Lei de Gauss para o magnetismo - Gauss's law for magnetism

Na física , a lei de Gauss para o magnetismo é uma das quatro equações de Maxwell que fundamentam a eletrodinâmica clássica . Afirma que o campo magnético B tem divergência igual a zero, ou seja, é um campo vetorial solenoidal . É equivalente à afirmação de que os monopólos magnéticos não existem. Em vez de "cargas magnéticas", a entidade básica para o magnetismo é o dipolo magnético . (Se monopolos fossem encontrados, a lei teria que ser modificada, conforme elaborado abaixo.)

A lei de Gauss para o magnetismo pode ser escrita em duas formas, uma forma diferencial e uma forma integral . Essas formas são equivalentes devido ao teorema da divergência .

O nome "lei de Gauss para o magnetismo" não é usado universalmente. A lei também é chamada de "Ausência de pólos magnéticos livres "; uma referência ainda diz explicitamente que a lei "não tem nome". É também conhecido como "requisito de transversalidade" porque para ondas planas requer que a polarização seja transversal à direção de propagação.

Forma diferencial

A forma diferencial da lei de Gauss para o magnetismo é:

onde ∇ · denota divergência e B é o campo magnético .

Forma integral

Definição de superfície fechada.
Esquerda: Alguns exemplos de superfícies fechadas incluem a superfície de uma esfera, a superfície de um toro e a superfície de um cubo. O fluxo magnético em qualquer uma dessas superfícies é zero.
Direita: Alguns exemplos de superfícies não fechadas incluem a superfície do disco , superfície quadrada ou superfície do hemisfério. Todos eles têm limites (linhas vermelhas) e não envolvem totalmente um volume 3D. O fluxo magnético por essas superfícies não é necessariamente zero .

A forma integral da lei de Gauss para estados de magnetismo:

\ oiint

onde S é qualquer superfície fechada (veja a imagem à direita) e d S é um vetor , cuja magnitude é a área de uma parte infinitesimal da superfície S , e cuja direção é a normal da superfície apontando para fora (ver integral de superfície para mais detalhes )

O lado esquerdo desta equação é chamado de fluxo líquido do campo magnético para fora da superfície, e a lei de Gauss para o magnetismo afirma que ele é sempre zero.

As formas integral e diferencial da lei de Gauss para o magnetismo são matematicamente equivalentes, devido ao teorema da divergência . Dito isso, um ou outro pode ser mais conveniente para usar em um cálculo específico.

A lei nesta forma afirma que para cada elemento de volume no espaço, há exatamente o mesmo número de "linhas de campo magnético" entrando e saindo do volume. Nenhuma "carga magnética" total pode se acumular em qualquer ponto do espaço. Por exemplo, o pólo sul do ímã é exatamente tão forte quanto o pólo norte, e pólos sul flutuantes sem os pólos norte acompanhantes (monopólos magnéticos) não são permitidos. Em contraste, isso não é verdade para outros campos, como campos elétricos ou campos gravitacionais , onde a carga elétrica total ou massa pode se acumular em um volume do espaço.

Potencial vetorial

Devido ao teorema da decomposição de Helmholtz , a lei de Gauss para o magnetismo é equivalente à seguinte afirmação:

Existe um campo vetorial A tal que
.

O campo vetorial A é chamado de potencial vetorial magnético .

Observe que há mais de um A possível que satisfaça esta equação para um determinado campo B. Na verdade, existem infinitamente muitos: qualquer campo da forma ϕ pode ser adicionado a A para obter uma escolha alternativa para A , pela identidade (consulte Identidades de cálculo vetorial ):

uma vez que a curvatura de um gradiente é o campo vetorial zero :

Essa arbitrariedade em A é chamada de liberdade de medida .

Linhas de campo

O campo magnético B pode ser representado por meio de linhas de campo (também chamados de linhas de fluxo ) - isto é, um conjunto de curvas cuja corresponde à direcção de B e, cuja densidade de área é proporcional à magnitude da B . A lei de Gauss para o magnetismo é equivalente à afirmação de que as linhas de campo não têm começo nem fim: cada uma forma um loop fechado, gira para sempre sem nunca se unir totalmente a si mesma exatamente ou se estende até o infinito.

Modificação se existirem monopólos magnéticos

Se monopólos magnéticos fossem descobertos, então a lei de Gauss para o magnetismo declararia que a divergência de B seria proporcional à densidade de carga magnética ρ m , análoga à lei de Gauss para o campo elétrico. Para densidade de carga magnética líquida zero ( ρ m = 0 ), a forma original da lei do magnetismo de Gauss é o resultado.

A fórmula modificada em unidades SI não é padrão; numa variação, carga magnética tem unidades de webers , em outro que tem unidades de amperes - metros .

Unidades Equação
unidades cgs
Unidades SI ( convenção weber )
Unidades do SI ( ampere - metro convenção)

onde μ 0 é a permeabilidade ao vácuo .

Até agora, exemplos de monopólos magnéticos são contestados em extensas pesquisas, embora alguns artigos relatem exemplos que combinam com esse comportamento.

História

Essa ideia da inexistência dos monopólos magnéticos originou-se em 1269 por Petrus Peregrinus de Maricourt . Seu trabalho influenciou fortemente William Gilbert , cuja obra De Magnete , de 1600, espalhou ainda mais a ideia. No início dos anos 1800, Michael Faraday reintroduziu essa lei e, subsequentemente, ela entrou nas equações de campo eletromagnético de James Clerk Maxwell .

Computação numérica

Em computação numérica, a solução numérica pode não satisfazer a lei de Gauss para o magnetismo devido aos erros de discretização dos métodos numéricos. No entanto, em muitos casos, por exemplo, para magnetohidrodinâmica , é importante preservar a lei de Gauss para o magnetismo com precisão (até a precisão da máquina). A violação da lei de Gauss para o magnetismo no nível discreto introduzirá uma forte força não física. Em vista da conservação de energia, a violação desta condição leva a uma integral de energia não conservadora, e o erro é proporcional à divergência do campo magnético.

Existem várias maneiras de preservar a lei de Gauss para o magnetismo em métodos numéricos, incluindo as técnicas de limpeza de divergência, o método de transporte restrito, formulações baseadas em potencial e métodos de elementos finitos baseados no complexo de de Rham onde algoritmos de preservação de estrutura e estáveis ​​são construídos em malhas não estruturadas com formas diferenciais de elementos finitos.

Veja também

Referências

links externos