Matemática indiana - Indian mathematics

A matemática indiana surgiu no subcontinente indiano de 1200 aC até o final do século XVIII. No período clássico da matemática indiana (400 DC a 1200 DC), contribuições importantes foram feitas por estudiosos como Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II e Varāhamihira . O sistema numérico decimal em uso hoje foi registrado pela primeira vez na matemática indiana. Os matemáticos indianos fizeram contribuições iniciais ao estudo do conceito de zero como um número, números negativos , aritmética e álgebra . Além disso, a trigonometria foi mais avançada na Índia e, em particular, as definições modernas de seno e cosseno foram desenvolvidas lá. Esses conceitos matemáticos foram transmitidos ao Oriente Médio, China e Europa e levaram a novos desenvolvimentos que agora formam a base de muitas áreas da matemática.

Obras matemáticas indianas antigas e medievais, todas compostas em sânscrito , geralmente consistiam em uma seção de sutras em que um conjunto de regras ou problemas eram declarados com grande economia em verso, a fim de auxiliar a memorização por um aluno. Isso foi seguido por uma segunda seção consistindo de um comentário em prosa (às vezes vários comentários de diferentes estudiosos) que explicava o problema com mais detalhes e fornecia uma justificativa para a solução. Na seção de prosa, a forma (e, portanto, sua memorização) não foi considerada tão importante quanto as ideias envolvidas. Todas as obras matemáticas foram transmitidas oralmente até aproximadamente 500 aC; a partir daí, foram transmitidos oralmente e em forma manuscrita. O mais antigo documento matemático existente produzido no subcontinente indiano é o Manuscrito Bakhshali de casca de vidoeiro , descoberto em 1881 na vila de Bakhshali , perto de Peshawar (atual Paquistão ) e provavelmente datado do século 7 dC.

Um marco posterior na matemática indiana foi o desenvolvimento das expansões em série para funções trigonométricas (seno, cosseno e arco tangente ) por matemáticos da escola de Kerala no século 15 EC. Seu trabalho notável, concluído dois séculos antes da invenção do cálculo na Europa, forneceu o que agora é considerado o primeiro exemplo de uma série de potências (além das séries geométricas). No entanto, eles não formularam uma teoria sistemática de diferenciação e integração , nem há qualquer evidência direta de seus resultados serem transmitidos para fora de Kerala .

Pré-história

Escavações em Harappa , Mohenjo-daro e outros locais da Civilização do Vale do Indo descobriram evidências do uso de "matemática prática". Os povos da Civilização do Vale do Indo fabricavam tijolos cujas dimensões estavam na proporção 4: 2: 1, considerados favoráveis ​​à estabilidade de uma estrutura de tijolos. Eles usaram um sistema padronizado de pesos com base nas proporções: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500, com a unidade peso igual a aproximadamente 28 gramas (e aproximadamente igual à onça inglesa ou uncia grega). Eles produziram pesos em formas geométricas regulares , que incluíam hexahedra , barris , cones e cilindros , demonstrando assim conhecimento de geometria básica .

Os habitantes da civilização do Indo também tentaram padronizar a medição do comprimento com um alto grau de precisão. Eles projetaram uma régua - a régua Mohenjo-daro - cuja unidade de comprimento (aproximadamente 1,32 polegadas ou 3,4 centímetros) foi dividida em dez partes iguais. Os tijolos fabricados no antigo Mohenjo-daro freqüentemente tinham dimensões que eram múltiplos inteiros dessa unidade de comprimento.

Objetos cilíndricos ocos feitos de concha e encontrados em Lothal (2200 aC) e Dholavira demonstraram ter a capacidade de medir ângulos em um plano, bem como determinar a posição das estrelas para navegação.

Período védico

História da ciência e tecnologia no subcontinente indiano
Invenções Ciência na Índia Ciência em Bangladesh Ciência no Paquistão
Por assunto
Matemática Astronomia Calendário Sistemas de medição Unidades de medida Cartografia Geografia Impressão Metalurgia Cunhagem Alquimia indiana Medicina tradicional Agricultura Educação Arquitetura Pontes Transporte História marítima Navegação Militares
v t e

Samhitas e Brahmanas

Os textos religiosos do período védico fornecem evidências para o uso de grandes números . Na época do Yajurvedasaṃhitā- (1200–900 aC), números tão altos quanto 10 ¹² estavam sendo incluídos nos textos. Por exemplo, o mantra (recitação sagrada) no final do annahoma ("rito de oblação do alimento") realizado durante o aśvamedha e pronunciado um pouco antes, durante e logo após o nascer do sol, invoca potências de dez de cem a um trilhão:

Saudação a śata ("cem", 10 ² ), saudação a sahasra ("mil", 10 ³ ), saudação a ayuta ("dez mil," 10 ⁴ ), saudação a niyuta ("cem mil" 10 ⁵ ), hail to prayuta ("milhões", 10 ⁶ ), hail to arbuda ("dez milhões," 10 ⁷ ), hail to nyarbuda ("cem milhões," 10 ⁸ ), hail to samudra ("bilhões," 10 ⁹ , literalmente "oceano"), saudação para madhya ("dez bilhões," 10 ¹⁰ , literalmente "meio"), saudação para anta ("cem bilhões," 10 ¹¹ , lit., "fim"), saudação para parārdha ("um trilhão , " 10 ¹² lit.," além das partes "), granizo para os uṣas (amanhecer), granizo para o vyuṣṭi (crepúsculo), granizo para udeṣyat (aquele que vai subir), granizo para udyat (aquele que é levantando-se), granizo udita (para aquele que acabou de se levantar), granizo para svarga (o céu), granizo para martya (o mundo), granizo para todos.

A solução para a fração parcial era conhecida pelo povo rigvédico como estados no purush Sukta (RV 10.90.4):

Com três quartos, Puruṣa subiu: um quarto dele novamente estava aqui.

O Satapatha Brahmana ( c. Século 7 aC) contém regras para construções geométricas rituais semelhantes aos Sulba Sutras.

Śulba Sūtras

Os Śulba Sūtras (literalmente, "Aforismos dos acordes" em sânscrito védico ) (c. 700-400 aC) listam regras para a construção de altares de fogo sacrificial. A maioria dos problemas matemáticos considerados nos Śulba Sūtras surgem de "um único requisito teológico", o de construir altares de fogo que têm formas diferentes, mas ocupam a mesma área. Os altares deveriam ser construídos com cinco camadas de tijolos queimados, com a condição adicional de que cada camada consistisse em 200 tijolos e que nenhuma das duas camadas adjacentes tivesse arranjos congruentes de tijolos.

De acordo com ( Hayashi 2005 , p. 363), os Śulba Sūtras contêm "a expressão verbal mais antiga existente do teorema de Pitágoras no mundo, embora já fosse conhecido pelos antigos babilônios ".

A corda diagonal ( akṣṇayā-rajju ) de um (retângulo) oblongo produz ambos os quais o flanco ( pārśvamāni ) e o horizontal ( tiryaṇmānī ) <ropes> produzem separadamente. "

Visto que a afirmação é um sūtra , ela é necessariamente comprimida e o que as cordas produzem não é elaborado, mas o contexto implica claramente as áreas quadradas construídas em seus comprimentos e teriam sido explicadas pelo professor ao aluno.

Eles contêm listas de triplos pitagóricos , que são casos particulares de equações diofantinas . Eles também contêm afirmações (que, em retrospectiva, sabemos que são aproximadas) sobre a quadratura do círculo e "circular o quadrado".

Baudhayana (c 8 aC século.) Composta a Baudhayana Sulba sutra , o mais conhecido Sulba sutra , que contém exemplos de triplos de Pitágoras simples, tais como: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) e (12, 35, 37) , bem como uma declaração do teorema de Pitágoras para os lados de um quadrado: "A corda que é esticada na diagonal de um quadrado produz uma área com o dobro do tamanho do quadrado original. " Ele também contém a declaração geral do teorema de Pitágoras (para os lados de um retângulo): "A corda esticada ao longo da diagonal de um retângulo forma uma área que os lados vertical e horizontal formam juntos." Baudhayana fornece uma expressão para a raiz quadrada de dois :

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4}} - {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}} = 1,4142156 \ ldots}$

A expressão é precisa até cinco casas decimais, o valor verdadeiro sendo 1,41421356 ... Esta expressão é semelhante em estrutura à expressão encontrada em uma tábua da Mesopotâmia do período da Antiga Babilônia (1900–1600 aC ):

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ { 3}}} = 1,41421297 \ ldots}$

que expressa √ 2 no sistema sexagesimal, e que também é preciso até 5 casas decimais.

De acordo com o matemático SG Dani, a tabuinha cuneiforme babilônica Plimpton 322 escrita c. 1850 AC "contém quinze triplos pitagóricos com entradas bastante grandes, incluindo (13500, 12709, 18541) que é um triplo primitivo, indicando, em particular, que havia um entendimento sofisticado sobre o tópico" na Mesopotâmia em 1850 AC. "Uma vez que essas tabuinhas são anteriores ao período Sulbasutras em vários séculos, levando em consideração a aparência contextual de alguns dos triplos, é razoável esperar que um entendimento semelhante tivesse existido na Índia." Dani continua dizendo:

Como o objetivo principal dos Sulvasutras era descrever as construções dos altares e os princípios geométricos neles envolvidos, o tema dos triplos pitagóricos, mesmo que bem compreendido, pode ainda não ter figurado nas Sulvasutras . A ocorrência dos triplos nas Sulvasutras é comparável à matemática que se pode encontrar em um livro introdutório à arquitetura ou em outra área aplicada semelhante, e não corresponderia diretamente ao conhecimento geral sobre o assunto na época. Uma vez que, infelizmente, nenhuma outra fonte contemporânea foi encontrada, talvez nunca seja possível resolver essa questão de forma satisfatória.

Ao todo, três Sulba Sutras foram compostos. Os dois restantes, o Manava Sulba Sutra composto por Manava (fl. 750-650 AC) e o Apastamba Sulba Sutra , composto por Apastamba (c. 600 AC), continham resultados semelhantes ao Baudhayana Sulba Sutra .

Vyakarana

Um marco importante do período védico foi o trabalho de sânscrito gramático , Pāṇini (c. 520-460 aC). Sua gramática inclui o uso inicial da lógica booleana , do operador nulo e de gramáticas livres de contexto , e inclui um precursor da forma Backus-Naur (usada nas linguagens de programação de descrição ).

Pingala (300 a.C. - 200 a.C.)

Entre os estudiosos do período pós-védico que contribuíram para a matemática, o mais notável é Pingala ( piṅgalá ) ( fl. 300–200 aC), um teórico da música que escreveu o Chhandas Shastra ( chandaḥ-śāstra , também Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra ), um tratado de sânscrito sobre prosódia . Há evidências de que em seu trabalho sobre a enumeração de combinações silábicas, Pingala tropeçou no triângulo de Pascal e nos coeficientes binomiais , embora não tivesse conhecimento do teorema binomial em si. O trabalho de Pingala também contém as idéias básicas dos números de Fibonacci (chamados maatraameru ). Embora o sutra Chandah não tenha sobrevivido por completo, um comentário do século 10 feito por Halāyudha sobreviveu. Halāyudha, que se refere ao triângulo Pascal como Meru -prastāra (literalmente "a escada para o Monte Meru"), tem o seguinte a dizer:

Desenhe um quadrado. Começando na metade do quadrado, desenhe dois outros quadrados semelhantes abaixo dele; abaixo desses dois, três outros quadrados e assim por diante. A marcação deve ser iniciada colocando 1 no primeiro quadrado. Coloque 1 em cada um dos dois quadrados da segunda linha. Na terceira linha, coloque 1 nos dois quadrados nas extremidades e, no quadrado do meio, a soma dos dígitos nos dois quadrados que estão acima dele. Na quarta linha, coloque 1 nos dois quadrados nas extremidades. No meio coloque a soma dos dígitos nos dois quadrados acima de cada um. Proceda desta forma. Destas linhas, a segunda fornece as combinações com uma sílaba, a terceira as combinações com duas sílabas, ...

O texto também indica que Pingala estava ciente da identidade combinatória :

${\ displaystyle {n \ escolher 0} + {n \ escolher 1} + {n \ escolher 2} + \ cdots + {n \ escolher n-1} + {n \ escolher n} = 2 ^ {n}}$

Kātyāyana

Kātyāyana (c. Século III aC) é notável por ser o último dos matemáticos védicos. Ele escreveu o Katyayana Sulba Sutra , que apresentava muita geometria , incluindo o teorema pitagórico geral e um cálculo da raiz quadrada de 2 corretos para cinco casas decimais.

Matemática Jain (400 aC - 200 dC)

Embora o jainismo seja uma religião e a filosofia anteceda seu expoente mais famoso, o grande Mahaviraswami (século 6 aC), a maioria dos textos jainistas sobre tópicos matemáticos foram compostos após o século 6 aC. Os matemáticos jainistas são importantes historicamente como elos cruciais entre a matemática do período védico e a do "período clássico".

Uma contribuição histórica significativa dos matemáticos Jain foi libertar a matemática indiana de suas restrições religiosas e ritualísticas. Em particular, seu fascínio pela enumeração de números muito grandes e infinitos os levou a classificar os números em três classes: enumeráveis, inumeráveis ​​e infinitos . Não contentes com uma simples noção de infinito, seus textos definem cinco tipos diferentes de infinito: o infinito em uma direção, o infinito em duas direções, o infinito em área, o infinito em todos os lugares e o infinito perpetuamente. Além disso, os matemáticos Jain criaram notações para poderes simples (e expoentes) de números como quadrados e cubos, o que lhes permitiu definir equações algébricas simples ( beejganita samikaran ). Aparentemente, os matemáticos jainistas também foram os primeiros a usar a palavra shunya (literalmente vazio em sânscrito ) para se referir ao zero. Mais de um milênio depois, seu nome se tornou a palavra inglesa "zero" após uma tortuosa jornada de traduções e transliterações da Índia para a Europa. (Veja Zero: Etimologia .)

Além de Surya Prajnapti , importantes obras jainistas sobre matemática incluíam o Sthananga Sutra (c. 300 aC - 200 dC); o Sutra Anuyogadwara (c. 200 aC - 100 dC); e o Satkhandagama (c. século II dC). Matemáticos jainistas importantes incluíam Bhadrabahu (falecido em 298 aC), autor de duas obras astronômicas, o Bhadrabahavi-Samhita e um comentário sobre o Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (c. 176 aC), autor de um texto matemático chamado Tiloyapannati ; e Umasvati (c. 150 AC), que, embora mais conhecido por seus escritos influentes sobre a filosofia e metafísica Jain , compôs uma obra matemática chamada Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya .

Tradição oral

Os matemáticos da Índia antiga e do início da Idade Média eram quase todos pandits sânscritos ( paṇḍita "homem erudito"), que eram treinados na língua e literatura sânscrita e possuíam "um estoque comum de conhecimento em gramática ( vyākaraṇa ), exegese ( mīmāṃsā ) e lógica ( nyāya ). " A memorização de "o que é ouvido" ( śruti em sânscrito) por meio da recitação desempenhou um papel importante na transmissão de textos sagrados na Índia antiga. A memorização e a recitação também foram utilizadas para transmitir obras filosóficas e literárias, bem como tratados sobre ritual e gramática. Estudiosos modernos da Índia antiga notaram as "realizações verdadeiramente notáveis ​​dos eruditos indianos que preservaram textos enormemente volumosos oralmente por milênios".

Estilos de memorização

Prodigiosa energia foi despendida pela antiga cultura indiana para assegurar que esses textos fossem transmitidos de geração em geração com excessiva fidelidade. Por exemplo, a memorização dos sagrados Vedas incluiu até onze formas de recitação do mesmo texto. Os textos foram subsequentemente "revisados" comparando as diferentes versões recitadas. As formas de recitação incluíam jaṭā-pāṭha (literalmente "recitação em malha") em que cada duas palavras adjacentes no texto eram primeiro recitadas em sua ordem original, depois repetidas na ordem inversa e, finalmente, repetidas na ordem original. A recitação, portanto, procedeu como:

Em outra forma de recitação, dhvaja-pāṭha (literalmente "recitação de bandeira"), uma sequência de N palavras foi recitada (e memorizada) combinando as duas primeiras e as duas últimas palavras e, em seguida, procedendo como:

A forma mais complexa de recitação, ghana-pāṭha (literalmente "recitação densa"), de acordo com ( Filliozat 2004 , p. 139), assumiu a forma:

Que esses métodos foram eficazes é atestado pela preservação do mais antigo texto religioso indiano, o Ṛgveda (c. 1500 aC), como um único texto, sem quaisquer leituras variantes. Métodos semelhantes foram usados ​​para memorizar textos matemáticos, cuja transmissão permaneceu exclusivamente oral até o final do período védico (c. 500 aC).

O gênero Sutra

A atividade matemática na Índia antiga começou como parte de uma "reflexão metodológica" sobre os Vedas sagrados , que assumiram a forma de obras chamadas Vedāṇgas ou "Ancilares do Veda" (século 7 a 4 aC). A necessidade de conservar o som do texto sagrado pelo uso de śikṣā ( fonética ) e chhandas ( métricas ); para conservar seu significado pelo uso de vyākaraṇa ( gramática ) e nirukta ( etimologia ); e realizar corretamente os ritos no tempo correto pelo uso de kalpa ( ritual ) e jyotiṣa ( astrologia ), deu origem às seis disciplinas dos Vedāṇgas . A matemática surgiu como parte das duas últimas disciplinas, ritual e astronomia (que também incluía a astrologia). Como os Vedāṇgas precederam imediatamente o uso da escrita na Índia antiga, eles formaram o último da literatura exclusivamente oral. Eles foram expressos em uma forma mnemônica altamente comprimida, o sūtra (literalmente, "fio"):

Os conhecedores do sūtra sabem que ele tem poucos fonemas, sendo desprovido de ambigüidade, contendo a essência, enfrentando tudo, sendo sem pausa e inquestionável.

A extrema brevidade foi alcançada por meio de vários meios, que incluíam o uso de reticências "além da tolerância da linguagem natural", usando nomes técnicos em vez de nomes descritivos mais longos, resumindo listas apenas mencionando a primeira e a última entrada e usando marcadores e variáveis. Os sutras criam a impressão de que a comunicação através do texto era "apenas uma parte de toda a instrução. O resto da instrução deve ter sido transmitida pelo chamado Guru-shishya parampara , 'sucessão ininterrupta do professor ( guru ) para o aluno ( śisya ), 'e não foi aberto ao público em geral "e talvez até mesmo mantido em segredo. A brevidade alcançada em um sūtra é demonstrada no seguinte exemplo do Baudhāyana Śulba Sūtra (700 aC).

O altar do fogo doméstico no período védico era requerido pelo ritual para ter uma base quadrada e ser constituído de cinco camadas de tijolos com 21 tijolos em cada camada. Um método de construção do altar era dividir um lado do quadrado em três partes iguais usando uma corda ou corda, para em seguida dividir o lado transversal (ou perpendicular) em sete partes iguais e, assim, subdividir o quadrado em 21 retângulos congruentes . Os tijolos foram então projetados para ter a forma do retângulo constituinte e a camada foi criada. Para formar a próxima camada, a mesma fórmula foi usada, mas os tijolos foram dispostos transversalmente. O processo foi então repetido mais três vezes (com direções alternadas) para a conclusão da construção. No Baudhāyana Śulba Sūtra , este procedimento é descrito nas seguintes palavras:

II.64. Depois de dividir o quadrilateral em sete, divide-se o [cordão] transversal em três.
II.65. Em outra camada, colocam-se os [tijolos] apontando para o norte.

De acordo com ( Filliozat 2004 , p. 144), o oficiante que constrói o altar tem apenas algumas ferramentas e materiais à sua disposição: uma corda (sânscrito, rajju , f.), Duas estacas (sânscrito, śanku , m.), E argila para fazer os tijolos (sânscrito, iṣṭakā , f.). A concisão é alcançada no sūtra , por não mencionar explicitamente o que o adjetivo "transversal" qualifica; entretanto, a partir da forma feminina do adjetivo (sânscrito) usado, é facilmente inferido que qualifica "cordão". Da mesma forma, na segunda estrofe, "tijolos" não são mencionados explicitamente, mas inferidos novamente pela forma plural feminina de "apontar para o norte". Finalmente, a primeira estrofe nunca diz explicitamente que a primeira camada de tijolos está orientada na direção Leste-Oeste, mas isso também está implícito na menção explícita de "apontar para o norte" na segunda estrofe; pois, se a orientação pretendia ser a mesma nas duas camadas, ela não seria mencionada de forma alguma ou seria apenas mencionada na primeira estrofe. Todas essas inferências são feitas pelo oficiante à medida que ele lembra a fórmula de sua memória.

A tradição escrita: comentário em prosa

Com a crescente complexidade da matemática e de outras ciências exatas, tanto a escrita quanto a computação eram necessárias. Consequentemente, muitos trabalhos matemáticos começaram a ser escritos em manuscritos que foram copiados e re-copiados de geração em geração.

Estima-se que a Índia hoje tenha cerca de trinta milhões de manuscritos, o maior conjunto de material de leitura manuscrito em qualquer lugar do mundo. A cultura letrada da ciência indiana remonta pelo menos ao século V aC ... como é mostrado pelos elementos da literatura e da astronomia de presságios da Mesopotâmia que entraram na Índia naquela época e (foram) definitivamente não ... preservados oralmente.

O primeiro comentário em prosa matemática foi sobre o trabalho, Āryabhaṭīya (escrito em 499 EC), um trabalho sobre astronomia e matemática. A parte matemática do Āryabhaṭīya era composta de 33 sutras (em forma de verso) consistindo de declarações ou regras matemáticas, mas sem quaisquer provas. Porém, de acordo com ( Hayashi 2003 , p. 123), “isso não significa necessariamente que seus autores não os tenham provado. Provavelmente foi uma questão de estilo de exposição”. A partir da época de Bhaskara I (600 DC em diante), comentários em prosa cada vez mais começaram a incluir algumas derivações ( upapatti ). O comentário de Bhaskara I sobre o Āryabhaṭīya teve a seguinte estrutura:

• Regra ('sūtra') em verso de Āryabhaṭa
• Comentário de Bhāskara I, consistindo em:
  • Elucidação da regra (as derivações ainda eram raras na época, mas se tornaram mais comuns posteriormente)
  • Exemplo ( uddeśaka ) geralmente em verso.
  • Configuração ( nyāsa / sthāpanā ) dos dados numéricos.
  • Trabalhando ( karana ) da solução.
  • Verificação ( pratyayakaraṇa , literalmente "fazer convicção") da resposta. Estes se tornaram raros no século 13, derivações ou provas sendo favorecidas na época.

Normalmente, para qualquer tópico matemático, os alunos da Índia antiga primeiro memorizavam os sutras , que, como explicado anteriormente, eram "deliberadamente inadequados" em detalhes explicativos (a fim de transmitir vigorosamente as regras matemáticas básicas). Os alunos então trabalharam os tópicos do comentário em prosa escrevendo (e desenhando diagramas) em quadros de giz e de poeira ( ou seja, quadros cobertos de poeira). A última atividade, um grampo do trabalho matemático, foi mais tarde levar o matemático-astrônomo, Brahmagupta ( fl. Século 7 dC), a caracterizar os cálculos astronômicos como "trabalho do pó" (sânscrito: dhulikarman ).

Numerais e o sistema numérico decimal

É bem sabido que o sistema de valores decimais em uso hoje foi registrado pela primeira vez na Índia, depois transmitido ao mundo islâmico e, por fim, à Europa. O bispo sírio Severus Sebokht escreveu em meados do século 7 EC sobre os "nove sinais" dos índios para expressar números. No entanto, como, quando e onde o sistema de valores da primeira casa decimal foi inventado não é tão claro.

A primeira escrita existente usada na Índia foi a escrita Kharoṣṭhī usada na cultura Gandhara do noroeste. Acredita-se que seja de origem aramaica e estava em uso desde o século 4 aC até o século 4 dC. Quase simultaneamente, outra escrita, a escrita Brāhmī , apareceu em grande parte do subcontinente e mais tarde se tornaria a base de muitas escritas do Sul da Ásia e do Sudeste Asiático. Ambos os scripts tinham símbolos e sistemas numéricos, que inicialmente não eram baseados em um sistema de valor de posição.

A evidência mais antiga que sobreviveu de numerais com valor de casas decimais na Índia e no sudeste da Ásia data da metade do primeiro milênio EC. Uma placa de cobre de Gujarat, Índia, menciona a data 595 EC, escrita em notação decimal, embora haja alguma dúvida quanto à autenticidade da placa. Números decimais que registram os anos 683 dC também foram encontrados em inscrições de pedra na Indonésia e no Camboja, onde a influência cultural indiana foi substancial.

Existem fontes textuais mais antigas, embora as cópias manuscritas existentes desses textos sejam de datas muito posteriores. Provavelmente, a fonte mais antiga é a obra do filósofo budista Vasumitra, datada provavelmente do primeiro século EC. Discutindo os poços de contagem dos mercadores, Vasumitra observa: "Quando [a mesma] peça de contagem de argila está no lugar das unidades, é denotado como um, quando em centenas, cem." Embora tais referências pareçam sugerir que seus leitores tinham conhecimento de uma representação de valor de casa decimal, a "brevidade de suas alusões e a ambigüidade de suas datas, entretanto, não estabelecem solidamente a cronologia do desenvolvimento desse conceito".

Uma terceira representação decimal foi empregada em uma técnica de composição de versos, mais tarde denominada Bhuta-sankhya (literalmente, "números de objetos") usada pelos primeiros autores sânscritos de livros técnicos. Visto que muitas das primeiras obras técnicas foram compostas em versos, os números eram freqüentemente representados por objetos no mundo natural ou religioso que correspondiam a eles; isso permitia uma correspondência muitos para um para cada número e tornava a composição dos versos mais fácil. De acordo com ( Plofker 2009 ), o número 4, por exemplo, poderia ser representado pela palavra " Veda " (já que havia quatro desses textos religiosos), o número 32 pela palavra "dentes" (já que um conjunto completo consiste em 32), e o número 1 por "lua" (uma vez que há apenas uma lua). Assim, Veda / dentes / lua corresponderia ao numeral decimal 1324, já que a convenção para os números era enumerar seus dígitos da direita para a esquerda. A referência mais antiga que emprega números de objeto é um c. 269 ​​dC Texto em sânscrito, Yavanajātaka (literalmente "horoscopia grega") de Sphujidhvaja, uma versificação de uma adaptação anterior em prosa indiana (c. 150 dC) de uma obra perdida da astrologia helenística. Tal uso parece demonstrar que, em meados do século III dC, o sistema de valores de casas decimais era familiar, pelo menos para leitores de textos astronômicos e astrológicos na Índia.

Foi levantada a hipótese de que o sistema indiano de valores de casas decimais se baseava nos símbolos usados ​​nos contadores chineses desde meados do primeiro milênio aC. De acordo com ( Plofker 2009 ),

Esses tabuleiros de contagem, como os poços de contagem indianos, ..., tinham uma estrutura de valor de casa decimal ... Os indianos podem muito bem ter aprendido sobre esses valores de casas decimais "numerais de bastão" de peregrinos budistas chineses ou outros viajantes, ou podem ter desenvolvido o conceito independentemente de seu sistema anterior de valor não-local; nenhuma evidência documental sobreviveu para confirmar qualquer conclusão. "

Manuscrito Bakhshali

O manuscrito matemático mais antigo existente na Índia é o Manuscrito Bakhshali , um manuscrito de casca de bétula escrito em "Sânscrito híbrido budista" na escrita Śāradā , que foi usado na região noroeste do subcontinente indiano entre os séculos VIII e XII dC. O manuscrito foi descoberto em 1881 por um fazendeiro enquanto cavava em um cercado de pedra no vilarejo de Bakhshali, perto de Peshawar (então na Índia britânica e agora no Paquistão ). De autoria desconhecida e agora preservado na Biblioteca Bodleian da Universidade de Oxford , o manuscrito foi datado de várias maneiras - às vezes já nos "primeiros séculos da era cristã". O século 7 DC é agora considerado uma data plausível.

O manuscrito remanescente tem setenta folhas, algumas das quais estão em fragmentos. Seu conteúdo matemático consiste em regras e exemplos, escritos em verso, juntamente com comentários em prosa, que incluem soluções para os exemplos. Os tópicos tratados incluem aritmética (frações, raízes quadradas, lucros e perdas, juros simples, a regra de três e regulula falsi ) e álgebra (equações lineares e equações quadráticas simultâneas ) e progressões aritméticas. Além disso, há um punhado de problemas geométricos (incluindo problemas sobre volumes de sólidos irregulares). O manuscrito Bakhshali também "emprega um sistema de valor de casa decimal com um ponto para zero". Muitos de seus problemas são de uma categoria conhecida como 'problemas de equalização' que levam a sistemas de equações lineares. Um exemplo do Fragmento III-5-3v é o seguinte:

Um comerciante tem sete cavalos asava , um segundo tem nove cavalos haya e um terceiro tem dez camelos. Eles estão igualmente bem no valor de seus animais se cada um der dois animais, um para cada um dos outros. Encontre o preço de cada animal e o valor total dos animais possuídos por cada comerciante.

O comentário em prosa que acompanha o exemplo resolve o problema convertendo-o em três equações (subdeterminadas) em quatro incógnitas e assumindo que os preços são todos inteiros.

Em 2017, três amostras do manuscrito foram mostradas por datação por radiocarbono como provenientes de três séculos diferentes: de 224-383 DC, 680-779 DC e 885-993 DC. Não se sabe como fragmentos de séculos diferentes foram empacotados juntos.

Período clássico (400-1600)

Este período é frequentemente conhecido como a idade de ouro da matemática indiana. Este período viu matemáticos como Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava de Sangamagrama e Nilakantha Somayaji dar forma mais ampla e clara a muitos ramos da matemática. Suas contribuições se espalhariam pela Ásia, Oriente Médio e, por fim, pela Europa. Ao contrário da matemática védica, seus trabalhos incluíram contribuições astronômicas e matemáticas. Na verdade, a matemática desse período foi incluída na 'ciência astral' ( jyotiḥśāstra ) e consistia em três subdisciplinas: ciências matemáticas ( gaṇita ou tantra ), astrologia horóscopo ( horā ou jātaka ) e adivinhação (saṃhitā). Esta divisão tripartida é vista na compilação do século 6 de Varāhamihira - Pancasiddhantika (literalmente panca , "cinco", siddhānta , "conclusão da deliberação", datada de 575 DC ) - de cinco obras anteriores, Surya Siddhanta , Romaka Siddhanta , Paulisa Siddhanta , Vasishtha Siddhanta e Paitamaha Siddhanta , que eram adaptações de obras ainda anteriores da astronomia mesopotâmica, grega, egípcia, romana e indiana. Conforme explicado anteriormente, os textos principais foram compostos em versos sânscritos e foram seguidos por comentários em prosa.

Séculos quinto e sexto

Surya Siddhanta

Embora sua autoria seja desconhecida, o Surya Siddhanta (c. 400) contém as raízes da trigonometria moderna . Por conter muitas palavras de origem estrangeira, alguns autores consideram que foi escrito sob a influência da Mesopotâmia e da Grécia.

Este texto antigo usa o seguinte como funções trigonométricas pela primeira vez:

• Sine ( Jya ).
• Cosine ( Kojya ).
• Seno inverso ( Otkram jya ).

Ele também contém os primeiros usos de:

• Tangente .
• Secante .

Mais tarde, matemáticos indianos, como Aryabhata, fizeram referências a esse texto, enquanto as traduções para o árabe e o latim posteriores foram muito influentes na Europa e no Oriente Médio.

Calendário chhedi

Este calendário Chhedi (594) contém um uso antigo do moderno sistema de numeração hindu-arábica de valor posicional , agora usado universalmente.

Aryabhata I

Aryabhata (476–550) escreveu o Aryabhatiya. Ele descreveu os importantes princípios fundamentais da matemática em 332 shlokas . O tratado continha:

• Equações quadráticas
• Trigonometria
• O valor de π , correto para 4 casas decimais.

Aryabhata também escreveu o Arya Siddhanta , que agora está perdido. As contribuições de Aryabhata incluem:

Trigonometria:

(Veja também: tabela senoidal de Aryabhata )

• Introduzidas as funções trigonométricas .
• Definiu o seno ( jya ) como a relação moderna entre meio ângulo e meio acorde.
• Definiu o cosseno ( kojya ).
• Definiu o versine ( utkrama-jya ).
• Definiu o seno inverso ( otkram jya ).
• Forneceu métodos de cálculo de seus valores numéricos aproximados.
• Contém as primeiras tabelas de valores de seno, cosseno e verseno, em intervalos de 3,75 ° de 0 ° a 90 °, com 4 casas decimais de precisão.
• Contém a fórmula trigonométrica sen ( n + 1) x - sen nx = sen nx - sen ( n - 1) x - (1/225) sen nx .
• Trigonometria esférica .

Aritmética:

• Frações contínuas .

Álgebra:

• Soluções de equações quadráticas simultâneas.
• Soluções de números inteiros de equações lineares por um método equivalente ao método moderno.
• Solução geral da equação linear indeterminada.

Astronomia matemática:

• Cálculos precisos para constantes astronômicas, como:
  • Eclipse solar .
  • Eclipse lunar .
  • A fórmula da soma dos cubos , que foi uma etapa importante no desenvolvimento do cálculo integral.

Varahamihira

Varahamihira (505–587) produziu o Pancha Siddhanta ( Os Cinco Cânones Astronômicos ). Ele fez contribuições importantes para a trigonometria, incluindo tabelas de seno e cosseno com 4 casas decimais de precisão e as seguintes fórmulas relacionando as funções de seno e cosseno :

• ${\ displaystyle \ sin ^ {2} (x) + \ cos ^ {2} (x) = 1}$
• ${\ displaystyle \ sin (x) = \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - x \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ frac {1- \ cos (2x)} {2}} = \ sin ^ {2} (x)}$

Séculos sétimo e oitavo

No século 7, dois campos separados, aritmética (que incluía medição ) e álgebra , começaram a surgir na matemática indiana. Os dois campos seriam mais tarde chamados de pāṭī-gaṇita (literalmente "matemática de algoritmos") e bīja-gaṇita (lit. "matemática de sementes", com "sementes" - como as sementes de plantas - representando desconhecidos com potencial para gerar, neste caso, as soluções das equações). Brahmagupta , em seu trabalho astronômico Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 EC), incluiu dois capítulos (12 e 18) dedicados a esses campos. O Capítulo 12, contendo 66 versos sânscritos, foi dividido em duas seções: "operações básicas" (incluindo raízes cúbicas, frações, proporção e proporção e troca) e "matemática prática" (incluindo mistura, série matemática, figuras planas, empilhamento de tijolos, serração de madeira e empilhamento de grãos). Na última seção, ele declarou seu famoso teorema nas diagonais de um quadrilátero cíclico :

Teorema de Brahmagupta: se um quadrilátero cíclico tem diagonais perpendiculares entre si, a linha perpendicular traçada do ponto de intersecção das diagonais a qualquer lado do quadrilátero sempre corta o lado oposto ao meio.

O Capítulo 12 também incluiu uma fórmula para a área de um quadrilátero cíclico (uma generalização da fórmula de Heron ), bem como uma descrição completa de triângulos racionais ( isto é, triângulos com lados racionais e áreas racionais).

Fórmula de Brahmagupta: A área, A , de um quadrilátero cíclico com lados de comprimentos a , b , c , d , respectivamente, é dada por

${\ displaystyle A = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}} \,}$

onde s , o semiperímetro , dado por${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}}.}$

Teorema de Brahmagupta sobre triângulos racionais: Um triângulo com lados racionais e área racional tem a forma: ${\ displaystyle a, b, c}$

${\ displaystyle a = {\ frac {u ^ {2}} {v}} + v, \ \ b = {\ frac {u ^ {2}} {w}} + w, \ \ c = {\ frac {u ^ {2}} {v}} + {\ frac {u ^ {2}} {w}} - (v + w)}$

para alguns números racionais e . ${\ displaystyle u, v,}$${\ displaystyle w}$

O capítulo 18 continha 103 versos em sânscrito que começavam com regras para operações aritméticas envolvendo zero e números negativos e é considerado o primeiro tratamento sistemático do assunto. As regras (que incluiu e ) estavam todos corretos, com uma exceção: . Mais tarde no capítulo, ele deu a primeira solução explícita (embora ainda não completamente geral) da equação quadrática : ${\ displaystyle a + 0 = \ a}$${\ displaystyle a \ times 0 = 0}$${\ displaystyle {\ frac {0} {0}} = 0}$

${\ displaystyle \ ax ^ {2} + bx = c}$

Para o número absoluto multiplicado por quatro vezes o [coeficiente do] quadrado, some o quadrado do [coeficiente do] termo do meio; a raiz quadrada do mesmo, menos o [coeficiente do] termo do meio, sendo dividido por duas vezes o [coeficiente do] quadrado é o valor.

Isso é equivalente a:

${\ displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}}}$

Também no capítulo 18, Brahmagupta foi capaz de fazer progressos na busca de soluções (integrais) da equação de Pell ,

${\ displaystyle \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1,}$

onde é um inteiro não quadrado. Ele fez isso descobrindo a seguinte identidade: ${\ displaystyle N}$

Identidade de Brahmagupta: que foi uma generalização de uma identidade anterior de Diofanto : Brahmagupta usou sua identidade para provar o seguinte lema: ${\ displaystyle \ (x ^ {2} -Ny ^ {2}) (x '^ {2} -Ny' ^ {2}) = (xx '+ Nyy') ^ {2} -N (xy '+ x'y) ^ {2}}$

Lema (Brahmagupta): Se é uma solução de e, é uma solução de , então: ${\ displaystyle x = x_ {1}, \ \ y = y_ {1} \ \}$${\ displaystyle \ \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {1},}$${\ displaystyle x = x_ {2}, \ \ y = y_ {2} \ \}$${\ displaystyle \ \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {2},}$

${\ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2}, \ \ y = x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} \ \}$ é uma solução de ${\ displaystyle \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {1} k_ {2}}$

Ele então usou este lema para gerar infinitamente muitas soluções (integrais) da equação de Pell, dada uma solução, e afirmar o seguinte teorema:

Teorema (Brahmagupta): Se a equação tem uma solução inteira para qualquer uma das equações de Pell: ${\ displaystyle \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = k}$${\ displaystyle \ k = \ pm 4, \ pm 2, -1}$

${\ displaystyle \ x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1}$

também tem uma solução inteira.

Brahmagupta não provou realmente o teorema, mas sim elaborou exemplos usando seu método. O primeiro exemplo que ele apresentou foi:

Exemplo (Brahmagupta): Encontre números inteiros que: ${\ displaystyle \ x, \ y \}$

${\ displaystyle \ x ^ {2} -92y ^ {2} = 1}$

Em seu comentário, Brahmagupta acrescentou: "uma pessoa que resolve este problema em um ano é um matemático". A solução que ele forneceu foi:

${\ displaystyle \ x = 1151, \ y = 120}$

Bhaskara I

Bhaskara I (c. 600–680) expandiu o trabalho de Aryabhata em seus livros intitulados Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya e Laghu-bhaskariya . Ele produziu:

• Soluções de equações indeterminadas.
• Uma aproximação racional da função seno .
• Uma fórmula para calcular o seno de um ângulo agudo sem o uso de uma tabela, corrigida com duas casas decimais.

Séculos nono ao décimo segundo

Virasena

Virasena (século 8) foi um matemático Jain no tribunal de Rashtrakuta Rei Amoghavarsha de Manyakheta , Karnataka. Ele escreveu o Dhavala , um comentário sobre a matemática Jain, que:

• Lida com o conceito de ardhaccheda , o número de vezes que um número pode ser reduzido pela metade e lista várias regras que envolvem essa operação. Isso coincide com o logaritmo binário quando aplicado a potências de dois , mas difere em outros números, mais parecido com a ordem 2-ádica .
• O mesmo conceito para a base 3 ( trakacheda ) e a base 4 ( caturthacheda ).

Virasena também deu:

• A derivação do volume de um tronco por uma espécie de procedimento infinito.

Pensa-se que muito do material matemático do Dhavala pode ser atribuído a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra e Bappadeva e data de quem escreveu entre 200 e 600 CE.

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800–870) de Karnataka , o último dos notáveis ​​matemáticos Jain, viveu no século 9 e foi patrocinado pelo rei Rashtrakuta Amoghavarsha. Ele escreveu um livro intitulado Ganit Saar Sangraha sobre matemática numérica e também escreveu tratados sobre uma ampla gama de tópicos matemáticos. Isso inclui a matemática de:

• Zero
• Quadrados
• Cubos
• raízes quadradas , raízes cúbicas e a série que se estende além dessas
• Geometria plana
• Geometria sólida
• Problemas relacionados à projeção de sombras
• Fórmulas derivadas para calcular a área de uma elipse e quadrilátero dentro de um círculo .

Mahavira também:

• Afirmou que a raiz quadrada de um número negativo não existia
• Forneceu a soma de uma série cujos termos são quadrados de uma progressão aritmética e forneceu regras empíricas para a área e o perímetro de uma elipse.
• Equações cúbicas resolvidas.
• Equações quárticas resolvidas.
• Resolvido algumas equações quínticas e polinômios de ordem superior .
• Forneceu as soluções gerais das equações polinomiais de ordem superior:
  • ${\ displaystyle \ ax ^ {n} = q}$
  • ${\ displaystyle a {\ frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = p}$
• Resolvidas equações quadráticas indeterminadas.
• Resolvidas equações cúbicas indeterminadas.
• Resolvidas equações indeterminadas de ordem superior.

Shridhara

Shridhara (c. 870–930), que viveu em Bengala , escreveu os livros intitulados Nav Shatika , Tri Shatika e Pati Ganita . Ele deu:

• Uma boa regra para encontrar o volume de uma esfera .
• A fórmula para resolver equações quadráticas .

O Pati Ganita é uma obra de aritmética e medição . Ele lida com várias operações, incluindo:

• Operações elementares
• Extração de raízes quadradas e cúbicas.
• Frações.
• Oito regras fornecidas para operações envolvendo zero.
• Métodos de soma de diferentes séries aritméticas e geométricas, que se tornariam referências padrão em trabalhos posteriores.

Manjula

As equações diferenciais de Aryabhata foram elaboradas no século 10 por Manjula (também Munjala ), que percebeu que a expressão

${\ displaystyle \ \ sin w '- \ sin w}$

poderia ser aproximadamente expresso como

${\ displaystyle \ (w'-w) \ cos w}$

Ele entendeu o conceito de diferenciação depois de resolver a equação diferencial que resultou da substituição dessa expressão na equação diferencial de Aryabhata.

Aryabhata II

Aryabhata II (c. 920-1000) escreveu um comentário sobre Shridhara e um tratado astronômico Maha-Siddhanta . O Maha-Siddhanta tem 18 capítulos e discute:

• Matemática numérica ( Ank Ganit ).
• Álgebra.
• Soluções de equações indeterminadas ( kuttaka ).

Shripati

Shripati Mishra (1019–1066) escreveu os livros Siddhanta Shekhara , uma importante obra sobre astronomia em 19 capítulos, e Ganit Tilaka , um tratado aritmético incompleto em 125 versos baseado em uma obra de Shridhara. Ele trabalhou principalmente em:

• Permutações e combinações .
• Solução geral da equação linear indeterminada simultânea.

Ele também foi o autor de Dhikotidakarana , uma obra de vinte versos sobre:

• Eclipse solar .
• Eclipse lunar .

O Dhruvamanasa é uma obra de 105 versos sobre:

• Calculando longitudes planetárias
• eclipses .
• trânsitos planetários .

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) escreveu um tratado matemático intitulado Gome-mat Saar .

Bhaskara II

Bhāskara II (1114–1185) foi um matemático-astrônomo que escreveu vários tratados importantes, como o Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam e Karan Kautoohal . Várias de suas contribuições foram posteriormente transmitidas ao Oriente Médio e à Europa. Suas contribuições incluem:

Aritmética:

• Cálculo de juros
• Progressões aritméticas e geométricas
• Geometria plana
• Geometria sólida
• A sombra do gnomon
• Soluções de combinações
• Deu uma prova de que a divisão por zero é infinito .

Álgebra:

• O reconhecimento de um número positivo com duas raízes quadradas.
• Surds .
• Operações com produtos de várias incógnitas.
• As soluções de:
  • Equações quadráticas.
  • Equações cúbicas.
  • Equações quárticas.
  • Equações com mais de uma incógnita.
  • Equações quadráticas com mais de uma incógnita.
  • A forma geral da equação de Pell usando o método chakravala .
  • A equação quadrática geral indeterminada usando o método chakravala .
  • Equações cúbicas indeterminadas.
  • Equações quárticas indeterminadas.
  • Equações polinomiais indeterminadas de ordem superior.

Geometria:

• Deu uma prova do teorema de Pitágoras .

Cálculo:

• Concebido de cálculo diferencial .
• Descobriu a derivada .
• Descobriu o coeficiente diferencial .
• Diferenciação desenvolvida.
• Teorema de Rolle declarado , um caso especial do teorema do valor médio (um dos teoremas mais importantes do cálculo e da análise).
• Derivou o diferencial da função seno.
• Π calculado , correto para cinco casas decimais.
• Calculou o comprimento da revolução da Terra em torno do Sol com 9 casas decimais.

Trigonometria:

• Desenvolvimentos da trigonometria esférica
• As fórmulas trigonométricas:
  • ${\ displaystyle \ \ sin (a + b) = \ sin (a) \ cos (b) + \ sin (b) \ cos (a)}$
  • ${\ displaystyle \ \ sin (ab) = \ sin (a) \ cos (b) - \ sin (b) \ cos (a)}$

Matemática de Kerala (1300-1600)

A escola de astronomia e matemática de Kerala foi fundada por Madhava de Sangamagrama em Kerala, sul da Índia e incluía entre seus membros: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri e Achyuta Panikkar. Floresceu entre os séculos 14 e 16 e as descobertas originais da escola parecem ter terminado com Narayana Bhattathiri (1559-1632). Na tentativa de resolver problemas astronômicos, os astrônomos da escola de Kerala criaram independentemente uma série de conceitos matemáticos importantes. Os resultados mais importantes, expansão em série para funções trigonométricas , foram dados em versos sânscritos em um livro de Neelakanta chamado Tantrasangraha e um comentário sobre este trabalho chamado Tantrasangraha-vakhya de autoria desconhecida. Os teoremas foram declarados sem prova, mas as provas para as séries de seno , cosseno e tangente inversa foram fornecidas um século depois na obra Yuktibhāṣā (c.1500-c.1610), escrita em Malayalam , por Jyesthadeva .

A descoberta dessas três importantes expansões em série do cálculo - vários séculos antes do cálculo ser desenvolvido na Europa por Isaac Newton e Gottfried Leibniz - foi uma conquista. No entanto, a Escola de Kerala não inventou o cálculo , porque, embora fossem capazes de desenvolver expansões em série de Taylor para as funções trigonométricas importantes , diferenciação , integração termo a termo , testes de convergência , métodos iterativos para soluções de equações não lineares e a teoria que a área sob uma curva é sua integral, eles não desenvolveram uma teoria de diferenciação ou integração , nem o teorema fundamental do cálculo . Os resultados obtidos pela escola de Kerala incluem:

• A série geométrica (infinita) :${\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + \ cdots {\ text {for}} | x | <1}$
• Uma prova semi-rigorosa (veja a observação de "indução" abaixo) do resultado: para n grande .${\ displaystyle 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + \ cdots + n ^ {p} \ approx {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}}}$
• Uso intuitivo de indução matemática , entretanto, a hipótese indutiva não foi formulada ou empregada em provas.
• Aplicações de idéias de (o que viria a ser) cálculo diferencial e integral para obter (Taylor-Maclaurin) séries infinitas para sen x, cos x e arctan x. O Tantrasangraha-vakhya apresenta a série em verso, que, quando traduzida para notação matemática, pode ser escrita como:

${\ displaystyle r \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = {\ frac {1} {1}} \ cdot {\ frac {ry} {x}} - {\ frac { 1} {3}} \ cdot {\ frac {ry ^ {3}} {x ^ {3}}} + {\ frac {1} {5}} \ cdot {\ frac {ry ^ {5}} { x ^ {5}}} - \ cdots, {\ text {onde}} y / x \ leq 1.}$

${\ displaystyle r \ sin x = xx {\ frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} + x {\ frac {x ^ {2}} {( 2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) r ^ {2}}} - \ cdots}$

${\ displaystyle r- \ cos x = r {\ frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} - r {\ frac {x ^ {2}} { (2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} {\ frac {x ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ {2}}} + \ cdots,}$

onde, para r  = 1, a série se reduz à série de potência padrão para essas funções trigonométricas, por exemplo:

${\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots}$

e

${\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6} } {6!}} + \ Cdots}$

• Uso da retificação (cálculo do comprimento) do arco de um círculo para dar uma prova desses resultados. (O último método de Leibniz, usando quadratura, ou seja , cálculo da área sob o arco do círculo, não foi usado.)
• Uso da expansão em série de para obter a fórmula de Leibniz para π :${\ displaystyle \ arctan x}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots}$

• Uma aproximação racional do erro para a soma finita de suas séries de interesse. Por exemplo, o erro,, (para n ímpar e i = 1, 2, 3) para a série:${\ displaystyle f_ {i} (n + 1)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} \ approx 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots + (- 1) ^ {( n-1) / 2} {\ frac {1} {n}} + (- 1) ^ {(n + 1) / 2} f_ {i} (n + 1)}$

${\ displaystyle {\ text {where}} f_ {1} (n) = {\ frac {1} {2n}}, \ f_ {2} (n) = {\ frac {n / 2} {n ^ { 2} +1}}, \ f_ {3} (n) = {\ frac {(n / 2) ^ {2} +1} {(n ^ {2} +5) n / 2}}.}$

• Manipulação do termo de erro para derivar uma série convergente mais rápida para :${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {3} {4}} + {\ frac {1} {3 ^ {3} -3}} - {\ frac {1} { 5 ^ {3} -5}} + {\ frac {1} {7 ^ {3} -7}} - \ cdots}$

• Usando a série aprimorada para derivar uma expressão racional, 104348/33215 para π corrige até nove casas decimais, ou seja ,  3,141592653.
• Uso de uma noção intuitiva de limite para calcular esses resultados.
• Um método semi-rigoroso (veja a observação sobre os limites acima) de diferenciação de algumas funções trigonométricas. No entanto, eles não formularam a noção de uma função , nem têm conhecimento das funções exponenciais ou logarítmicas.

As obras da escola de Kerala foram escritas pela primeira vez para o mundo ocidental pelo inglês CM Whish em 1835. De acordo com Whish, os matemáticos de Kerala " estabeleceram as bases para um sistema completo de fluxões " e essas obras abundaram " com formas e séries fluxionais para ser encontrado em nenhuma obra de países estrangeiros. "

No entanto, os resultados de Whish foram quase completamente negligenciados, até mais de um século depois, quando as descobertas da escola de Kerala foram investigadas novamente por C. Rajagopal e seus associados. Seu trabalho inclui comentários sobre as provas da série arctan em Yuktibhāṣā dados em dois artigos, um comentário sobre a prova de Yuktibhāṣā da série seno e cosseno e dois artigos que fornecem os versos em sânscrito do Tantrasangrahavakhya para a série para arctan, sin e cosseno (com tradução e comentários em inglês).

Narayana Pandit é um matemático do século 14 que compôs duas importantes obras matemáticas, um tratado de aritmética, Ganita Kaumudi , e um tratado algébrico, Bijganita Vatamsa . Narayana também é pensado para ser o autor de um elaborado comentário de Bhaskara II 's Lilavati , intitulado Karmapradipika (ou Karma-Paddhati ). Madhava de Sangamagrama (c. 1340–1425) foi o fundador da Escola de Kerala. Embora seja possível que ele tenha escrito uma obra para Karana Paddhati escrita em algum momento entre 1375 e 1475, tudo o que realmente sabemos de sua obra vem de trabalhos de estudiosos posteriores.

Parameshvara (c. 1370–1460) escreveu comentários sobre as obras de Bhaskara I , Aryabhata e Bhaskara II. Seu Lilavati Bhasya , um comentário sobre o Lilavati de Bhaskara II , contém uma de suas descobertas importantes: uma versão do teorema do valor médio . Nilakantha Somayaji (1444-1544) compôs o Tantra Samgraha (que "gerou" um comentário anônimo posterior Tantrasangraha-vyakhya e um comentário adicional pelo nome Yuktidipaika , escrito em 1501). Ele elaborou e estendeu as contribuições de Madhava.

Citrabhanu (c. 1530) foi um matemático do século 16 de Kerala que deu soluções inteiras para 21 tipos de sistemas de duas equações algébricas simultâneas em duas incógnitas. Esses tipos são todos os pares possíveis de equações das seguintes sete formas:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & x + y = a, \ xy = b, \ xy = c, x ^ {2} + y ^ {2} = d, \\ [8pt] & x ^ {2} - y ^ {2} = e, \ x ^ {3} + y ^ {3} = f, \ x ^ {3} -y ^ {3} = g \ end {alinhado}}}$

Para cada caso, Citrabhanu deu uma explicação e justificativa de sua regra, bem como um exemplo. Algumas de suas explicações são algébricas, enquanto outras são geométricas. Jyesthadeva (c. 1500–1575) foi outro membro da Escola Kerala. Seu trabalho principal foi o Yukti-bhāṣā (escrito em Malayalam, uma língua regional de Kerala). Jyesthadeva apresentou provas da maioria dos teoremas matemáticos e séries infinitas descobertas anteriormente por Madhava e outros matemáticos da Escola de Kerala.

Cargos de Eurocentrismo

Foi sugerido que as contribuições indianas à matemática não receberam o devido reconhecimento na história moderna e que muitas descobertas e invenções de matemáticos indianos são atualmente atribuídas culturalmente a seus colegas ocidentais , como resultado do eurocentrismo . De acordo com a opinião de GG Joseph sobre " Etnomatemática ":

[Seu trabalho] leva em conta algumas das objeções levantadas sobre a trajetória eurocêntrica clássica. É muito provável que o conhecimento [da matemática indiana e árabe] seja temperado com rejeições desdenhosas de sua importância em comparação com a matemática grega. As contribuições de outras civilizações - principalmente China e Índia, são percebidas como devedores de fontes gregas ou como tendo feito apenas pequenas contribuições para o desenvolvimento matemático dominante. Uma abertura para as descobertas de pesquisas mais recentes, especialmente no caso da matemática indiana e chinesa, infelizmente está faltando "

O historiador da matemática, Florian Cajori , sugeriu que ele e outros "suspeitam que Diofanto teve seu primeiro vislumbre do conhecimento algébrico da Índia". No entanto, ele também escreveu que "é certo que partes da matemática hindu são de origem grega".

Mais recentemente, como discutido na seção acima, a série infinita de cálculo para funções trigonométricas (redescoberta por Gregory, Taylor e Maclaurin no final do século 17) foi descrita (com provas e fórmulas para erro de truncamento) na Índia, por matemáticos de a escola de Kerala , notavelmente cerca de dois séculos antes. Alguns estudiosos sugeriram recentemente que o conhecimento desses resultados pode ter sido transmitido para a Europa através da rota comercial de Kerala por comerciantes e missionários jesuítas . Kerala manteve contato contínuo com a China e a Arábia e, por volta de 1500, com a Europa. A existência de vias de comunicação e uma cronologia adequada tornam essa transmissão uma possibilidade. No entanto, não há evidência direta por meio de manuscritos relevantes de que tal transmissão realmente ocorreu. De acordo com David Bressoud , "não há evidências de que o trabalho em série indiano fosse conhecido fora da Índia, ou mesmo fora de Kerala, até o século XIX".

Estudiosos árabes e indianos fizeram descobertas antes do século 17 que agora são consideradas parte do cálculo. No entanto, eles não fizeram, como Newton e Leibniz fizeram, "combinaram muitas idéias diferentes sob os dois temas unificadores da derivada e da integral , mostraram a conexão entre as duas e transformaram o cálculo na grande ferramenta de solução de problemas que temos hoje. " As carreiras intelectuais de Newton e Leibniz são bem documentadas e não há indicação de que seus trabalhos não sejam deles; no entanto, não se sabe com certeza se os predecessores imediatos de Newton e Leibniz, "incluindo, em particular, Fermat e Roberval, tomaram conhecimento de algumas das idéias dos matemáticos islâmicos e indianos por meio de fontes que não conhecemos agora". Esta é uma área ativa de pesquisa atual, especialmente nas coleções de manuscritos da Espanha e do Magrebe . Esta pesquisa está sendo desenvolvida, entre outros lugares, no Centre National de Recherche Scientifique em Paris.

Veja também

Notas

Referências

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Leitura adicional

Livros fonte em sânscrito

• Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 1: The Translation: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya , Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 páginas, ISBN 978-3-7643-7291-0.
• Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 2: Os Suplementos: Uma Tradução de Bhaskara I sobre o Capítulo Matemático de Aryabhatiya , Basel, Boston e Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 páginas, ISBN 978-3-7643-7292-7.
• Sarma, KV , ed. (1976), Aryabhatiya de Aryabhata com o comentário de Sūryadeva Yajvan , criticamente editado com Introdução e Apêndices, New Delhi: indiana Academia Nacional de Ciências.
• Sen, SN; Bag, AK, eds. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana e Mānava , com texto, tradução e comentários em inglês, Nova Delhi: Indian National Science Academy.
• Shukla, KS, ed. (1976), Aryabhatiya de Aryabhata com o comentário de Bhāskara I e Somesvara , criticamente editado com Introdução, Inglês tradução, notas, comentários e Índices, New Delhi: indiana Academia Nacional de Ciências.
• Shukla, KS, ed. (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa , editado criticamente com Introdução, Tradução para o inglês, Notas, Comentários e Índices, em colaboração com KV Sarma , Nova Delhi: Indian National Science Academy.

links externos

• Ciências e Matemática na Índia
• Uma visão geral da matemática indiana , MacTutor History of Mathematics Archive , St Andrews University , 2000.
• Matemáticos indianos
• Index of Ancient Indian mathematics , MacTutor History of Mathematics Archive , St Andrews University, 2004.
• Indian Mathematics: Resting the balance , Student Projects in the History of Mathematics . Ian Pearce. Arquivo MacTutor History of Mathematics , St Andrews University, 2002.
• Matemática indiana em In Our Time na BBC
• InSIGHT 2009 , um workshop sobre ciências tradicionais indianas para crianças em idade escolar conduzido pelo departamento de Ciência da Computação da Anna University, Chennai, Índia.
• Matemática na Índia antiga por R. Sridharan
• Métodos combinatórios na Índia antiga
• Matemática antes de S. Ramanujan