Princípio de Huygens-Fresnel - Huygens–Fresnel principle

Refração de onda à maneira de Huygens
Difração de ondas na forma de Huygens e Fresnel

O princípio Huygens – Fresnel (em homenagem ao físico holandês Christiaan Huygens e ao físico francês Augustin-Jean Fresnel ) é um método de análise aplicado a problemas de propagação de ondas no limite do campo distante e na difração de campo próximo e também na reflexão . Afirma que cada ponto em uma frente de onda é a própria fonte de wavelets esféricos, e as wavelets secundárias que emanam de diferentes pontos interferem mutuamente. A soma dessas ondas esféricas forma a frente de onda.

História

Difração de uma onda plana quando a largura da fenda é igual ao comprimento de onda

Em 1678, Huygens propôs que todo ponto a que chega uma perturbação luminosa torna-se uma fonte de uma onda esférica; a soma dessas ondas secundárias determina a forma da onda em qualquer momento subsequente. Ele presumiu que as ondas secundárias viajaram apenas na direção "para frente" e não é explicado na teoria por que esse é o caso. Ele foi capaz de fornecer uma explicação qualitativa da propagação de onda linear e esférica e derivar as leis de reflexão e refração usando este princípio, mas não conseguiu explicar os desvios da propagação retilínea que ocorrem quando a luz encontra bordas, aberturas e telas, comumente conhecidas como efeitos de difração . A resolução desse erro foi finalmente explicada por David AB Miller em 1991. A resolução é que a fonte é um dipolo (não o monopolo assumido por Huygens), que se cancela na direção refletida.

Em 1818, Fresnel mostrou que o princípio de Huygens, junto com seu próprio princípio de interferência, poderia explicar tanto a propagação retilínea da luz quanto os efeitos de difração. Para obter concordância com os resultados experimentais, ele teve que incluir suposições arbitrárias adicionais sobre a fase e a amplitude das ondas secundárias, e também um fator de obliquidade. Essas suposições não têm nenhum fundamento físico óbvio, mas levaram a previsões que concordaram com muitas observações experimentais, incluindo o ponto de Poisson .

Poisson era membro da Academia Francesa, que revisava o trabalho de Fresnel. Ele usou a teoria de Fresnel para prever que um ponto brilhante deveria aparecer no centro da sombra de um pequeno disco e deduziu disso que a teoria estava incorreta. Porém, Arago, outro membro do comitê, realizou o experimento e mostrou que a previsão estava correta. (Lisle observara isso cinquenta anos antes.) Essa foi uma das investigações que levou à vitória da teoria ondulatória da luz sobre a teoria corpuscular predominante .

Em teoria e engenharia de antenas , a reformulação do princípio de Huygens-Fresnel para fontes de corrente radiante é conhecida como princípio de equivalência de superfície .

O princípio de Huygens como modelo microscópico

O princípio de Huygens-Fresnel fornece uma base razoável para compreender e prever a propagação de onda clássica da luz. No entanto, existem limitações ao princípio, a saber, as mesmas aproximações feitas para derivar a fórmula de difração de Kirchhoff e as aproximações de campo próximo devido a Fresnel. Isso pode ser resumido no fato de que o comprimento de onda da luz é muito menor do que as dimensões de quaisquer componentes ópticos encontrados.

A fórmula de difração de Kirchhoff fornece uma base matemática rigorosa para a difração, com base na equação de onda. As suposições arbitrárias feitas por Fresnel para chegar à equação Huygens-Fresnel emergem automaticamente da matemática nesta derivação.

Um exemplo simples da operação do princípio pode ser visto quando uma porta aberta conecta duas salas e um som é produzido em um canto remoto de uma delas. Uma pessoa na outra sala ouvirá o som como se tivesse vindo da porta. No que diz respeito à segunda sala, o ar vibrante na porta é a fonte do som.

Interpretações da física moderna

Nem todos os especialistas concordam que o princípio de Huygens é uma representação microscópica precisa da realidade. Por exemplo, Melvin Schwartz argumentou que "o princípio de Huygens realmente dá a resposta certa, mas pelas razões erradas".

Isso pode se refletir nos seguintes fatos:

  • A mecânica microscópica de criação de fótons e de emissão, em geral, é essencialmente aceleração de elétrons.
  • A análise original de Huygens incluiu apenas amplitudes. Não inclui nem fases, nem ondas que se propagam em velocidades diferentes (devido à difração dentro do meio contínuo) e, portanto, não leva em consideração a interferência.
  • A análise de Huygens também não inclui a polarização da luz, o que implica um potencial vetorial, onde as ondas sonoras podem ser descritas com um potencial escalar e não há uma tradução única e natural entre os dois.
  • Na descrição de Huygens , não há explicação de por que escolhemos apenas o que vai para a frente ( onda retardada ou envelope para frente das frentes de onda) versus a onda avançada de propagação para trás (envelope para trás).
  • Na aproximação de Fresnel, há um conceito de comportamento não local devido à soma de ondas esféricas com diferentes fases que vêm de diferentes pontos da frente de onda, e teorias não locais são objeto de muitos debates (por exemplo, não sendo covariante de Lorentz ) e de pesquisa ativa.
  • A aproximação de Fresnel pode ser interpretada de maneira probabilística quântica, mas não está claro o quanto essa soma de estados (ou seja, wavelets na frente de onda) é uma lista completa de estados que são significativos fisicamente ou representam mais de uma aproximação em uma base genérica como em o método da combinação linear de orbitais atômicos (LCAO).

O princípio de Huygens é essencialmente compatível com a teoria quântica de campos na aproximação de campo distante , considerando campos efetivos no centro de espalhamento, considerando pequenas perturbações , e no mesmo sentido que a óptica quântica é compatível com a óptica clássica , outras interpretações são objeto de debate e pesquisa ativa.

O modelo de Feynman onde cada ponto em uma frente de onda imaginária tão grande quanto a sala está gerando uma wavelet, também deve ser interpretado nessas aproximações e em um contexto probabilístico, neste contexto pontos remotos podem contribuir apenas minimamente para a amplitude de probabilidade geral.

A teoria quântica de campos não inclui nenhum modelo microscópico para a criação de fótons e o conceito de fóton único também é examinado em um nível teórico.

Expressão matemática do princípio

Arranjo geométrico para cálculo de Fresnel

Considere o caso de uma fonte pontual localizada em um ponto P 0 , vibrando em uma frequência f . A perturbação pode ser descrita por uma variável complexa U 0 conhecida como amplitude complexa . Ele produz uma onda esférica com comprimento de onda λ, número de onda k = 2 π / λ . Dentro de uma constante de proporcionalidade, a amplitude complexa da onda primária no ponto Q localizado a uma distância r 0 de P 0 é:

Observe que a magnitude diminui na proporção inversa à distância percorrida e a fase muda conforme k vezes a distância percorrida.

Usando a teoria de Huygens e o princípio da superposição de ondas, a amplitude complexa em outro ponto P é encontrada somando as contribuições de cada ponto na esfera de raio r 0 . Para chegar a um acordo com os resultados experimentais, Fresnel descobriu que as contribuições individuais das ondas secundárias na esfera tinham que ser multiplicadas por uma constante, - i / λ, e por um fator de inclinação adicional, K (χ). A primeira suposição significa que as ondas secundárias oscilam em um quarto de ciclo fora de fase em relação à onda primária e que a magnitude das ondas secundárias está na proporção de 1: λ para a onda primária. Ele também assumiu que K (χ) tinha um valor máximo quando χ = 0 e era igual a zero quando χ = π / 2, onde χ é o ângulo entre o normal da frente de onda primária e o normal da frente de onda secundária . A amplitude complexa em P , devido à contribuição das ondas secundárias, é então dada por:

onde S descreve a superfície da esfera, e s é a distância entre Q e P .

Fresnel usou um método de construção de zonas para encontrar valores aproximados de K para as diferentes zonas, o que lhe permitiu fazer previsões que estavam de acordo com os resultados experimentais. O teorema integral de Kirchhoff inclui a ideia básica do princípio de Huygens – Fresnel. Kirchhoff mostrou que, em muitos casos, o teorema pode ser aproximado de uma forma mais simples que é equivalente à formação da formulação de Fresnel.

Para uma iluminação de abertura que consiste em uma única onda esférica em expansão, se o raio da curvatura da onda for suficientemente grande, Kirchhoff deu a seguinte expressão para K (χ):

K tem um valor máximo em χ = 0 como no princípio de Huygens – Fresnel; entretanto, K não é igual a zero em χ = π / 2, mas em χ = π.

A derivação acima de K (χ) assumiu que a abertura difrativa é iluminada por uma única onda esférica com um raio de curvatura suficientemente grande. No entanto, o princípio é válido para iluminações mais gerais. Uma iluminação arbitrária pode ser decomposta em uma coleção de fontes pontuais e a linearidade da equação de onda pode ser invocada para aplicar o princípio a cada fonte pontual individualmente. K (χ) pode ser geralmente expresso como:

Nesse caso, K satisfaz as condições estabelecidas acima (valor máximo em χ = 0 e zero em χ = π / 2).

Princípio generalizado de Huygens

Muitos livros e referências, por exemplo, referem-se ao Princípio Generalizado de Huygens como aquele referido por Feynman nesta publicação

Feynman define o princípio generalizado da seguinte maneira:

“Na verdade, o princípio de Huygens não é correto em óptica. Ele é substituído pela modificação de Kirchoff que exige que tanto a amplitude quanto sua derivada sejam conhecidas na superfície adjacente. Isso é uma consequência do fato de que a equação de onda em óptica é de segunda ordem no tempo. A equação de onda da mecânica quântica é de primeira ordem no tempo; portanto, o princípio de Huygens é correto para as ondas de matéria, a ação substituindo o tempo. "

Isso esclarece o fato de que, neste contexto, o princípio generalizado reflete a linearidade da mecânica quântica e o fato de que as equações da mecânica quântica são de primeira ordem no tempo. Finalmente, apenas neste caso o princípio de superposição se aplica totalmente, ou seja, a função de onda em um ponto P pode ser expandida como uma superposição de ondas em uma superfície de fronteira envolvendo P. As funções de onda podem ser interpretadas no sentido da mecânica quântica usual como densidades de probabilidade onde o o formalismo das funções e propagadores de Green se aplicam. O que é digno de nota é que este princípio generalizado é aplicável para "ondas de matéria" e não mais para ondas de luz. O fator de fase é agora esclarecido como dado pela ação e não há mais confusão sobre o motivo pelo qual as fases das wavelets são diferentes daquela da onda original e modificadas pelos parâmetros adicionais de Fresnel.

De acordo com Greiner, o princípio generalizado pode ser expresso na forma:

Onde G é a função de Green usual que se propaga no tempo a função de onda . Essa descrição se assemelha e generaliza a fórmula de Fresnel inicial do modelo clássico.

Teoria de Huygens e a moderna função de onda de fótons

A teoria de Huygens serviu como uma explicação fundamental da natureza ondulatória da interferência da luz e foi posteriormente desenvolvida por Fresnel e Young, mas não resolveu totalmente todas as observações, como o experimento de dupla fenda de baixa intensidade realizado pela primeira vez por GI Taylor em 1909. Foi só no início e meados de 1900 é que as discussões da teoria quântica, particularmente as primeiras discussões na Conferência Solvay de Bruxelas de 1927 , onde Louis de Broglie propôs sua hipótese de Broglie de que o fóton é guiado por uma função de onda. A função de onda apresenta uma explicação muito diferente das bandas claras e escuras observadas em um experimento de dupla fenda. Nessa concepção, o fóton segue um caminho que é uma escolha aleatória de um dos muitos caminhos possíveis. Esses caminhos possíveis formam o padrão: em áreas escuras, nenhum fóton está pousando e, em áreas claras, muitos fótons estão pousando. O conjunto de caminhos possíveis do fóton é determinado pelos arredores: o ponto de origem do fóton (átomo), a fenda e a tela. A função de onda é uma solução para essa geometria. A abordagem da função de onda foi posteriormente apoiada por experimentos adicionais de dupla fenda na Itália e no Japão nas décadas de 1970 e 1980 com elétrons.

Princípio de Huygens e teoria quântica de campo

O princípio de Huygens pode ser visto como uma consequência da homogeneidade do espaço - o espaço é uniforme em todos os locais. Qualquer perturbação criada em uma região suficientemente pequena do espaço homogêneo (ou em um meio homogêneo) se propaga daquela região em todas as direções geodésicas. As ondas produzidas por esse distúrbio, por sua vez, criam distúrbios em outras regiões e assim por diante. A superposição de todas as ondas resulta no padrão observado de propagação das ondas.

A homogeneidade do espaço é fundamental para a teoria quântica de campos (QFT), onde a função de onda de qualquer objeto se propaga ao longo de todos os caminhos desobstruídos disponíveis. Quando integrada ao longo de todos os caminhos possíveis , com um fator de fase proporcional à ação , a interferência das funções de onda prediz corretamente os fenômenos observáveis. Cada ponto na frente de onda atua como a fonte de ondas secundárias que se espalham no cone de luz com a mesma velocidade da onda. A nova frente de onda é encontrada construindo a superfície tangente às ondas secundárias.

Em outras dimensões espaciais

Em 1900, Jacques Hadamard observou que o princípio de Huygens foi quebrado quando o número de dimensões espaciais é par. A partir disso, ele desenvolveu um conjunto de conjecturas que permanecem um tópico ativo de pesquisa. Em particular, foi descoberto que o princípio de Huygens se aplica a uma grande classe de espaços homogêneos derivados do grupo de Coxeter (então, por exemplo, os grupos de Weyl de álgebras de Lie simples ).

A declaração tradicional do princípio de Huygens para o D'Alembertiano dá origem à hierarquia KdV ; analogamente, o operador Dirac dá origem à hierarquia AKNS .

Veja também

Referências

Leitura adicional

  • Stratton, Julius Adams: Electromagnetic Theory , McGraw-Hill, 1941. (Reeditado por Wiley - IEEE Press, ISBN  978-0-470-13153-4 ).
  • BB Baker e ET Copson, The Mathematical Theory of Huygens 'Principle , Oxford, 1939, 1950; AMS Chelsea, 1987.