Teoria da função geométrica - Geometric function theory

A teoria da função geométrica é o estudo das propriedades geométricas das funções analíticas . Um resultado fundamental na teoria é o teorema do mapeamento de Riemann .

Tópicos em teoria da função geométrica

A seguir estão alguns dos tópicos mais importantes na teoria da função geométrica:

Mapas conformes

Uma grade retangular (parte superior) e sua imagem sob um mapa conformal f (parte inferior). É visto que f mapeia pares de linhas que se cruzam a 90 ° com pares de curvas que ainda se cruzam a 90 °.

Um mapa conforme é uma função que preserva os ângulos localmente. No caso mais comum, a função tem um domínio e uma faixa no plano complexo .

Mais formalmente, um mapa,

${\ displaystyle f: U \ rightarrow V \ qquad}$ com ${\ displaystyle U, V \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}$

é chamado conforme (ou preservação do ângulo ) em um ponto se preserva os ângulos orientados entre as curvas em relação à sua orientação (ou seja, não apenas a magnitude do ângulo). Os mapas conformes preservam os ângulos e as formas de figuras infinitesimalmente pequenas, mas não necessariamente seu tamanho ou curvatura . ${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle u_ {0}}$

Mapas quasiconformais

Na análise matemática complexa , um mapeamento quase - formal , introduzido por Grötzsch (1928) e denominado por Ahlfors (1935) , é um homeomorfismo entre domínios planos que, em primeira ordem, leva pequenos círculos a pequenas elipses de excentricidade limitada . erro harvtxt: sem alvo: CITEREFGrötzsch1928 ( ajuda ) erro harvtxt: sem alvo: CITEREFAhlfors1935 ( ajuda )

Intuitivamente, seja f  : D  →  D ′ um homeomorfismo que preserva a orientação entre conjuntos abertos no plano. Se f é continuamente diferenciável , então é K -quasiconformal se o derivado de f em cada ponto mapeia círculos para elipses com excentricidade delimitada por K .

Se K for 0, a função é conforme .

Continuação analítica

Continuação analítica do logaritmo natural (parte imaginária)

A continuação analítica é uma técnica para estender o domínio de uma determinada função analítica . A continuação analítica freqüentemente consegue definir outros valores de uma função, por exemplo, em uma nova região onde uma representação de série infinita em termos da qual é inicialmente definida torna-se divergente.

A técnica de continuação gradual pode, no entanto, encontrar dificuldades. Estes podem ser de natureza essencialmente topológica, levando a inconsistências (definindo mais de um valor). Eles podem, alternativamente, estar relacionados à presença de singularidades matemáticas . O caso de várias variáveis ​​complexas é bastante diferente, uma vez que as singularidades não podem ser pontos isolados, e sua investigação foi uma das principais razões para o desenvolvimento da cohomologia de feixes .

Propriedades geométricas de polinômios e funções algébricas

Os tópicos nesta área incluem superfícies de Riemann para funções algébricas e zeros para funções algébricas.

Superfície de Riemann

Uma superfície de Riemann , primeiro estudada e nomeada em homenagem a Bernhard Riemann , é uma variedade complexa unidimensional . As superfícies de Riemann podem ser vistas como versões deformadas do plano complexo : localmente, perto de cada ponto, elas se parecem com manchas do plano complexo, mas a topologia global pode ser bem diferente. Por exemplo, eles podem se parecer com uma esfera ou um toro ou várias folhas coladas.

O ponto principal das superfícies de Riemann é que funções holomórficas podem ser definidas entre elas. As superfícies de Riemann são hoje consideradas o cenário natural para estudar o comportamento global dessas funções, especialmente funções multivaloradas , como a raiz quadrada e outras funções algébricas , ou o logaritmo .

Problemas extremos

Os tópicos nesta área incluem "Princípio máximo; lema de Schwarz, princípio de Lindelöf, análogos e generalizações".

Funções univalentes e multivalentes

Uma função holomórfica em um subconjunto aberto do plano complexo é chamada de univalente se for injetiva .

Pode-se provar que se e são dois conjuntos conectados abertos no plano complexo, e ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle f: G \ to \ Omega}$

é uma função univalente tal que (isto é, é sobrejetiva ), então a derivada de nunca é zero, é invertível e seu inverso também é holomórfico. Mais, tem-se pela regra da cadeia${\ displaystyle f (G) = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

Os termos alternativos de uso comum são schlicht (em alemão, claro, simples) e simples . É um fato notável, fundamental para a teoria das funções univalentes, que a univalência é essencialmente preservada sob convergência uniforme.

Teoremas importantes

Teorema de mapeamento de Riemann

Seja um ponto em uma região simplesmente conectada e com pelo menos dois pontos de fronteira. Então existe uma função analítica única mapeando bijetivamente no disco da unidade aberta de modo que e . ${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle D_ {1} (D_ {1} \ neq \ mathbb {C})}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle w = f (z)}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle | w | <1}$${\ displaystyle f (z_ {0}) = 0}$${\ displaystyle f '(z_ {0})> 0}$

Embora o teorema de mapeamento de Riemann demonstre a existência de uma função de mapeamento, na verdade ele não exibe essa função. Um exemplo é dado abaixo.

Na figura acima, considere e como duas regiões simplesmente conectadas diferentes de . O teorema de mapeamento de Riemann fornece a existência de mapeamento no disco de unidade e a existência de mapeamento no disco de unidade. Portanto, é um mapeamento um-para-um de em . Se pudermos mostrar que , e consequentemente a composição, é analítica, teremos então um mapeamento conforme de on , provando que "quaisquer duas regiões simplesmente conectadas diferentes de todo o plano podem ser mapeadas conformalmente uma na outra". ${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle w = f (z)}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle w = g (z)}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle g ^ {- 1} f}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle g ^ {- 1}}$${\ displaystyle D_ {1}}$${\ displaystyle D_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Lema de Schwarz

O lema de Schwarz , em homenagem a Hermann Amandus Schwarz , é o resultado de uma análise complexa sobre funções holomórficas do disco unitário aberto para ele mesmo. O lema é menos famoso do que teoremas mais fortes, como o teorema do mapeamento de Riemann , que ajuda a provar. No entanto, é um dos resultados mais simples de capturar a rigidez das funções holomórficas.

Demonstração

Schwarz Lemma. Seja D = { z  : | z | <1} seja o disco unitário aberto no plano complexo C centrado na origem e seja f  : D → D um mapa holomórfico tal que f (0) = 0.

Então, | f ( z ) | ≤ | z | para todo z em D e | f ′ (0) | ≤ 1.

Além disso, se | f ( z ) | = | z | para algum z diferente de zero ou | f ′ (0) | = 1, então f ( z ) = az para algum a em C com | a | = 1.

Princípio máximo

O princípio do máximo é uma propriedade das soluções para certas equações diferenciais parciais , do tipo elíptico e parabólico . Grosso modo, ele diz que o máximo de uma função em um domínio deve ser encontrado na fronteira desse domínio. Especificamente, o princípio do máximo forte diz que se uma função atinge seu máximo no interior do domínio, a função é uniformemente uma constante. O princípio do máximo fraco diz que o máximo da função deve ser encontrado na fronteira, mas pode ocorrer novamente no interior. Existem outros princípios de máximo ainda mais fracos que apenas limitam uma função em termos de seu máximo na fronteira.

Fórmula de Riemann-Hurwitz

a fórmula de Riemann-Hurwitz , nomeada em homenagem a Bernhard Riemann e Adolf Hurwitz , descreve a relação das características de Euler de duas superfícies quando uma é uma cobertura ramificada da outra. Portanto, ele conecta ramificação com topologia algébrica , neste caso. É um resultado de protótipo para muitos outros e é frequentemente aplicado na teoria das superfícies de Riemann (que é sua origem) e curvas algébricas .

Demonstração

Para uma superfície orientável S, a característica de Euler χ ( S ) é

${\ displaystyle 2-2g \,}$

onde g é o gênero (o número de alças ), já que os números de Betti são 1, 2 g , 1, 0, 0, .... No caso de um mapa de superfícies de cobertura (não ramificado )

${\ displaystyle \ pi: S '\ para S \,}$

que é sobrejetora e de grau N , devemos ter a fórmula

${\ displaystyle \ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S). \,}$

Isso ocorre porque cada simplex de S deve ser coberto por exatamente N em S ′ - pelo menos se usarmos uma triangulação suficientemente fina de S , como temos o direito de fazer, uma vez que a característica de Euler é um invariante topológico . O que a fórmula de Riemann-Hurwitz faz é adicionar uma correção para permitir a ramificação ( folhas se juntando ).

Agora suponha que S e S ′ são superfícies de Riemann , e que o mapa π é analítico complexo . O mapa π é dito ser ramificado em um ponto P em S ′ se existem coordenadas analíticas perto de P e π ( P ) tais que π assume a forma π ( z ) = z ⁿ , en  > 1. Uma forma equivalente de pensamento sobre isto é que existe um pequeno vizinhança L de P tal que π ( P ) tem exactamente um preimage em L , mas a imagem de qualquer outro ponto em L tem exactamente n preimages em L . O número n é chamado o índice de ramificação em P e também denotado por e _P . Ao calcular a característica de Euler de S ′ notamos a perda de e _P  - 1 cópias de P acima de π ( P ) (isto é, na imagem inversa de π ( P )). Agora vamos escolher triangulações de S e S ′ com vértices nos pontos de ramificação e ramificação, respectivamente, e usá-los para calcular as características de Euler. Então S ′ terá o mesmo número de faces d- dimensionais para d diferente de zero, mas menos vértices do que o esperado. Portanto, encontramos uma fórmula "corrigida"

${\ displaystyle \ chi (S ') = N \ cdot \ chi (S) - \ sum _ {P \ in S'} (e_ {P} -1)}$

(todos, exceto um número finito de P, têm e _P = 1, então isso é bastante seguro). Esta fórmula é conhecida como fórmula de Riemann-Hurwitz e também como teorema de Hurwitz .

Referências

• Hurwitz-Courant, Vorlesunger über allgemeine Funcktionen Theorie , 1922 (4ª ed., Apêndice de H. Röhrl, vol. 3, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Springer, 1964.)
• Krantz, Steven (2006). Teoria da Função Geométrica: Explorações em Análise Complexa . Springer. ISBN   0-8176-4339-7 .
• Bulboacă, T .; Cho, NE; Kanas, SAR (2012). "Novas Tendências na Teoria da Função Geométrica 2011" (PDF) . Revista Internacional de Matemática e Ciências Matemáticas . 2012 : 1. doi : 10.1155 / 2012/976374 .
• Ahlfors, Lars (2010). Invariantes conformes: Tópicos em Teoria da Função Geométrica . Publicação AMS Chelsea. ISBN   978-0821852705 .