Integral da função secante - Integral of the secant function

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v t e

No cálculo, a integral da função secante pode ser avaliada usando uma variedade de métodos e há várias maneiras de expressar a antiderivada, todas as quais podem ser mostradas como equivalentes por meio de identidades trigonométricas ,

${\ displaystyle \ int \ sec \ theta \, d \ theta = {\ begin {cases} {\ dfrac {1} {2}} \ ln \ left | {\ dfrac {1+ \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}} \ right | + C \\ [15pt] \ ln \ left | \ sec \ theta + \ tan \ theta \ right | + C \\ [15pt] \ ln \ left | \ tan \ left ( {\ dfrac {\ theta} {2}} + {\ dfrac {\ pi} {4}} \ right) \ right | + C \\ [15pt] \ end {cases}}}$

Esta fórmula é útil para avaliar vários integrais trigonométricos. Em particular, ele pode ser usado para avaliar a integral da secante ao cubo , que, embora aparentemente especial, surge com bastante frequência em aplicações.

Prova de que as diferentes antiderivadas são equivalentes

Formas trigonométricas

${\ displaystyle \ int \ sec \ theta \, d \ theta = \ left \ {{\ begin {array} {l} {\ dfrac {1} {2}} \ ln \ left | {\ dfrac {1+ \ sen \ theta} {1- \ sin \ theta}} \ right | + C \\ [15pt] \ ln \ left | \ sec \ theta + \ tan \ theta \ right | + C \\ [15pt] \ ln \ esquerda | \ tan \ esquerda ({\ dfrac {\ theta} {2}} + {\ dfrac {\ pi} {4}} \ direita) \ direita | + C \ end {array}} \ direita \} {\ texto {(formas equivalentes)}}}$

O segundo destes segue multiplicando primeiro a parte superior e a parte inferior da fração interior por . Isso fornece o denominador e o resultado segue movendo o fator de 1/2 para o logaritmo como uma raiz quadrada. Deixando de lado a constante de integração por enquanto, ${\ displaystyle (1+ \ sin \ theta)}$${\ displaystyle 1- \ sin ^ {2} \ theta = \ cos ^ {2} \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dfrac {1} {2}} \ ln \ left | {\ dfrac {1+ \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}} \ right | & = { \ dfrac {1} {2}} \ ln \ left | {\ dfrac {1+ \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}} \ cdot {\ dfrac {1+ \ sin \ theta} {1+ \ sin \ theta}} \ right | = {\ dfrac {1} {2}} \ ln \ left | {\ dfrac {(1+ \ sin \ theta) ^ {2}} {1- \ sin ^ {2 } \ theta}} \ right | = {\ dfrac {1} {2}} \ ln \ left | {\ dfrac {(1+ \ sin \ theta) ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ theta }} \ right | \\ [6pt] & = {\ dfrac {1} {2}} \ ln \ left ({\ dfrac {1+ \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} \ right) ^ { 2} = \ ln {\ sqrt {\ left ({\ dfrac {1+ \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} \ right) ^ {2}}} = \ ln \ left | {\ dfrac {1 + \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} \ right | = \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |. \ end {alinhado}}}$

A terceira forma segue substituindo por e expandindo usando as identidades de . Também pode ser obtido diretamente por meio das seguintes substituições: ${\ displaystyle \ sin \ theta}$${\ displaystyle - \ cos (\ theta + \ pi / 2)}$${\ displaystyle \ cos 2x}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ left (\ theta + {\ dfrac {\ pi} {2}} \ right)}} = {\ frac { 1} {2 \ sin \ left ({\ dfrac {\ theta} {2}} + {\ dfrac {\ pi} {4}} \ right) \ cos \ left ({\ dfrac {\ theta} {2} } + {\ dfrac {\ pi} {4}} \ right)}} = {\ frac {\ sec ^ {2} \ left ({\ dfrac {\ theta} {2}} + {\ dfrac {\ pi } {4}} \ right)} {2 \ tan \ left ({\ dfrac {\ theta} {2}} + {\ dfrac {\ pi} {4}} \ right)}}. \ End {alinhado} }}$

A solução convencional para a ordenada de projeção de Mercator pode ser escrita sem os sinais de módulo, uma vez que a latitude está entre e , ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$

${\ displaystyle y = \ ln \ tan \! \ left ({\ frac {\ varphi} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right).}$

Formas hiperbólicas

Deixar

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ psi & = \ ln (\ sec \ theta + \ tan \ theta), \\ e ^ {\ psi} & = \ sec \ theta + \ tan \ theta, \\\ sinh \ psi & = {\ frac {1} {2}} (e ^ {\ psi} -e ^ {- \ psi}) = \ tan \ theta, \\\ cosh \ psi & = {\ sqrt {1 + \ sinh ^ {2} \ psi}} = \ sec \ theta, \\\ tanh \ psi & = \ sin \ theta. \ end {alinhado}}}$

Portanto,

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int \ sec \ theta \, d \ theta & = \ psi = \ tanh ^ {- 1} \! \ left (\ sin \ theta \ right) = \ sinh ^ {- 1} \! \ Left (\ tan \ theta \ right) = \ cosh ^ {- 1} \! \ Left (\ sec \ theta \ right). \ End {alinhado}}}$

História

A integral da função secante foi um dos "problemas abertos pendentes de meados do século XVII", resolvido em 1668 por James Gregory . Ele aplicou seu resultado a um problema relacionado a tabelas náuticas. Em 1599, Edward Wright avaliou a integral por métodos numéricos - o que hoje chamaríamos de somas de Riemann . Ele queria a solução para fins de cartografia - especificamente para construir uma projeção Mercator precisa . Na década de 1640, Henry Bond, um professor de navegação, levantamento e outros tópicos matemáticos, comparou a tabela de valores da integral da secante computada numericamente de Wright com uma tabela de logaritmos da função tangente e, conseqüentemente, conjeturou que

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sec \ theta '\, d \ theta' = \ ln \ left | \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right |.}$

Essa conjectura se tornou amplamente conhecida e, em 1665, Isaac Newton estava ciente disso.

Avaliações

Por uma substituição padrão (abordagem de Gregory)

Um método padrão de avaliação da integral secante apresentado em várias referências envolve a multiplicação do numerador e denominador por e, em seguida, a substituição do seguinte na expressão resultante: e . Essa substituição pode ser obtida a partir das derivadas da secante e da tangente somadas, que têm a secante como fator comum. ${\ displaystyle \ sec \ theta + \ tan \ theta}$${\ displaystyle u = \ sec \ theta + \ tan \ theta}$${\ displaystyle du = (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta}$

Começando com

${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ theta}} \ sec \ theta = \ sec \ theta \ tan \ theta \ quad {\ text {e}} \ quad {\ frac {d} {d \ theta} } \ tan \ theta = \ sec ^ {2} \ theta,}$

adicionando-os dá

${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ theta}} (\ sec \ theta + \ tan \ theta) = \ sec \ theta \ tan \ theta + \ sec ^ {2} \ theta = \ sec \ theta ( \ tan \ theta + \ sec \ theta).}$

A derivada da soma é, portanto, igual à soma multiplicada por . Isso permite multiplicar por no numerador e denominador e realizar as seguintes substituições: e . ${\ displaystyle \ sec \ theta}$${\ displaystyle \ sec \ theta}$${\ displaystyle \ sec \ theta + \ tan \ theta}$${\ displaystyle u = \ sec \ theta + \ tan \ theta}$${\ displaystyle du = (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta}$

O integral é avaliado da seguinte forma:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int \ sec \ theta \, d \ theta & = \ int {\ frac {\ sec \ theta (\ sec \ theta + \ tan \ theta)} {\ sec \ theta + \ tan \ theta}} \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ frac {(\ sec ^ {2} \ theta + \ sec \ theta \ tan \ theta) \, d \ theta} { \ sec \ theta + \ tan \ theta}} && u = \ sec \ theta + \ tan \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ frac {du} {u}} && du = (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ ln | u | + C = \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta | + C, \ end {alinhado}}}$

conforme reivindicado. Essa foi a fórmula descoberta por James Gregory.

Por frações parciais e uma substituição (abordagem de Barrow)

Embora Gregory tenha provado a conjectura em 1668 em seus Exercitationes Geometricae , a prova foi apresentada de uma forma que a torna quase impossível para os leitores modernos compreenderem; Isaac Barrow , em suas Palestras Geométricas de 1670, deu a primeira prova "inteligível", embora até mesmo isso fosse "formulado no idioma geométrico da época". A prova de Barrow do resultado foi o primeiro uso de frações parciais na integração. Adaptada à notação moderna, a prova de Barrow começou da seguinte forma:

${\ displaystyle \ int \ sec \ theta \, d \ theta = \ int {\ frac {d \ theta} {\ cos \ theta}} = \ int {\ frac {\ cos \ theta \, d \ theta} { \ cos ^ {2} \ theta}} = \ int {\ frac {\ cos \ theta \, d \ theta} {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}$

Substituir por reduz o integral para ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ sin \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ frac {du} {1-u ^ {2}}} & = \ int {\ frac {du} {(1 + u) (1-u)}} = {\ dfrac {1} {2}} \ int \ left ({\ frac {1} {1 + u}} + {\ frac {1} {1-u}} \ right) \, du \\ [ 10pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ ln \ left | 1 + u \ right | - \ ln \ left | 1-u \ right | \ right) + C = {\ frac { 1} {2}} \ ln \ left | {\ frac {1 + u} {1-u}} \ right | + C \ end {alinhado}}}$

Portanto,

${\ displaystyle \ int \ sec \ theta \, d \ theta = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left | {\ frac {1+ \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}} \ right | + C,}$

como esperado.

Pela substituição de Weierstrass

Padrão

As fórmulas para a substituição de Weierstrass são as seguintes. Deixe , onde . Então ${\ displaystyle t = \ tan (\ theta / 2)}$${\ displaystyle - \ pi <\ theta <\ pi}$

${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {t} {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}} \ qquad {\ text {e }} \ qquad \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}}.}$

Portanto,

${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, \ qquad \ cos \ theta = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ { 2}}}, \ qquad {\ text {e}} \ qquad d \ theta = {\ frac {2} {1 + t ^ {2}}} \, dt,}$

pelas fórmulas de ângulo duplo. Quanto à integral da função secante,

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int \ sec \ theta \, d \ theta & = \ int {\ frac {d \ theta} {\ cos \ theta}} = \ int {\ frac {1 + t ^ {2}} {1-t ^ {2}}} {\ frac {2} {1 + t ^ {2}}} \, dt && t = \ tan {\ frac {\ theta} {2}} \\ [ 6pt] & = \ int {\ frac {2 \, dt} {1-t ^ {2}}} = \ int {\ frac {2 \, dt} {(1-t) (1 + t)}} \\ [6pt] & = \ int 2 \ left [{\ frac {1} {2 (1 + t)}} + {\ frac {1} {2 (1-t)}} \ right] dt && {\ texto {decomposição de fração parcial}} \\ [6pt] & = \ int \ left ({\ frac {1} {t + 1}} - {\ frac {1} {t-1}} \ right) \, dt \\ [6pt] & = \ ln | t + 1 | - \ ln | t-1 | + C = \ ln \ left | {\ frac {t + 1} {t-1}} \ right | + C \ \ [6pt] & = \ ln \ left | {\ frac {t + 1} {t-1}} \ cdot {\ frac {t + 1} {t + 1}} \ right | + C = \ ln \ esquerda | {\ frac {t ^ {2} + 2t + 1} {t ^ {2} -1}} \ direita | + C \\ [6pt] & = \ ln \ left | {\ frac {t ^ { 2} +1} {t ^ {2} -1}} + {\ frac {2t} {t ^ {2} -1}} \ right | + C = \ ln \ left | {\ frac {t ^ { 2} +1} {t ^ {2} -1}} + {\ frac {2t} {t ^ {2} -1}} \ cdot {\ frac {t ^ {2} +1} {t ^ { 2} +1}} \ right | + C \\ [6pt] & = \ ln \ left | {\ frac {t ^ {2} +1} {t ^ {2} -1}} + {\ frac { 2t} {t ^ {2} +1}} \ cdot {\ frac {t ^ {2} +1} {t ^ {2} -1}} \ right | + C \\ [6pt] & = \ ln \ left | {\ frac {1} {\ cos \ theta}} + \ sin \ theta \ cdot {\ frac {1} {\ cos \ theta}} \ right | + C = \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta | + C, \ end {alinhado}}}$

como antes.

Fora do padrão

A integral também pode ser derivada usando uma versão um tanto fora do padrão da substituição de Weierstrass, que é mais simples no caso desta integral em particular, publicada em 2013, é a seguinte:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & x = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ theta} {2}} \ right) \\ [10pt] & {\ frac {2x} {1 + x ^ {2}}} = 2 \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ cos \ esquerda ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ theta} {2}} \ direita) = \ sin \ esquerda ({\ frac {\ pi} {2}} + \ theta \ direita ) = \ cos \ theta \\ [10pt] & dx = {\ frac {1} {2}} \ sec ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ theta } {2}} \ right) d \ theta = {\ frac {1} {2}} (1 + x ^ {2}) d \ theta \\ [10pt] & {\ frac {2 \, dx} { 1 + x ^ {2}}} = d \ theta \\ [10pt] \ int \ sec \ theta \, d \ theta & = \ int \ left ({\ frac {1 + x ^ {2}} {2x }} \ right) \ left ({\ frac {2} {1 + x ^ {2}}} \ right) \, dx = \ int {\ frac {dx} {x}} = \ ln | x | + C = \ ln \ left | \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right | + C. \ End {alinhados}} }$

Por duas substituições sucessivas

A integral também pode ser resolvida manipulando o integrando e substituindo-o duas vezes. Usando a definição , a integral pode ser reescrita como ${\ displaystyle \ sec x = {\ frac {1} {\ cos x}}}$

${\ displaystyle \ int \ sec x \, dx = \ int {\ frac {1} {\ cos x}} dx = \ int {\ frac {\ cos x} {\ cos ^ {2} x}} \, dx}$

Usando a identidade , o integrando pode ser escrito como ${\ displaystyle \ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x = 1}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos x} {\ cos ^ {2} x}} \, dx = \ int {\ frac {\ cos x} {1- \ sin ^ {2} x}} \ , dx}$

Substituir por reduz o integral para ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ sin x}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {1-u ^ {2}}} \, du}$

O integrante reduzida pode ser avaliada por substituio para e utilizando a identidade . ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ tanh t}$${\ displaystyle 1- \ tanh ^ {2} t = \ operatorname {sech} ^ {2} t}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {\ operatorname {sech} ^ {2} t} {1- \ tanh ^ {2} t}} \, dt = \ int {\ frac {\ operatorname {sech} ^ {2 } t} {\ operatorname {sech} ^ {2} t}} \, dt = \ int \, dt}$

A integral agora é reduzida a uma integral simples e a substituição reversa dá

${\ displaystyle \ int dt = t + C = \ operatorname {artanh} u + C = \ operatorname {artanh} (\ sin x) + C}$

que é uma das formas hiperbólicas da integral.

Uma estratégia semelhante pode ser usada para integrar as funções cossecante, secante hiperbólica e cossecante hiperbólica.

Gudermanniano e lambertiano

A integral da função secante define a função Lambertiana, que é o inverso da função Gudermanniana :

${\ displaystyle \ int \ sec \ theta \, d \ theta = \ operatorname {lam} (\ theta) = \ operatorname {gd} ^ {- 1} (\ theta).}$

Isso é encontrado na teoria das projeções cartográficas: a projeção Mercator de um ponto com longitude θ e latitude φ pode ser escrita como:

${\ displaystyle (x, y) = (\ theta, \ operatorname {lam} (\ varphi)).}$

Veja também

• Integral de secante ao cubo
• Função gudermanniana

Referências