Cálculo de Jones - Jones calculus

Em óptica , a luz polarizada pode ser descrita usando o cálculo de Jones , descoberto por RC Jones em 1941. A luz polarizada é representada por um vetor de Jones e os elementos ópticos lineares são representados por matrizes de Jones . Quando a luz cruza um elemento óptico, a polarização resultante da luz emergente é encontrada tomando o produto da matriz de Jones do elemento óptico e o vetor de Jones da luz incidente. Observe que o cálculo de Jones só se aplica à luz que já está totalmente polarizada. A luz que é polarizada aleatoriamente, parcialmente polarizada ou incoerente deve ser tratada usando o cálculo de Mueller .

Vetor de Jones

O vetor de Jones descreve a polarização da luz no espaço livre ou outro meio não atenuante isotrópico homogêneo , onde a luz pode ser apropriadamente descrita como ondas transversais . Suponha que uma onda plana monocromática de luz esteja viajando na direção z positiva , com frequência angular ω e vetor de onda k = (0,0, k ), onde o número de onda k = ω / c . Então, os campos elétrico e magnético E e H são ortogonais ak em cada ponto; ambos se encontram no plano "transversal" à direção do movimento. Além disso, H é determinado a partir de E por uma rotação de 90 graus e um multiplicador fixo dependendo da impedância de onda do meio. Assim, a polarização da luz pode ser determinada estudando E . A amplitude complexa de E é escrita

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E_ {x} (t) \\ E_ {y} (t) \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i ( kz- \ omega t + \ phi _ {x})} \\ E_ {0y} e ^ {i (kz- \ omega t + \ phi _ {y})} \\ 0 \ end {pmatriz}} = {\ begin {pmatriz} E_ {0x} e ^ {i \ phi _ {x}} \\ E_ {0y} e ^ {i \ phi _ {y}} \\ 0 \ end {pmatriz}} e ^ {i (kz - \ omega t)}.}$

Observe que o campo físico E é a parte real desse vetor; o multiplicador complexo fornece as informações de fase. Aqui está a unidade imaginária com . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$

O vetor Jones é

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E_ {0x} e ^ {i \ phi _ {x}} \\ E_ {0y} e ^ {i \ phi _ {y}} \ end {pmatrix}}.}$

Assim, o vector de Jones representa a amplitude e a fase do campo eléctrico no x e y instruções.

A soma dos quadrados dos valores absolutos dos dois componentes dos vetores de Jones é proporcional à intensidade da luz. É comum normalizá-lo para 1 no ponto de partida do cálculo para simplificação. Também é comum restringir o primeiro componente dos vetores de Jones a um número real . Isso descarta as informações gerais da fase que seriam necessárias para o cálculo da interferência com outros feixes.

Observe que todos os vetores e matrizes de Jones neste artigo empregam a convenção de que a fase da onda de luz é dada por , uma convenção usada por Hecht. Sob esta convenção, o aumento em (ou ) indica retardo (atraso) na fase, enquanto a diminuição indica avanço na fase. Por exemplo, um componente de vetores de Jones de ( ) indica retardo em (ou 90 graus) em comparação com 1 ( ). A polarização circular descrita pela convenção de Jones é chamada: "Do ponto de vista do receptor." Collett usa a definição oposta para a fase ( ). A polarização circular descrita pela convenção de Collett é chamada de: "Do ponto de vista da fonte". O leitor deve ser cauteloso quanto à escolha da convenção ao consultar referências sobre o cálculo de Jones. ${\ displaystyle \ phi = kz- \ omega t}$${\ displaystyle \ phi _ {x}}$${\ displaystyle \ phi _ {y}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle = e ^ {i \ pi / 2}}$${\ displaystyle \ pi / 2}$${\ displaystyle = e ^ {0}}$${\ displaystyle \ phi = \ omega t-kz}$

A tabela a seguir fornece os 6 exemplos comuns de vetores de Jones normalizados.

Polarização	Vetor de Jones	Notação típica do Ket
Linear polarizado na direção x Normalmente chamado de "horizontal"	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | H \ rangle}$
Linear polarizado na direção y Normalmente chamado de "vertical"	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | V \ rangle}$
Linear polarizado a 45 ° do eixo x Normalmente chamado de "diagonal" L + 45	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | D \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} | H \ rangle + | V \ rangle {\ big)}}$
Linear polarizado a −45 ° do eixo x Normalmente chamado de "anti-diagonal" L − 45	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | A \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} | H \ rangle - | V \ rangle {\ big)}}$
Polarizado circular à direita, normalmente chamado de "RCP" ou "RHCP"	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ - i \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | R \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} | H \ rangle -i | V \ rangle {\ big)}}$
Polarizado circular à esquerda, normalmente chamado de "LCP" ou "LHCP"	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ + i \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle | L \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} | H \ rangle + i | V \ rangle {\ big)}}$

Um vetor geral que aponta para qualquer lugar na superfície é escrito como um Ket . Ao empregar a esfera de Poincaré (também conhecida como esfera de Bloch ), os kets de base ( e ) devem ser atribuídos a pares opostos ( antípodas ) dos kets listados acima. Por exemplo, pode-se atribuir = e = . Essas atribuições são arbitrárias. Pares opostos são ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | H \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | V \ rangle}$

• ${\ displaystyle | H \ rangle}$ e ${\ displaystyle | V \ rangle}$
• ${\ displaystyle | D \ rangle}$ e ${\ displaystyle | A \ rangle}$
• ${\ displaystyle | R \ rangle}$ e ${\ displaystyle | L \ rangle}$

A polarização de qualquer ponto diferente ou não do círculo que o atravessa é conhecida como polarização elíptica . ${\ displaystyle | R \ rangle}$${\ displaystyle | L \ rangle}$${\ displaystyle | H \ rangle, | D \ rangle, | V \ rangle, | A \ rangle}$

Matrizes de Jones

As matrizes de Jones são operadores que atuam nos vetores de Jones definidos acima. Essas matrizes são implementadas por vários elementos ópticos, como lentes, divisores de feixe, espelhos, etc. Cada matriz representa a projeção em um subespaço complexo unidimensional dos vetores de Jones. A tabela a seguir fornece exemplos de matrizes de Jones para polarizadores:

Elemento óptico	Matriz de Jones
Polarizador linear com eixo de transmissão horizontal	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 e 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$
Polarizador linear com eixo de transmissão vertical	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Polarizador linear com eixo de transmissão em ± 45 ° com o horizontal	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 e \ pm 1 \\\ pm 1 e 1 \ end {pmatrix}}}$
Polarizador linear com eixo de ângulo de transmissão da horizontal${\ displaystyle \ theta}$	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos ^ {2} (\ theta) & \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ sin (\ theta) & \ sin ^ {2} (\ theta) \ end {pmatriz}}}$
Polarizador circular direito	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & i \\ - i & 1 \ end {pmatrix}}}$
Polarizador circular esquerdo	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \ end {pmatrix}}}$

Retardadores de fase

Os retardadores de fase introduzem uma mudança de fase entre os componentes vertical e horizontal do campo e, assim, mudam a polarização do feixe. Os retardadores de fase são geralmente feitos de cristais uniaxiais birrefringentes , como calcita , MgF ₂ ou quartzo . Cristais uniaxiais têm um eixo de cristal que é diferente dos outros dois eixos de cristal (isto é, n _i ≠ n _j = n _k ). Este eixo único é denominado eixo extraordinário e também denominado eixo óptico . Um eixo óptico pode ser o eixo rápido ou lento do cristal, dependendo do cristal em questão. A luz viaja com uma velocidade de fase mais alta ao longo de um eixo que tem o menor índice de refração e esse eixo é chamado de eixo rápido. Da mesma forma, um eixo que tem o maior índice de refração é chamado de eixo lento, uma vez que a velocidade de fase da luz é a mais baixa ao longo desse eixo. "Negativo" cristais uniaxiais (por exemplo, a calcite CaCO ₃ , safira Al ₂ O ₃ ) tem n _e < n _o modo para estes cristais, o eixo extraordinária (eixo óptico) é o eixo rápido, enquanto que para cristais uniaxiais "positivas" (por exemplo, , quartzo SiO ₂ , fluoreto de magnésio MgF ₂ , rutilo TiO ₂ ), n _e > n _o e, portanto, o eixo extraordinário (eixo óptico) é o eixo lento.

Qualquer retardador de fase com eixo rápido igual ao eixo x ou y tem termos zero fora da diagonal e, portanto, pode ser convenientemente expresso como

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e ^ {i \ phi _ {x}} & 0 \\ 0 & e ^ {i \ phi _ {y}} \ end {pmatrix}}}$

onde e são os deslocamentos de fase dos campos elétricos nas direções e respectivamente. Na convenção de fase , defina a fase relativa entre as duas ondas como . Então, um positivo (ou seja, > ) significa que não atinge o mesmo valor que até um momento posterior, ou seja, leads . Da mesma forma, se , então leva . ${\ displaystyle \ phi _ {x}}$${\ displaystyle \ phi _ {y}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ phi = kz- \ omega t}$${\ displaystyle \ epsilon = \ phi _ {y} - \ phi _ {x}}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ phi _ {y}}$${\ displaystyle \ phi _ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle \ epsilon <0}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle E_ {x}}$

Por exemplo, se o eixo rápido de uma placa de um quarto de onda é horizontal, então a velocidade de fase ao longo da direção horizontal está à frente da direção vertical, ou seja, conduz . Assim, o que para um quarto de onda cede a placa . ${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle \ phi _ {x} <\ phi _ {y}}$${\ displaystyle \ phi _ {y} = \ phi _ {x} + \ pi / 2}$

Na convenção oposta , defina a fase relativa como . Então significa que não atinge o mesmo valor que até um momento posterior, ou seja, leads . ${\ displaystyle \ phi = \ omega t-kz}$${\ displaystyle \ epsilon = \ phi _ {x} - \ phi _ {y}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$

Retardadores de fase	Matriz de Jones correspondente
Placa de quarto de onda com eixo rápido vertical	${\ displaystyle e ^ {\ frac {i \ pi} {4}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatrix}}}$
Placa de quarto de onda com eixo rápido horizontal	${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {i \ pi} {4}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \ end {pmatrix}}}$
Placa de um quarto de onda com eixo rápido em ângulo em relação ao eixo horizontal ${\ displaystyle \ theta}$	${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {i \ pi} {4}}} {\ begin {pmatrix} \ cos ^ {2} \ theta + i \ sin ^ {2} \ theta & (1-i) \ sin \ theta \ cos \ theta \\ (1-i) \ sin \ theta \ cos \ theta & \ sin ^ {2} \ theta + i \ cos ^ {2} \ theta \ end {pmatriz}}}$
Placa de meia onda com eixo rápido em ângulo em relação ao eixo horizontal ${\ displaystyle \ theta}$	${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {i \ pi} {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ theta & 2 \ cos \ theta \ sin \ theta \\ 2 \ cos \ theta \ sin \ theta & \ sin ^ {2} \ theta - \ cos ^ {2} \ theta \ end {pmatriz}}}$
Material birrefringente arbitrário (como retardador de fase)	${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {i \ eta} {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos ^ {2} \ theta + e ^ {i \ eta} \ sin ^ {2} \ theta & \ left (1-e ^ {i \ eta} \ right) e ^ {- i \ phi} \ cos \ theta \ sin \ theta \\\ left (1-e ^ {i \ eta} \ right) e ^ {i \ phi} \ cos \ theta \ sin \ theta & \ sin ^ {2} \ theta + e ^ {i \ eta} \ cos ^ {2} \ theta \ end {pmatriz}}}$

As expressões especiais para os retardadores de fase podem ser obtidas tomando valores de parâmetros adequados na expressão geral para um material birrefringente. Na expressão geral:

• O retardo de fase relativo induzido entre o eixo rápido e o eixo lento é dado por ${\ displaystyle \ eta = \ phi _ {y} - \ phi _ {x}}$
• ${\ displaystyle \ theta}$ é a orientação do eixo rápido em relação ao eixo x.
• ${\ displaystyle \ phi}$ é a circularidade.

Observe que, para retardadores lineares, = 0 e para retardadores circulares, = ± / 2, = / 4. Em geral, para retardadores elípticos, assume valores entre - / 2 e / 2. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

Elementos girados axialmente

Suponha que um elemento óptico tem seu eixo óptico perpendicular ao vetor de superfície para o plano de incidência e é girado em torno desse vetor de superfície pelo ângulo θ / 2 (ou seja, o plano principal, através do qual o eixo óptico passa, faz o ângulo θ / 2 com respeito ao plano de polarização do campo elétrico da onda TE incidente). Lembre-se de que uma placa de meia onda gira a polarização com o dobro do ângulo entre a polarização incidente e o eixo óptico (plano principal). Portanto, a matriz de Jones para o estado de polarização girado, M ( θ ), é

${\ displaystyle M (\ theta) = R (- \ theta) \, M \, R (\ theta),}$

Onde ${\ displaystyle R (\ theta) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}.}$

Isso está de acordo com a expressão para placa de meia onda na tabela acima. Essas rotações são idênticas à transformação divisora ​​unitária do feixe em física óptica dada por

${\ displaystyle R (\ theta) = {\ begin {pmatrix} r & t '\\ t & r' \ end {pmatrix}}}$

onde os coeficientes com e sem primer representam feixes incidentes de lados opostos do divisor de feixe. Os componentes refletidos e transmitidos adquirem uma fase θ _r e θ _t , respectivamente. Os requisitos para uma representação válida do elemento são

${\ displaystyle \ theta _ {\ text {t}} - \ theta _ {\ text {r}} + \ theta _ {\ text {t '}} - \ theta _ {\ text {r'}} = \ pm \ pi}$

e ${\ displaystyle r ^ {*} t '+ t ^ {*} r' = 0.}$

Ambas as representações são matrizes unitárias que se enquadram nesses requisitos; e, como tal, são válidos.

Elementos girados arbitrariamente

Isso envolveria uma matriz de rotação tridimensional . Consulte Russell A. Chipman e Garam Yun para o trabalho realizado nisso.

Veja também

• Polarização
• Parâmetros de dispersão
• Parâmetros de Stokes
• Cálculo de Mueller
• Polarização de fóton

Notas

Referências

Leitura adicional

• E. Collett, Guia de Campo para Polarização , Guias de Campo SPIE vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN  0-8194-5868-6 .
• D. Goldstein e E. Collett, Polarized Light , 2ª ed., CRC Press (2003). ISBN  0-8247-4053-X .
• E. Hecht, Optics , 2ª ed., Addison-Wesley (1987). ISBN  0-201-11609-X .
• Frank L. Pedrotti, SJ Leno S. Pedrotti, Introdução à Óptica , 2ª ed., Prentice Hall (1993). ISBN  0-13-501545-6
• A. Gerald e JM Burch, Introduction to Matrix Methods in Optics , 1ª ed., John Wiley & Sons (1975). ISBN  0-471-29685-6
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• Jones, R. Clark (1941). "Um novo cálculo para o tratamento de sistemas ópticos, III A Teoria Sohncke da atividade óptica". Journal of the Optical Society of America . 31 (7): 500–503. doi : 10.1364 / JOSA.31.000500 .
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• William Shurcliff (1966) Polarized Light: Production and Use , capítulo 8 Mueller Calculus and Jones Calculus, página 109, Harvard University Press .

links externos

• Jones Calculus escrito por E. Collett na Optipedia