Óptica geométrica - Geometrical optics

A ótica geométrica , ou ótica de raios , é um modelo de ótica que descreve a propagação da luz em termos de raios . O raio na óptica geométrica é uma abstração útil para aproximar os caminhos ao longo dos quais a luz se propaga em certas circunstâncias.

As suposições simplificadoras da ótica geométrica incluem que os raios de luz:

  • propagam-se em caminhos retos à medida que viajam em um meio homogêneo
  • dobrar e, em circunstâncias particulares, pode se dividir em duas, na interface entre duas mídias diferentes
  • seguir caminhos curvos em um meio no qual o índice de refração muda
  • pode ser absorvido ou refletido.

A óptica geométrica não leva em consideração certos efeitos ópticos, como difração e interferência . Essa simplificação é útil na prática; é uma excelente aproximação quando o comprimento de onda é pequeno em comparação com o tamanho das estruturas com as quais a luz interage. As técnicas são particularmente úteis na descrição de aspectos geométricos de imagem , incluindo aberrações ópticas .

Explicação

Conforme a luz viaja pelo espaço, ela oscila em amplitude . Nesta imagem, cada crista de amplitude máxima é marcada com um plano para ilustrar a frente de onda . O raio é a seta perpendicular a essas superfícies paralelas .

Um raio de luz é uma linha ou curva que é perpendicular ao da luz frentes de onda (e, por conseguinte, é colinear com o vector de onda ). Uma definição um pouco mais rigorosa de um raio de luz segue do princípio de Fermat , que afirma que o caminho percorrido entre dois pontos por um raio de luz é o caminho que pode ser percorrido em menos tempo.

A óptica geométrica é freqüentemente simplificada fazendo a aproximação paraxial , ou "aproximação de pequeno ângulo". O comportamento matemático torna-se então linear , permitindo que componentes e sistemas ópticos sejam descritos por matrizes simples. Isso leva às técnicas de óptica gaussiana e traçado de raio paraxial , que são usados ​​para encontrar propriedades básicas de sistemas ópticos, como imagens aproximadas e posições e ampliações de objetos .

Reflexão

Diagrama de reflexão especular

Superfícies brilhantes, como espelhos, refletem a luz de uma forma simples e previsível. Isso permite a produção de imagens refletidas que podem ser associadas a uma localização real ( real ) ou extrapolada ( virtual ) no espaço.

Com tais superfícies, a direção do raio refletido é determinada pelo ângulo que o raio incidente faz com a normal da superfície , uma linha perpendicular à superfície no ponto onde o raio atinge. Os raios incidentes e refletidos estão em um único plano, e o ângulo entre o raio refletido e a normal de superfície é o mesmo que entre o raio incidente e a normal. Isso é conhecido como Lei da Reflexão .

Para espelhos planos , a lei da reflexão implica que as imagens dos objetos estão na vertical e à mesma distância atrás do espelho que os objetos estão na frente do espelho. O tamanho da imagem é igual ao tamanho do objeto. (A ampliação de um espelho plano é igual a um.) A lei também implica que as imagens no espelho são invertidas por paridade , o que é percebido como uma inversão esquerda-direita.

Os espelhos com superfícies curvas podem ser modelados por traçado de raio e usando a lei da reflexão em cada ponto da superfície. Para espelhos com superfícies parabólicas , os raios paralelos incidentes no espelho produzem raios refletidos que convergem em um foco comum . Outras superfícies curvas também podem focar a luz, mas com aberrações devido à forma divergente que faz com que o foco seja borrado no espaço. Em particular, os espelhos esféricos exibem aberração esférica . Os espelhos curvos podem formar imagens com ampliação maior ou menor do que um, e a imagem pode ser vertical ou invertida. Uma imagem vertical formada pelo reflexo em um espelho é sempre virtual, enquanto uma imagem invertida é real e pode ser projetada em uma tela.

Refração

Ilustração da Lei de Snell

A refração ocorre quando a luz viaja através de uma área do espaço que tem um índice de refração variável. O caso mais simples de refração ocorre quando há uma interface entre um meio uniforme com índice de refração e outro meio com índice de refração . Em tais situações, a Lei de Snell descreve a deflexão resultante do raio de luz:

onde e são os ângulos entre as ondas normais (para a interface) e as ondas incidentes e refratadas, respectivamente. Este fenômeno também está associado a uma mudança na velocidade da luz, conforme visto a partir da definição do índice de refração fornecida acima, o que implica:

onde e são as velocidades das ondas através dos respectivos meios.

Várias consequências da Lei de Snell incluem o fato de que para raios de luz viajando de um material com alto índice de refração para um material com baixo índice de refração, é possível que a interação com a interface resulte em transmissão zero. Esse fenômeno é chamado de reflexão interna total e permite a tecnologia de fibra óptica . Conforme os sinais de luz viajam por um cabo de fibra ótica, eles passam por reflexão interna total, permitindo praticamente nenhuma perda de luz ao longo do cabo. Também é possível produzir raios de luz polarizada usando uma combinação de reflexão e refração: Quando um raio refratado e o raio refletido formam um ângulo reto , o raio refletido tem a propriedade de "polarização plana". O ângulo de incidência necessário para tal cenário é conhecido como ângulo de Brewster .

A Lei de Snell pode ser usada para prever a deflexão dos raios de luz à medida que eles passam pelo "meio linear", desde que os índices de refração e a geometria do meio sejam conhecidos. Por exemplo, a propagação da luz através de um prisma resulta no raio de luz sendo desviado dependendo da forma e orientação do prisma. Além disso, uma vez que diferentes frequências de luz têm índices ligeiramente diferentes de refração na maioria dos materiais, a refração pode ser usada para produzir espectros de dispersão que aparecem como arco-íris. A descoberta desse fenômeno ao passar a luz por um prisma é atribuída a Isaac Newton .

Alguns meios têm um índice de refração que varia gradualmente com a posição e, portanto, os raios de luz se curvam através do meio em vez de viajarem em linhas retas. Esse efeito é o responsável pelas miragens vistas em dias quentes, onde a mudança do índice de refração do ar faz com que os raios de luz se curvem criando o aparecimento de reflexos especulares à distância (como se estivessem na superfície de uma poça d'água). O material que tem um índice de refração variável é chamado de material de índice gradiente (GRIN) e tem muitas propriedades úteis usadas em tecnologias modernas de digitalização óptica, incluindo fotocopiadoras e scanners . O fenômeno é estudado no campo da óptica de índice gradiente .

Um diagrama de rastreamento de raio para uma lente convergente simples.

Um dispositivo que produz raios de luz convergentes ou divergentes devido à refração é conhecido como lente . Lentes finas produzem pontos focais em ambos os lados que podem ser modelados usando a equação do fabricante de lentes . Em geral, existem dois tipos de lentes: lentes convexas , que fazem convergir os raios de luz paralelos, e lentes côncavas , que fazem com que os raios de luz paralelos divergam. A previsão detalhada de como as imagens são produzidas por essas lentes pode ser feita usando traçado de raios semelhante a espelhos curvos. Da mesma forma que os espelhos curvos, as lentes finas seguem uma equação simples que determina a localização das imagens dada uma determinada distância focal ( ) e distância do objeto ( ):

onde é a distância associada à imagem e é considerada por convenção como negativa se estiver no mesmo lado da lente que o objeto e positiva se estiver no lado oposto da lente. A distância focal f é considerada negativa para lentes côncavas.

Os raios paralelos que chegam são focalizados por uma lente convexa em uma imagem real invertida a uma distância focal da lente, no lado oposto da lente.

Os raios paralelos que chegam são focados por uma lente convexa em uma imagem real invertida a uma distância focal da lente, no lado oposto da lente

Os raios de um objeto a uma distância finita são focados mais longe da lente do que a distância focal; quanto mais próximo o objeto está da lente, mais distante a imagem está da lente. Com lentes côncavas, os raios paralelos que chegam divergem depois de passarem pela lente, de tal forma que parecem ter se originado em uma imagem virtual vertical a uma distância focal da lente, no mesmo lado da lente que os raios paralelos estão se aproximando .

Com lentes côncavas, os raios paralelos que chegam divergem depois de passarem pela lente, de tal forma que parecem ter se originado em uma imagem virtual vertical a uma distância focal da lente, no mesmo lado da lente que os raios paralelos estão se aproximando .

Raios de um objeto a distância finita estão associados a uma imagem virtual que está mais perto da lente do que a distância focal e no mesmo lado da lente que o objeto. Quanto mais próximo o objeto estiver da lente, mais próxima a imagem virtual estará da lente.

Raios de um objeto a distância finita são associados a uma imagem virtual que está mais perto da lente do que a distância focal e no mesmo lado da lente que o objeto.

Da mesma forma, a ampliação de uma lente é dada por

onde o sinal negativo é dado, por convenção, para indicar um objeto vertical para valores positivos e um objeto invertido para valores negativos. Semelhante aos espelhos, as imagens verticais produzidas por lentes únicas são virtuais, enquanto as imagens invertidas são reais.

As lentes sofrem aberrações que distorcem as imagens e os pontos focais. Isso se deve tanto a imperfeições geométricas quanto à variação do índice de refração para diferentes comprimentos de onda de luz ( aberração cromática ).

Matemática subjacente

Como um estudo matemático, a óptica geométrica surge como um limite de comprimento de onda curto para soluções de equações diferenciais parciais hiperbólicas (método de Sommerfeld-Runge) ou como uma propriedade de propagação de descontinuidades de campo de acordo com as equações de Maxwell (método de Luneburg). Neste limite de comprimento de onda curto, é possível aproximar a solução localmente por

onde satisfazem uma relação de dispersão , e a amplitude varia lentamente. Mais precisamente, a solução de pedido líder assume a forma

A fase pode ser linearizada para recuperar um grande número de onda e frequência . A amplitude satisfaz uma equação de transporte . O pequeno parâmetro entra em cena devido às condições iniciais altamente oscilatórias. Assim, quando as condições iniciais oscilam muito mais rápido do que os coeficientes da equação diferencial, as soluções serão altamente oscilatórias e transportadas ao longo dos raios. Supondo que os coeficientes na equação diferencial sejam suaves, os raios também serão. Em outras palavras, a refração não ocorre. A motivação para esta técnica vem do estudo do cenário típico de propagação da luz, onde a luz de comprimento de onda curto viaja ao longo de raios que minimizam (mais ou menos) o seu tempo de viagem. Sua aplicação completa requer ferramentas de análise microlocal .

Método Sommerfeld-Runge

O método de obtenção de equações de óptica geométrica tomando o limite do comprimento de onda zero foi descrito pela primeira vez por Arnold Sommerfeld e J. Runge em 1911. Sua derivação foi baseada em uma observação oral de Peter Debye . Considere um campo escalar monocromático , onde poderia ser qualquer um dos componentes do campo elétrico ou magnético e, portanto, a função satisfaz a equação de onda

onde com sendo a velocidade da luz no vácuo. Aqui está o índice de refração do meio. Sem perda de generalidade, vamos introduzir para converter a equação para

Uma vez que o princípio subjacente da óptica geométrica encontra-se no limite , a seguinte série assintótica é assumida,

Para valores grandes, mas finitos de , a série diverge, e é preciso ter cuidado em manter apenas os primeiros termos apropriados. Para cada valor de , pode-se encontrar um número ótimo de termos a serem mantidos e adicionar mais termos do que o número ótimo pode resultar em uma aproximação mais pobre. Substituindo a série na equação e coletando termos de diferentes ordens, encontra-se

em geral,

A primeira equação é conhecida como equação eikonal , que determina que o eikonal é uma equação de Hamilton-Jacobi , escrita por exemplo em coordenadas cartesianas torna-se

As demais equações determinam as funções .

Método de Luneburg

O método de obtenção de equações de óptica geométrica por meio da análise de superfícies de descontinuidades de soluções para as equações de Maxwell foi descrito pela primeira vez por Rudolf Karl Luneburg em 1944. Ele não restringe o campo eletromagnético a ter uma forma especial (no método de Sommerfeld-Runge não é claro que um campo cuja amplitude depende ainda produziria a equação eikonal, ou seja, uma frente de onda de óptica geométrica). A principal conclusão desta abordagem é a seguinte:

Teorema. Suponha que os campos e (em um meio isotrópico linear descrito por constantes dielétricas e ) tenham descontinuidades finitas ao longo de uma superfície (móvel) descrita pela equação . Então, as equações de Maxwell na forma integral implicam que satisfaz a equação eikonal:

,

onde é o índice de refração do meio (unidades gaussianas).

Um exemplo dessa superfície de descontinuidade é a frente de onda inicial que emana de uma fonte que começa a irradiar em um determinado instante.

As superfícies de descontinuidade de campo tornam-se, assim, frentes de onda da óptica geométrica com os campos ópticos geométricos correspondentes definidos como:

Esses campos obedecem a equações de transporte consistentes com as equações de transporte da abordagem de Sommerfeld-Runge. Os raios de luz na teoria de Lüneburg são definidos como trajetórias ortogonais às superfícies de descontinuidade e, com a parametrização correta, eles obedecem ao princípio de menor tempo de Fermat, estabelecendo assim a identidade desses raios com os raios de luz da óptica padrão.

Os desenvolvimentos acima podem ser generalizados para meios anisotrópicos.

A prova do teorema de Luneburg é baseada na investigação de como as equações de Maxwell governam a propagação de descontinuidades de soluções. O lema técnico básico é o seguinte:

Um lema técnico. Let ser um hipersuperfıcie (um colector de 3-dimensional) no espaço-tempo em que um ou mais de: , , , , tem uma descontinuidade finito. Então, em cada ponto da hipersuperfície, as seguintes fórmulas são válidas:

onde o operador atua no espaço-(para cada fixo ) e os colchetes denotam a diferença de valores em ambos os lados da superfície de descontinuidade (configurada de acordo com uma convenção arbitrária, mas fixa, por exemplo, o gradiente apontando na direção das quantidades sendo subtraído de ).

Esboço da prova. Comece com as equações de Maxwell longe das fontes (unidades gaussianas):

Usando o teorema de Stokes no se pode concluir a partir da primeira das equações acima que para qualquer domínio na com um piecewise suavizar limite o seguinte é verdadeiro:

onde representa a projecção da unidade exterior normal, de para a fatia 3D , e é o 3-forma de volume em . Da mesma forma, estabelece-se o seguinte a partir das equações de Maxwell restantes:

Agora, considerando pequenas sub-superfícies arbitrárias de e criação de pequenas áreas vizinhas na , e subtraindo os integrais acima conseguinte, obtém-se:

onde denota o gradiente no espaço 4D . E como é arbitrário, os integrantes devem ser iguais a 0, o que prova o lema.

Agora é fácil mostrar que, à medida que se propagam por meio de um meio contínuo, as superfícies de descontinuidade obedecem à equação eikonal. Especificamente, se e são contínuos, então as descontinuidades de e satisfazem: e . Neste caso, as duas primeiras equações do lema podem ser escritas como:

Tomando o produto vetorial da primeira equação e substituindo-o pela segunda, obtém-se:

Na segunda das equações de Maxwell, , portanto, para pontos situados na superfície única :

(Observe que a presença da descontinuidade é essencial nesta etapa, pois do contrário estaríamos dividindo por zero.)

Por causa das considerações físicas, pode-se assumir sem perda de generalidade que tem a seguinte forma :, ou seja, uma superfície 2D movendo-se através do espaço, modelada como superfícies niveladas de . ( Existe matematicamente se pelo teorema da função implícita .) A equação acima escrita em termos de torna-se:

ou seja,

qual é a equação eikonal e que detém para todos , , , uma vez que a variável está ausente. Outras leis da óptica, como a lei de Snell e as fórmulas de Fresnel, podem ser obtidas da mesma forma considerando descontinuidades em e .

Equação geral usando notação de quatro vetores

Na notação de quatro vetores usada na relatividade especial , a equação de onda pode ser escrita como

e a substituição leva a

Portanto, a equação eikonal é dada por

Uma vez que o eikonal é encontrado resolvendo a equação acima, o vetor de quatro ondas pode ser encontrado a partir de

Veja também

Referências

Leitura adicional

Traduções para o inglês de alguns dos primeiros livros e artigos

links externos