagrange, e apresentar os parabéns da república pelas realizações de seu filho, que "havia feito honra a toda a humanidade por seu gênio, a quem foi a glória especial do Piemonte ter produzido. " Pode-se acrescentar que Napoleão, quando chegou ao poder, incentivou calorosamente os estudos científicos na França e foi um benfeitor liberal deles. Nomeado senador em 1799, foi o primeiro signatário da Sénatus-consulte, que em 1802 anexou a sua pátria Piemonte à França. Ele adquiriu a cidadania francesa em conseqüência. Os franceses alegaram que ele era um matemático francês, mas os italianos continuaram a considerá-lo italiano.

Unidades de medida

Lagrange esteve envolvido no desenvolvimento do sistema métrico de medição na década de 1790. Foi-lhe oferecida a presidência da Comissão para a Reforma dos Pesos e das Medidas ( la Commission des Poids et Mesures ) quando se preparava para a fuga. Após a morte de Lavoisier em 1794, foi em grande parte Lagrange quem influenciou a escolha das unidades de metro e quilograma com subdivisão decimal , pela comissão de 1799. Lagrange também foi um dos membros fundadores do Bureau des Longitudes em 1795.

École Normale

Em 1795, Lagrange foi nomeado para uma cadeira de matemática na recém-criada École Normale , que teve apenas uma curta existência de quatro meses. Suas palestras lá eram elementares; eles não contêm nada de qualquer importância matemática, embora forneçam um breve insight histórico sobre sua razão para propor undecimal ou Base 11 como o número de base para o sistema reformado de pesos e medidas. As palestras foram publicadas porque os professores deviam "prometer-se aos representantes do povo e uns aos outros não ler nem repetir de memória" ["Les professeurs aux Écoles Normales ont pris, avec les Représentans du Peuple, et entr ' eux l'engagement de ne point lire ou débiter de mémoire des discours écrits "]. Os discursos foram ordenados taquigrafados para que os deputados pudessem ver como os professores se saíam. Também se pensou que as palestras publicadas interessariam a uma parte significativa dos cidadãos ["Quoique des feuilles sténographiques soient essentiellement destinées aux eleves de l'École Noramale, on doit prévoir qu י elles seront lues par une grande partie de la Nation"].

École Polytechnique

Em 1794, Lagrange foi nomeado professor da École Polytechnique ; e suas palestras lá, descritas por matemáticos que tiveram a sorte de poder assisti-las, eram quase perfeitas tanto na forma quanto na matéria. Começando com os mais simples elementos, ele conduziu seus ouvintes até que, quase desconhecidos para eles, eles próprios estenderam os limites do assunto: acima de tudo, ele impressionou seus alunos com a vantagem de sempre usar métodos gerais expressos em uma notação simétrica.

Mas Lagrange não parece ter sido um professor de sucesso. Fourier , que participou de suas palestras em 1795, escreveu:

sua voz é muito fraca, pelo menos porque ele não fica acalorado; tem sotaque italiano muito acentuado e pronuncia o s como z [...] Os alunos, dos quais a maioria não é capaz de apreciá-lo, pouco lhe dão as boas-vindas, mas os professores o compensam.

Anos atrasados

A tumba de Lagrange na cripta do Panteão

Em 1810, Lagrange deu início a uma revisão completa da Mécanique analytique , mas foi capaz de concluir apenas cerca de dois terços dela antes de sua morte em Paris em 1813, na rue du Faubourg Saint-Honoré , 128 . Napoleão o homenageou com o Grand Croix da Ordre Impérial de la Réunion apenas dois dias antes de sua morte. Ele foi enterrado naquele mesmo ano no Panteão de Paris. A inscrição em seu túmulo diz na tradução:

JOSEPH LOUIS LAGRANGE. Senador. Conde do Império. Grande Oficial da Legião de Honra. Grã-Cruz da Ordem Imperial da Reunião . Membro do Instituto e do Bureau de Longitude. Nasceu em Turim em 25 de janeiro de 1736. Morreu em Paris em 10 de abril de 1813.

Trabalho em Berlim

Lagrange foi extremamente ativo cientificamente durante os vinte anos que passou em Berlim. Ele não apenas produziu sua Mécanique analytique , mas contribuiu com entre cem e duzentos artigos para a Academia de Turim, a Academia de Berlim e a Academia Francesa. Alguns deles são realmente tratados e todos, sem exceção, são de alto nível de excelência. Exceto por um curto período em que ficou doente, ele produzia em média cerca de um jornal por mês. Destes, observe o seguinte como um dos mais importantes.

Primeiro, suas contribuições para o quarto e quinto volumes, 1766–1773, da Miscelânea Taurinensia ; dos quais o mais importante foi o de 1771, no qual ele discutiu como numerosas observações astronômicas deveriam ser combinadas para dar o resultado mais provável. E mais tarde, suas contribuições para os primeiros dois volumes, 1784-1785, das transações da Academia de Torino; para o primeiro, ele contribuiu com um artigo sobre a pressão exercida pelos fluidos em movimento e, para o segundo, um artigo sobre a integração por séries infinitas e os tipos de problemas para os quais é adequado.

A maioria dos documentos enviados a Paris eram sobre questões astronômicas, e entre eles, incluindo seu artigo sobre o sistema Jupiteriano em 1766, seu ensaio sobre o problema dos três corpos em 1772, seu trabalho sobre a equação secular da Lua em 1773, e seu tratado sobre perturbações cometárias em 1778. Todos estes foram escritos sobre assuntos propostos pela Académie française , e em cada caso o prêmio foi concedido a ele.

Mecânica lagrangiana

Entre 1772 e 1788, Lagrange reformulou a mecânica clássica / newtoniana para simplificar as fórmulas e facilitar os cálculos. Essa mecânica é chamada de mecânica Lagrangiana .

Álgebra

O maior número de seus artigos durante este tempo foram, no entanto, contribuídos para a Academia Prussiana de Ciências . Vários deles lidam com questões de álgebra .

  • Sua discussão de representações de inteiros por formas quadráticas (1769) e por formas algébricas mais gerais (1770).
  • Seu tratado sobre a Teoria da Eliminação , 1770.
  • Teorema de Lagrange de que a ordem de um subgrupo H de um grupo G deve dividir a ordem de G.
  • Seus papéis de 1770 e 1771 sobre o processo geral de resolução de uma equação algébrica de qualquer grau por meio dos resolventes de Lagrange . Este método falha em fornecer uma fórmula geral para soluções de uma equação de grau cinco e superior, porque a equação auxiliar envolvida tem grau superior à original. O significado desse método é que ele exibe as fórmulas já conhecidas para resolver equações de segundo, terceiro e quarto graus como manifestações de um único princípio e foi fundamental na teoria de Galois . A solução completa de uma equação binomial (nomeadamente uma equação da forma ± ) também é tratada nestes artigos.
  • Em 1773, Lagrange considerou um determinante funcional de ordem 3, um caso especial de Jacobiano . Ele também provou a expressão para o volume de um tetraedro com um dos vértices na origem como um sexto do valor absoluto do determinante formado pelas coordenadas dos outros três vértices.

Teoria dos Números

Vários de seus primeiros artigos também tratam de questões da teoria dos números.

  • Lagrange (1766–1769) foi o primeiro europeu a provar que a equação de Pell x 2 - ny 2 = 1 tem uma solução não trivial nos inteiros para qualquer número natural não quadrado n .
  • Ele provou o teorema, afirmado por Bachet sem justificativa, de que todo número inteiro positivo é a soma de quatro quadrados , 1770.
  • Ele provou o teorema de Wilson de que (para qualquer inteiro n > 1 ): n é primo se e somente se ( n - 1)! + 1 é um múltiplo de n , 1771.
  • Seus papéis de 1773, 1775 e 1777 deram demonstrações de vários resultados enunciados por Fermat, e não provados anteriormente.
  • Seu Recherches d'Arithmétique de 1775 desenvolveu uma teoria geral das formas quadráticas binárias para lidar com o problema geral de quando um inteiro é representável pela forma ax 2 + por 2 + cxy .
  • Ele fez contribuições para a teoria das frações contínuas .

Outro trabalho matemático

Existem também numerosos artigos sobre vários pontos da geometria analítica . Em duas delas, escritas um pouco mais tarde, em 1792 e 1793, ele reduziu as equações das quádricas (ou conicóides) às suas formas canônicas .

Durante os anos de 1772 a 1785, ele contribuiu com uma longa série de artigos que criaram a ciência das equações diferenciais parciais . Uma grande parte desses resultados foi coletada na segunda edição do cálculo integral de Euler, publicada em 1794.

Astronomia

Por último, existem vários artigos sobre problemas em astronomia . Destes, os mais importantes são os seguintes:

  • Tentativa de resolver o problema geral de três corpos , com a conseqüente descoberta das duas soluções de padrão constante, colinear e equilátero, 1772. Essas soluções foram vistas mais tarde para explicar o que agora são conhecidos como pontos de Lagrange .
  • Sobre a atração dos elipsóides, 1773: baseia-se na obra de Maclaurin .
  • Na equação secular da Lua, 1773; também perceptível para a primeira introdução da ideia do potencial. O potencial de um corpo em qualquer ponto é a soma da massa de cada elemento do corpo quando dividido por sua distância do ponto. Lagrange mostrou que se o potencial de um corpo em um ponto externo fosse conhecido, a atração em qualquer direção poderia ser encontrada imediatamente. A teoria do potencial foi elaborada em um artigo enviado a Berlim em 1777.
  • Sobre o movimento dos nós da órbita de um planeta , 1774.
  • Sobre a estabilidade das órbitas planetárias, 1776.
  • Dois artigos nos quais o método de determinar a órbita de um cometa a partir de três observações está completamente elaborado, 1778 e 1783: isso não se mostrou de fato disponível na prática, mas seu sistema de cálculo das perturbações por meio de quadraturas mecânicas formou a base de a maioria das pesquisas subsequentes sobre o assunto.
  • Sua determinação das variações seculares e periódicas dos elementos dos planetas, 1781-1784: os limites superiores atribuídos a estes concordam intimamente com aqueles obtidos posteriormente por Le Verrier , e Lagrange procedeu até o conhecimento então possuído das massas do planetas permitidos.
  • Três artigos sobre o método de interpolação, 1783, 1792 e 1793: a parte das diferenças finitas que tratam disso está agora no mesmo estágio em que Lagrange a deixou.

Tratado fundamental

Além desses vários documentos, ele compôs seu tratado fundamental, a Mécanique analytique .

Neste livro, ele estabelece a lei do trabalho virtual e, a partir desse princípio fundamental, com a ajuda do cálculo das variações, deduz toda a mecânica , tanto de sólidos como de fluidos.

O objetivo do livro é mostrar que o assunto está implicitamente incluído em um único princípio e fornecer fórmulas gerais a partir das quais qualquer resultado particular pode ser obtido. O método de coordenadas generalizadas pelo qual ele obteve este resultado é talvez o resultado mais brilhante de sua análise. Em vez de seguir o movimento de cada parte individual de um sistema material, como D'Alembert e Euler fizeram, ele mostrou que, se determinarmos sua configuração por um número suficiente de variáveis x , chamadas de coordenadas generalizadas , cujo número é o mesmo que a dos graus de liberdade possuídos pelo sistema, então as energias cinética e potencial do sistema podem ser expressas em termos dessas variáveis, e as equações diferenciais de movimento daí deduzidas por diferenciação simples. Por exemplo, na dinâmica de um sistema rígido, ele substitui a consideração do problema particular pela equação geral, que agora é geralmente escrita na forma

onde T representa a energia cinética e V representa a energia potencial do sistema. Ele então apresentou o que agora conhecemos como o método dos multiplicadores de Lagrange - embora esta não seja a primeira vez que o método foi publicado - como um meio de resolver essa equação. Entre outros teoremas menores aqui dados, pode ser suficiente mencionar a proposição de que a energia cinética transmitida pelos impulsos dados a um sistema material sob determinadas restrições é um máximo, e o princípio da menor ação . Toda a análise é tão elegante que Sir William Rowan Hamilton disse que a obra só poderia ser descrita como um poema científico. Lagrange observou que a mecânica era realmente um ramo da matemática pura análogo a uma geometria de quatro dimensões, a saber, o tempo e as três coordenadas do ponto no espaço; e diz-se que ele se orgulhava de que do início ao fim da obra não houvesse um único diagrama. A princípio, não foi encontrado nenhum impressor que publicasse o livro; mas Legendre finalmente persuadiu uma firma de Paris a assumi-lo, e foi emitido sob a supervisão de Laplace, Cousin, Legendre (editor) e Condorcet em 1788.

Trabalho na frança

Cálculo diferencial e cálculo de variações

Joseph-Louis Lagrange

As palestras de Lagrange sobre cálculo diferencial na École Polytechnique formam a base de seu tratado Théorie des fonctions analytiques , publicado em 1797. Este trabalho é a extensão de uma ideia contida em um artigo que ele enviou aos jornais de Berlim em 1772, e seu O objetivo é substituir o cálculo diferencial por um grupo de teoremas baseados no desenvolvimento de funções algébricas em série, apoiando-se em particular no princípio da generalidade da álgebra .

Um método um tanto semelhante foi usado anteriormente por John Landen na Residual Analysis , publicada em Londres em 1758. Lagrange acreditava que poderia, assim, se livrar dessas dificuldades, relacionadas com o uso de quantidades infinitamente grandes e infinitamente pequenas, às quais os filósofos objetaram no tratamento usual do cálculo diferencial. O livro é dividido em três partes: destas, a primeira trata da teoria geral das funções e fornece uma prova algébrica do teorema de Taylor , cuja validade é, entretanto, questionável; o segundo trata de aplicações à geometria; e o terceiro com aplicações em mecânica.

Outro tratado na mesma linha foi seu Leçons sur le calcul des fonctions , publicado em 1804, com a segunda edição em 1806. É neste livro que Lagrange formulou seu célebre método dos multiplicadores de Lagrange , no contexto de problemas de cálculo variacional com restrições integrais. Esses trabalhos dedicados ao cálculo diferencial e ao cálculo das variações podem ser considerados como o ponto de partida para as pesquisas de Cauchy , Jacobi e Weierstrass .

Infinitesimais

Em um período posterior, Lagrange abraçou totalmente o uso de infinitesimais em vez de fundar o cálculo diferencial no estudo de formas algébricas; e no prefácio da segunda edição da Mécanique Analytique , publicada em 1811, ele justifica o emprego dos infinitesimais e conclui dizendo que:

Quando apreendemos o espírito do método infinitesimal e verificamos a exatidão de seus resultados, seja pelo método geométrico das razões primárias e finais, seja pelo método analítico de funções derivadas, podemos empregar quantidades infinitamente pequenas como uma garantia e valiosa meios de encurtar e simplificar nossas provas.

Teoria dos Números

Sua Résolution des équations numériques , publicada em 1798, também foi fruto de suas palestras na École Polytechnique. Lá ele dá o método de aproximação das raízes reais de uma equação por meio de frações contínuas e enuncia vários outros teoremas. Em uma nota no final, ele mostra como o pequeno teorema de Fermat , que é

onde p é primo e a é primo ap , pode ser aplicado para fornecer a solução algébrica completa de qualquer equação binomial. Ele também explica aqui como a equação cujas raízes são os quadrados das diferenças das raízes da equação original pode ser usada de modo a fornecer informações consideráveis ​​quanto à posição e natureza dessas raízes.

Mecânica celestial

A teoria dos movimentos planetários havia sido o assunto de alguns dos mais notáveis ​​artigos de Lagrange em Berlim. Em 1806, o assunto foi reaberto por Poisson , que, em um artigo lido na Academia Francesa, mostrou que as fórmulas de Lagrange levavam a certos limites para a estabilidade das órbitas. Lagrange, que estava presente, agora discutia todo o assunto novamente, e em uma carta comunicada à Academia em 1808 explicou como, pela variação de constantes arbitrárias, as desigualdades periódicas e seculares de qualquer sistema de corpos interagindo mutuamente podiam ser determinadas.

Prêmios e distinções

Euler propôs Lagrange para a eleição para a Academia de Berlim e ele foi eleito em 2 de setembro de 1756. Ele foi eleito membro da Royal Society de Edimburgo em 1790, membro da Royal Society e membro estrangeiro da Royal Swedish Academy of Sciences em 1806. Em 1808, Napoleão fez de Lagrange um Grande Oficial da Legião de Honra e um Conde do Império . Ele foi condecorado com o Grand Croix da Ordre Impérial de la Réunion em 1813, uma semana antes de sua morte em Paris, e foi enterrado no Panthéon , um mausoléu dedicado ao mais honrado povo francês.

Lagrange recebeu o prêmio de 1764 da Academia Francesa de Ciências por suas memórias sobre a Libertação da Lua. Em 1766, a Academia propôs um problema do movimento dos satélites de Júpiter , e o prêmio novamente foi concedido a Lagrange. Ele também compartilhou ou ganhou os prêmios de 1772, 1774 e 1778.

Lagrange é um dos 72 cientistas franceses proeminentes que foram homenageados em placas no primeiro estágio da Torre Eiffel, quando ela foi inaugurada. A Rue Lagrange no 5º Arrondissement de Paris leva o seu nome. Em Turim, a rua onde ainda se encontra a casa onde nasceu recebe o nome de via Lagrange . A cratera lunar Lagrange e o asteróide 1006 Lagrangea também levam seu nome.

Veja também

Notas

Referências

Citações

Fontes

A versão inicial deste artigo foi retirada do recurso de domínio público A Short Account of the History of Mathematics (4ª edição, 1908) de WW Rouse Ball .

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