Equação de Helmholtz - Helmholtz equation

Em matemática, o problema do valor próprio para o operador de Laplace é conhecido como a equação de Helmholtz . Corresponde à equação diferencial parcial linear :

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = -k ^ {2} f}$

onde ∇ ² é o operador de Laplace (ou "Laplaciano"), k ² é o autovalor ef é a função ( autovalor ). Quando a equação é aplicada a ondas, k é conhecido como o número da onda . A equação de Helmholtz tem uma variedade de aplicações em física, incluindo a equação de onda e a equação de difusão , e tem aplicações em outras ciências.

Motivação e usos

A equação de Helmholtz freqüentemente surge no estudo de problemas físicos envolvendo equações diferenciais parciais (PDEs) no espaço e no tempo. A equação de Helmholtz, que representa uma forma independente do tempo da equação de onda , resulta da aplicação da técnica de separação de variáveis para reduzir a complexidade da análise.

Por exemplo, considere a equação de onda

${\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right ) u (\ mathbf {r}, t) = 0.}$

A separação de variáveis ​​começa assumindo que a função de onda u ( r , t ) é de fato separável:

${\ displaystyle u (\ mathbf {r}, t) = A (\ mathbf {r}) T (t).}$

Substituindo esta forma na equação de onda e, em seguida, simplificando, obtemos a seguinte equação:

${\ displaystyle {\ frac {\ nabla ^ {2} A} {A}} = {\ frac {1} {c ^ {2} T}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}.}$

Observe que a expressão do lado esquerdo depende apenas de r , enquanto a expressão da direita depende apenas de t . Como resultado, esta equação é válida no caso geral se e somente se ambos os lados da equação forem iguais a um valor constante. Este argumento é a chave na técnica de resolver equações diferenciais parciais lineares por separação de variáveis. A partir dessa observação, obtemos duas equações, uma para A ( r ) e outra para T ( t ):

${\ displaystyle {\ frac {\ nabla ^ {2} A} {A}} = - k ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2} T}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - k ^ {2},}$

onde escolhemos, sem perda de generalidade, a expressão - k ² para o valor da constante. (É igualmente válido usar qualquer constante k como a constante de separação; - k ² é escolhido apenas por conveniência nas soluções resultantes.)

Reorganizando a primeira equação, obtemos a equação de Helmholtz:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} A + k ^ {2} A = (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) A = 0.}$

Da mesma forma, depois de fazer a substituição ω = kc , onde k é o número da onda , e ω é a frequência angular , a segunda equação torna-se

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega ^ {2} T = \ left ({\ frac {\ mathrm { d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega ^ {2} \ right) T = 0.}$

Agora temos a equação de Helmholtz para a variável espacial r e uma equação diferencial ordinária de segunda ordem no tempo. A solução no tempo será uma combinação linear das funções seno e cosseno , cuja forma exata é determinada pelas condições iniciais, enquanto a forma da solução no espaço dependerá das condições de contorno . Alternativamente, as transformadas integrais , como a transformada de Laplace ou Fourier , são freqüentemente usadas para transformar uma PDE hiperbólica em uma forma da equação de Helmholtz.

Por causa de sua relação com a equação de onda, a equação de Helmholtz surge em problemas em áreas da física como o estudo da radiação eletromagnética , sismologia e acústica .

Resolvendo a equação de Helmholtz usando separação de variáveis

A solução para a equação espacial de Helmholtz:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} A = -k ^ {2} A}$

pode ser obtido para geometrias simples usando separação de variáveis .

Membrana vibrante

O análogo bidimensional da corda vibrante é a membrana vibrante, com as bordas fixadas para ficarem imóveis. A equação de Helmholtz foi resolvida para muitas formas básicas no século 19: a membrana retangular por Siméon Denis Poisson em 1829, o triângulo equilátero por Gabriel Lamé em 1852 e a membrana circular por Alfred Clebsch em 1862. A pele elíptica foi estudada por Émile Mathieu , levando à equação diferencial de Mathieu .

Se as arestas de uma forma são segmentos de linha reta, então uma solução é integrável ou cognoscível na forma fechada apenas se for expressa como uma combinação linear finita de ondas planas que satisfaçam as condições de contorno (zero no contorno, ou seja, membrana presa )

Se o domínio é um círculo de raio a , então é apropriado introduzir as coordenadas polares r e θ . A equação de Helmholtz assume a forma

${\ displaystyle A_ {rr} + {\ frac {1} {r}} A_ {r} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} A _ {\ theta \ theta} + k ^ {2} A = 0.}$

Podemos impor a condição de contorno de que A desaparece se r = a ; portanto

${\ displaystyle A (a, \ theta) = 0.}$

O método de separação de variáveis ​​leva a soluções experimentais da forma

${\ displaystyle A (r, \ theta) = R (r) \ Theta (\ theta),}$

onde Θ deve ser periódico de período  2 π . Isto leva a

${\ displaystyle \ Theta '' + n ^ {2} \ Theta = 0,}$

${\ displaystyle r ^ {2} R '' + rR '+ r ^ {2} k ^ {2} Rn ^ {2} R = 0.}$

Decorre da condição de periodicidade que

${\ displaystyle \ Theta = \ alpha \ cos n \ theta + \ beta \ sin n \ theta,}$

e esse n deve ser um número inteiro. O componente radial R tem a forma

${\ displaystyle R (r) = \ gamma J_ {n} (\ rho), \,}$

onde a função de Bessel J _n ( ρ ) satisfaz a equação de Bessel

${\ displaystyle \ rho ^ {2} J_ {n} '' + \ rho J_ {n} '+ (\ rho ^ {2} -n ^ {2}) J_ {n} = 0,}$

e ρ = kr . A função radial J _n tem infinitas raízes para cada valor de n , denotado por ρ _{m , n} . A condição de contorno em que A desaparece onde r = a será satisfeita se os números de onda correspondentes forem dados por

${\ displaystyle k_ {m, n} = {\ frac {1} {a}} \ rho _ {m, n}.}$

A solução geral A então assume a forma de uma série generalizada de termos de Fourier envolvendo produtos de J _n ( k _{m, n} r ) e o seno (ou cosseno) de nθ . Essas soluções são os modos de vibração de uma pele de tambor circular .

Soluções tridimensionais

Em coordenadas esféricas, a solução é:

${\ displaystyle A (r, \ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} \ left (a _ {\ ell m} j _ {\ ell} (kr) + b _ {\ ell m} y _ {\ ell} (kr) \ right) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi).}$

Esta solução surge da solução espacial da equação de onda e da equação de difusão . Aqui j _ℓ ( R ) e Y _ℓ ( R ) são as funções de Bessel esféricas , e Y ^m
_ℓ( θ , φ ) são os harmônicos esféricos (Abramowitz e Stegun, 1964). Observe que essas formas são soluções gerais e exigem que as condições de contorno sejam especificadas para serem usadas em qualquer caso específico. Para infinitos domínios exteriores, uma condição de radiação também pode ser necessária (Sommerfeld, 1949).

Escrevendo r ₀ = ( x , y , z ) a função A ( r ₀ ) tem assintóticos

${\ displaystyle A (r_ {0}) = {\ frac {e ^ {ikr_ {0}}} {r_ {0}}} f \ left ({\ frac {\ mathbf {r} _ {0}} { r_ {0}}}, k, u_ {0} \ right) + o \ left ({\ frac {1} {r_ {0}}} \ right) {\ text {as}} r_ {0} \ to \ infty}$

onde a função f é chamada de amplitude de espalhamento e u ₀ ( r ₀ ) é o valor de A em cada ponto limite r ₀ .

Aproximação paraxial

Na aproximação paraxial da equação de Helmholtz, a amplitude complexa A é expressa como

${\ displaystyle A (\ mathbf {r}) = u (\ mathbf {r}) e ^ {ikz}}$

onde u representa a amplitude de valor complexo que modula a onda plana sinusoidal representada pelo fator exponencial. Então, sob uma suposição adequada, u resolve aproximadamente

${\ displaystyle \ nabla _ {\ perp} ^ {2} u + 2ik {\ frac {\ parcial u} {\ parcial z}} = 0,}$

onde fica a parte transversal do Laplaciano . ${\ textstyle \ nabla _ {\ perp} ^ {2} {\ overset {\ text {def}} {=}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}}}$

Esta equação tem aplicações importantes na ciência da óptica , onde fornece soluções que descrevem a propagação de ondas eletromagnéticas (luz) na forma de ondas parabolóides ou feixes gaussianos . A maioria dos lasers emite feixes que assumem esta forma.

A suposição sob a qual a aproximação paraxial é válida é que a derivada z da função de amplitude u é uma função de variação lenta de z :

${\ displaystyle \ left | {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} \ right | \ ll \ left | k {\ frac {\ partial u} {\ partial z} } \ right |.}$

Esta condição equivale a dizer que o ângulo θ entre o vetor de onda k e o eixo óptico z é pequeno: θ ≪ 1 .

A forma paraxial da equação de Helmholtz é encontrada substituindo a expressão acima indicada para a amplitude complexa na forma geral da equação de Helmholtz como segue:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} (u \ left (x, y, z \ right) e ^ {ikz}) + k ^ {2} u \ left (x, y, z \ right) e ^ {ikz } = 0.}$

A expansão e o cancelamento geram o seguinte:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ direita) u (x, y, z) e ^ {ikz} + \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} u (x, y, z) \ right ) e ^ {ikz} +2 \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z}} u (x, y, z) \ right) ik {e ^ {ikz}} = 0.}$

Por causa da desigualdade paraxial declarada acima, o termo ∂ ² u / ∂ z ² é desprezado em comparação com o termo k · ∂ u / ∂ z . Isso produz a equação de Helmholtz paraxial. Substituindo u ( r ) = A ( r ) e ^{- ikz,} então dá a equação paraxial para a amplitude complexa original A :

${\ displaystyle \ nabla _ {\ perp} ^ {2} A + 2ik {\ frac {\ parcial A} {\ parcial z}} = 0.}$

A integral de difração de Fresnel é uma solução exata para a equação de Helmholtz paraxial.

Equação de Helmholtz não homogênea

A equação de Helmholtz não homogênea é a equação

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} A (x) + k ^ {2} A (x) = - f (x) \ {\ text {in}} \ mathbb {R} ^ {n},}$

onde ƒ  : R ⁿ → C é uma função com suporte compacto , e n = 1, 2, 3. Esta equação é muito semelhante à equação de Poisson rastreados , e seriam idênticos se o sinal de mais (em frente do k termo) é alterado para um sinal de menos.

Para resolver esta equação de maneira única, é necessário especificar uma condição de contorno no infinito, que é normalmente a condição de radiação de Sommerfeld

${\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} r ^ {\ frac {n-1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial r}} - ik \ right) A ( r {\ hat {x}}) = 0}$

uniformemente em com , onde as barras verticais denotam a norma euclidiana . ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle | {\ hat {x}} | = 1}$

Com esta condição, a solução para a equação de Helmholtz não homogênea é a convolução

${\ displaystyle A (x) = (G * f) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \! G (xy) f (y) \, \ mathrm {d} y}$

(observe que essa integral está na verdade sobre uma região finita, já que f tem suporte compacto). Aqui, G é a função de Green desta equação, ou seja, a solução para a equação de Helmholtz não homogênea com ƒ igualando a função delta de Dirac , então G satisfaz

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} G (x) + k ^ {2} G (x) = - \ delta (x) \ in \ mathbb {R} ^ {n}. \,}$

A expressão para a função de Green depende da dimensão n do espaço. Um tem

${\ displaystyle G (x) = {\ frac {ie ^ {ik | x |}} {2k}}}$

para n = 1 ,

${\ displaystyle G (x) = {\ frac {i} {4}} H_ {0} ^ {(1)} (k | x |)}$

para n = 2 , onde H⁽¹⁾
₀é uma função de Hankel , e

${\ displaystyle G (x) = {\ frac {e ^ {ik | x |}} {4 \ pi | x |}}}$

para n = 3 . Observe que escolhemos a condição de contorno em que a função de Green é uma onda de saída para | x | → ∞ .

Veja também

• Equação de Laplace (um caso particular da equação de Helmholtz)
• Expansão Weyl

Notas

Referências

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene, eds. (1964). Manual de funções matemáticas com fórmulas, gráficos e tabelas matemáticas . Nova York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

• Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2002). "Capítulo 19". Métodos matemáticos para física e engenharia . Nova York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89067-0.

• Riley, KF (2002). "Capítulo 16". Métodos matemáticos para cientistas e engenheiros . Sausalito, Califórnia: University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5.

• Saleh, Bahaa EA; Teich, Malvin Carl (1991). "Capítulo 3". Fundamentos da Fotônica . Série Wiley em Óptica Pura e Aplicada. Nova York: John Wiley & Sons. pp. 80–107. ISBN 978-0-471-83965-1.

• Sommerfeld, Arnold (1949). "Capítulo 16". Equações diferenciais parciais em física . Nova York: Academic Press. ISBN 978-0126546569.

• Howe, MS (1998). Acústica das interações fluido-estrutura . Nova York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63320-8.

links externos

• Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Helmholtz equation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Vibrating Circular Membrane por Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project .
• Funções de Green para a onda, equações de Helmholtz e Poisson em um domínio bidimensional ilimitado