Potencial gravitacional - Gravitational potential
Na mecânica clássica , o potencial gravitacional em um local é igual ao trabalho ( energia transferida) por unidade de massa que seria necessária para mover um objeto para aquele local a partir de um local de referência fixo. É análogo ao potencial elétrico com a massa desempenhando o papel de carga . A localização de referência, onde o potencial é zero, é por convenção infinitamente distante de qualquer massa, resultando em um potencial negativo a qualquer distância finita .
Em matemática, o potencial gravitacional também é conhecido como potencial newtoniano e é fundamental no estudo da teoria do potencial . Ele também pode ser usado para resolver os campos eletrostáticos e magnetostáticos gerados por corpos elipsoidais uniformemente carregados ou polarizados.
Energia potencial
O potencial gravitacional ( V ) em um local é a energia potencial gravitacional ( U ) nesse local por unidade de massa:
onde m é a massa do objeto. A energia potencial é igual (em magnitude, mas negativa) ao trabalho realizado pelo campo gravitacional movendo um corpo para sua posição no espaço a partir do infinito. Se o corpo tem uma massa de 1 quilograma, então a energia potencial a ser atribuída a esse corpo é igual ao potencial gravitacional. Portanto, o potencial pode ser interpretado como o negativo do trabalho realizado pelo campo gravitacional movendo uma unidade de massa do infinito.
Em algumas situações, as equações podem ser simplificadas assumindo um campo que é quase independente da posição. Por exemplo, em uma região próxima à superfície da Terra, a aceleração gravitacional , g , pode ser considerada constante. Nesse caso, a diferença de energia potencial de uma altura para outra é, em uma boa aproximação, linearmente relacionada à diferença de altura:
Forma matemática
O potencial gravitacional V a uma distância x de um ponto de massa de massa M pode ser definido como o trabalho W que precisa ser feito por um agente externo para trazer uma unidade de massa do infinito até esse ponto:
onde G é a constante gravitacional e F é a força gravitacional. O produto GM é o parâmetro gravitacional padrão e é frequentemente conhecido por sua precisão maior do que G ou M separadamente. O potencial tem unidades de energia por massa, por exemplo, J / kg no sistema MKS . Por convenção, é sempre negativo onde é definido e, como x tende ao infinito, se aproxima de zero.
O campo gravitacional e, portanto, a aceleração de um pequeno corpo no espaço em torno do objeto massivo, é o gradiente negativo do potencial gravitacional. Assim, o negativo de um gradiente negativo produz aceleração positiva em direção a um objeto massivo. Como o potencial não tem componentes angulares, seu gradiente é
onde x é um vetor de comprimento x apontando da massa do ponto em direção ao corpo pequeno e é um vetor unitário apontando da massa do ponto em direção ao corpo pequeno. A magnitude da aceleração, portanto, segue uma lei do inverso do quadrado :
O potencial associado a uma distribuição de massa é a superposição dos potenciais de massas pontuais. Se a distribuição de massa é uma coleção finita de massas pontuais, e se as massas pontuais estão localizadas nos pontos x 1 , ..., x n e têm massas m 1 , ..., m n , então o potencial da distribuição no ponto x é
Se a distribuição de massa for dada como uma medida de massa dm no espaço euclidiano tridimensional R 3 , então o potencial é a convolução de −G / | r | com dm . Em bons casos, isso é igual ao integral
onde | x - r | é a distância entre os pontos x e r . Se houver uma função ρ ( r ) representando a densidade da distribuição em r , de modo que dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) , onde dv ( r ) é o elemento de volume euclidiano , então o potencial gravitacional é o volume integral
Se V é uma função potencial proveniente de uma distribuição de massa contínua ρ ( r ), então ρ pode ser recuperado usando o operador de Laplace , Δ:
Isso é válido pontualmente sempre que ρ é contínuo e é zero fora de um conjunto limitado. Em geral, a medida de massa dm pode ser recuperada da mesma forma se o operador de Laplace for tomado no sentido de distribuições . Como consequência, o potencial gravitacional satisfaz a equação de Poisson . Veja também a função de Green para a equação de Laplace de três variáveis e o potencial newtoniano .
A integral pode ser expressa em termos de funções transcendentais conhecidas para todas as formas elipsoidais, incluindo as simétricas e degeneradas. Isso inclui a esfera, onde os três semieixos são iguais; o oblato (ver elipsóide de referência ) e esferóides prolatos, onde dois semiaxos são iguais; os degenerados onde um semieixo é infinito (o cilindro elíptico e circular) e a folha ilimitada onde dois semieixos são infinitos. Todas essas formas são amplamente utilizadas nas aplicações da integral potencial gravitacional (além da constante G , com 𝜌 sendo uma densidade de carga constante) ao eletromagnetismo.
Simetria esférica
Uma distribuição de massa esfericamente simétrica se comporta para um observador completamente fora da distribuição como se toda a massa estivesse concentrada no centro e, portanto, efetivamente como uma massa pontual , pelo teorema da casca . Na superfície da Terra, a aceleração é dada pela chamada gravidade padrão g , aproximadamente 9,8 m / s 2 , embora esse valor varie ligeiramente com a latitude e a altitude. A magnitude da aceleração é um pouco maior nos pólos do que no equador porque a Terra é um esferóide achatado .
Dentro de uma distribuição de massa esférica simétrica, é possível resolver a equação de Poisson em coordenadas esféricas . Dentro de um corpo esférico uniforme de raio R , densidade ρ e massa m , a força gravitacional g dentro da esfera varia linearmente com a distância r do centro, dando o potencial gravitacional dentro da esfera, que é
que se conecta de forma diferenciada à função potencial para o exterior da esfera (veja a figura no topo).
Relatividade geral
Na relatividade geral , o potencial gravitacional é substituído pelo tensor métrico . Quando o campo gravitacional é fraco e as fontes se movem muito lentamente em comparação com a velocidade da luz, a relatividade geral se reduz à gravidade newtoniana e o tensor métrico pode ser expandido em termos do potencial gravitacional.
Expansão multipolar
O potencial em um ponto x é dado por
O potencial pode ser expandido em uma série de polinômios de Legendre . Represente os pontos x e r como vetores de posição em relação ao centro de massa. O denominador na integral é expresso como a raiz quadrada do quadrado para dar
onde, na última integral, r = | r | e θ é o ângulo entre x e r .
(Consulte "forma matemática".) O integrando pode ser expandido como uma série de Taylor em Z = r / | x |, por cálculo explícito dos coeficientes. Uma maneira menos trabalhosa de obter o mesmo resultado é usando o teorema binomial generalizado . A série resultante é a função geradora para os polinômios de Legendre:
válido para | X | ≤ 1 e | Z | <1. Os coeficientes P n são os polinômios de Legendre de grau n . Portanto, os coeficientes de Taylor do integrando são dados pelos polinômios de Legendre em X = cos θ. Portanto, o potencial pode ser expandido em uma série que é convergente para as posições x tais que r <| x | para todos os elementos de massa do sistema (ou seja, fora de uma esfera, centrada no centro de massa, que envolve o sistema):
O integral é o componente do centro de massa na direção x ; isso desaparece porque o vetor x emana do centro de massa. Então, trazer a integral sob o sinal da soma dá
Isso mostra que o alongamento do corpo causa um potencial menor na direção do alongamento e um potencial maior nas direções perpendiculares, em comparação ao potencial devido a uma massa esférica, se compararmos casos com a mesma distância do centro de massa. (Se compararmos casos com a mesma distância da superfície , o oposto é verdadeiro.)
Valores numéricos
O valor absoluto do potencial gravitacional em vários locais com relação à gravitação da Terra , do Sol e da Via Láctea é dado na tabela a seguir; ou seja, um objeto na superfície da Terra precisaria de 60 MJ / kg para "deixar" o campo gravitacional da Terra, outros 900 MJ / kg para também deixar o campo gravitacional do Sol e mais de 130 GJ / kg para deixar o campo gravitacional da Via Láctea. O potencial é a metade do quadrado da velocidade de escape .
Localização | Wrt Earth | Wrt Sun | Via Láctea Wrt |
---|---|---|---|
superfície da Terra | 60 MJ / kg | 900 MJ / kg | ≥ 130 GJ / kg |
LEO | 57 MJ / kg | 900 MJ / kg | ≥ 130 GJ / kg |
Voyager 1 (17.000 milhões de km da Terra) | 23 J / kg | 8 MJ / kg | ≥ 130 GJ / kg |
0,1 ano-luz da Terra | 0,4 J / kg | 140 kJ / kg | ≥ 130 GJ / kg |
Compare a gravidade nesses locais .
Veja também
- Aplicações de polinômios de Legendre em física
- Parâmetro gravitacional padrão ( GM )
- Geóide
- Geopotencial
Notas
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