Lei de Gauss - Gauss's law

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v t e

A lei de Gauss em sua forma integral é mais útil quando, por razões de simetria, uma superfície fechada (GS) pode ser encontrada ao longo da qual o campo elétrico é uniforme. O fluxo elétrico é então um produto simples da área de superfície e da força do campo elétrico, e é proporcional à carga total envolvida pela superfície. Aqui, o campo elétrico fora (r> R) e dentro (r <R) de uma esfera carregada está sendo calculado (ver Wikiversidade ).

Na física e no eletromagnetismo , a lei de Gauss , também conhecida como teorema do fluxo de Gauss (ou às vezes simplesmente chamada de teorema de Gauss), é uma lei que relaciona a distribuição de carga elétrica ao campo elétrico resultante . Em sua forma integral, ele afirma que o fluxo do campo elétrico de uma superfície fechada arbitrária é proporcional à carga elétrica envolvida pela superfície, independentemente de como essa carga é distribuída. Mesmo que a lei por si só seja insuficiente para determinar o campo elétrico em uma superfície envolvendo qualquer distribuição de carga, isso pode ser possível em casos onde a simetria exige uniformidade do campo. Onde não existe tal simetria, a lei de Gauss pode ser usada em sua forma diferencial, que afirma que a divergência do campo elétrico é proporcional à densidade local de carga.

A lei foi formulada pela primeira vez por Joseph-Louis Lagrange em 1773, seguido por Carl Friedrich Gauss em 1835, ambos no contexto da atração de elipsóides. É uma das quatro equações de Maxwell , que forma a base da eletrodinâmica clássica . A lei de Gauss pode ser usada para derivar a lei de Coulomb e vice-versa.

Descrição qualitativa

Em palavras, a lei de Gauss afirma que

O fluxo elétrico líquido através de qualquer superfície fechada hipotética é igual a vezes a carga elétrica líquida dentro dessa superfície fechada . ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}}}$

A lei de Gauss tem uma semelhança matemática próxima com várias leis em outras áreas da física, como a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de Gauss para a gravidade . Na verdade, qualquer lei do inverso do quadrado pode ser formulada de forma semelhante à lei de Gauss: por exemplo, a própria lei de Gauss é essencialmente equivalente à lei de Coulomb do inverso do quadrado e a lei de Gauss para a gravidade é essencialmente equivalente ao inverso do quadrado da lei de Newton lei da gravidade .

A lei pode ser expressa matematicamente usando cálculo vetorial na forma integral e na forma diferencial ; ambos são equivalentes, pois estão relacionados pelo teorema da divergência , também chamado de teorema de Gauss. Cada uma dessas formas, por sua vez, também pode ser expressa de duas maneiras: Em termos de uma relação entre o campo elétrico E e a carga elétrica total, ou em termos do campo elétrico de deslocamento D e a carga elétrica livre .

Equação envolvendo o campo E

A lei de Gauss pode ser indicado usando o campo elétrico E ou o deslocamento elétrico D . Esta seção mostra alguns dos formulários com E ; a forma com D é abaixo, como são outras formas com E .

Forma integral

O fluxo elétrico através de uma superfície arbitrária é proporcional à carga total envolvida pela superfície.

Nenhuma carga é envolvida pela esfera. O fluxo elétrico em sua superfície é zero.

A lei de Gauss pode ser expressa como:

${\ displaystyle \ Phi _ {E} = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}}}$

onde Φ _E é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada S envolvendo qualquer volume V , Q é a carga total encerrada em V e ε ₀ é a constante elétrica . O fluxo elétrico Φ _E é definido como uma integral de superfície do campo elétrico :

${\ displaystyle \ Phi _ {E} =}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle _ {S}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}$

onde E é o campo elétrico, d A é um vetor que representa um elemento infinitesimal de área da superfície e · representa o produto escalar de dois vetores.

Em um espaço-tempo curvo, o fluxo de um campo eletromagnético através de uma superfície fechada é expresso como

${\ displaystyle \ Phi _ {E} = c}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle _ {S}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ kappa 0} {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} S _ {\ kappa}}$

onde está a velocidade da luz ; denota os componentes de tempo do tensor eletromagnético ; é o determinante do tensor métrico ; é um elemento ortonormal da superfície bidimensional que envolve a carga ; índices e não coincidem. ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle F ^ {\ kappa 0}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ kappa} = \ mathrm {d} S ^ {ij} = \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle i, j, \ kappa = 1,2,3}$

Como o fluxo é definido como uma integral do campo elétrico, essa expressão da lei de Gauss é chamada de forma integral .

Uma minúscula caixa de Gauss cujos lados são perpendiculares à superfície de um condutor é usada para encontrar a carga superficial local, uma vez que o potencial elétrico e o campo elétrico são calculados resolvendo a equação de Laplace. O campo elétrico é perpendicular, localmente, à superfície equipotencial do condutor, e zero em seu interior; seu fluxo πa ² ⋅ E , pela lei de Gauss é igual a πa ² ⋅σ / ε ₀ . Assim, σ = ε ₀ E .

Em problemas envolvendo condutores colocados em potenciais conhecidos, o potencial distante deles é obtido resolvendo a equação de Laplace , seja analiticamente ou numericamente. O campo elétrico é então calculado como o gradiente negativo do potencial. A lei de Gauss torna possível encontrar a distribuição da carga elétrica: A carga em qualquer região do condutor pode ser deduzida integrando o campo elétrico para encontrar o fluxo através de uma pequena caixa cujos lados são perpendiculares à superfície do condutor e observando que o campo elétrico é perpendicular à superfície e zero dentro do condutor.

O problema inverso, quando a distribuição da carga elétrica é conhecida e o campo elétrico deve ser calculado, é muito mais difícil. O fluxo total através de uma determinada superfície fornece pouca informação sobre o campo elétrico e pode entrar e sair da superfície em padrões arbitrariamente complicados.

Uma exceção é se houver alguma simetria no problema, o que exige que o campo elétrico atravesse a superfície de maneira uniforme. Então, se o fluxo total for conhecido, o próprio campo pode ser deduzido em cada ponto. Exemplos comuns de simetrias que se prestam à lei de Gauss incluem: simetria cilíndrica, simetria planar e simetria esférica. Veja o artigo Superfície Gaussiana para exemplos em que essas simetrias são exploradas para calcular campos elétricos.

Forma diferencial

Pelo teorema da divergência , a lei de Gauss pode, alternativamente, ser escrita na forma diferencial :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r}}}}$

onde ∇ · E é a divergência do campo elétrico, ε ₀ é a permissividade do vácuo , é a permissividade relativa e ρ é a densidade de carga de volume (carga por unidade de volume). ${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$

Equivalência de formas integrais e diferenciais

As formas integral e diferencial são matematicamente equivalentes, pelo teorema da divergência . Aqui está o argumento mais especificamente.

Esboço da prova

A forma integral da lei de Gauss é: ${\ displaystyle {\ scriptstyle _ {S}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}$${\ displaystyle = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}}}$ para qualquer superfície fechada S contendo carga Q . Pelo teorema da divergência, esta equação é equivalente a: ${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} \, \ mathrm {d} V = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}}}$ para qualquer volume V contendo carga Q . Pela relação entre carga e densidade de carga, esta equação é equivalente a: ${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} \, \ mathrm {d} V = \ iiint _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varejpsilon _ {0}}} \ , \ mathrm {d} V}$ para qualquer volume V . Para que essa equação seja simultaneamente verdadeira para todos os volumes V possíveis , é necessário (e suficiente) que os integrantes sejam iguais em todos os lugares. Portanto, esta equação é equivalente a: ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}.}$ Assim, as formas integral e diferencial são equivalentes.

Equação envolvendo o campo D

Carga gratuita, limitada e total

A carga elétrica que surge nas situações mais simples dos livros didáticos seria classificada como "carga gratuita" - por exemplo, a carga que é transferida em eletricidade estática ou a carga em uma placa de capacitor . Em contraste, a "carga ligada" surge apenas no contexto de materiais dielétricos (polarizáveis). (Todos os materiais são polarizados até certo ponto.) Quando tais materiais são colocados em um campo elétrico externo, os elétrons permanecem ligados aos seus respectivos átomos, mas mudam uma distância microscópica em resposta ao campo, de modo que estão mais de um lado do átomo do que o outro. Todos esses deslocamentos microscópicos somam-se para dar uma distribuição de carga líquida macroscópica, e isso constitui a "carga ligada".

Embora microscopicamente toda a carga seja fundamentalmente a mesma, muitas vezes há razões práticas para querer tratar a carga consolidada de maneira diferente da carga gratuita. O resultado é que a lei de Gauss mais fundamental, em termos de E (acima), às vezes é colocada na forma equivalente abaixo, que é apenas em termos de D e da carga gratuita.

Forma integral

Esta formulação da lei de Gauss estabelece a forma de carga total:

${\ displaystyle \ Phi _ {D} = Q _ {\ mathrm {free}}}$

onde Φ _D é a D -Campo fluxo através de uma superfície S que encerra um volume V , e Q _livre é a carga livre contida em V . O fluxo Φ _D é definido analogamente ao fluxo Φ _E do campo elétrico E através de S :

${\ displaystyle \ Phi _ {D} =}$ ${\ displaystyle {\ scriptstyle _ {S}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A}}$

Forma diferencial

A forma diferencial da lei de Gauss, envolvendo apenas carga gratuita, afirma:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {\ mathrm {gratuito}}}$

onde ∇ · D é a divergência do campo de deslocamento elétrico, e ρ _free é a densidade de carga elétrica livre.

Equivalência de declarações de cobrança total e gratuita

Prova de que as formulações da lei de Gauss em termos de carga gratuita equivalem às formulações envolvendo carga total.

Nesta prova, mostraremos que a equação ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ dfrac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$ é equivalente à equação ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {\ mathrm {gratuito}}}$ Observe que estamos lidando apenas com as formas diferenciais, não com as formas integrais, mas isso é suficiente, uma vez que as formas diferencial e integral são equivalentes em cada caso, pelo teorema da divergência. Apresentamos a densidade de polarização P , que tem a seguinte relação com E e D : ${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P}}$ e a seguinte relação com a carga vinculada: ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {limite}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P}}$ Agora, considere as três equações: ${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ rho _ {\ mathrm {limite}} & = \ nabla \ cdot (- \ mathbf {P}) \\\ rho _ {\ mathrm {free}} & = \ nabla \ cdot \ mathbf {D} \\\ rho & = \ nabla \ cdot (\ varepsilon _ {0} \ mathbf {E}) \ end {alinhado}}}$ O principal insight é que a soma das duas primeiras equações é a terceira equação. Isso completa a prova: a primeira equação é verdadeira por definição e, portanto, a segunda equação é verdadeira se e somente se a terceira equação for verdadeira. Portanto, a segunda e a terceira equações são equivalentes, que é o que queríamos provar.

Equação para materiais lineares

Em materiais homogêneos , isotrópicos , não dispersivos e lineares, há uma relação simples entre E e  D :

${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E}}$

onde ε é a permissividade do material. Para o caso de vácuo (também conhecido como espaço livre ), ε = ε ₀ . Nessas circunstâncias, a lei de Gauss se modifica para

${\ displaystyle \ Phi _ {E} = {\ frac {Q _ {\ mathrm {free}}} {\ varepsilon}}}$

para a forma integral, e

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {free}}} {\ varepsilon}}}$

para a forma diferencial.

Interpretações

Em termos de campos de força

O teorema de Gauss pode ser interpretado em termos das linhas de força do campo da seguinte forma:

O fluxo através de uma superfície fechada depende tanto da magnitude quanto da direção das linhas de campo elétrico que penetram na superfície. Em geral, um fluxo positivo é definido por essas linhas que saem da superfície e um fluxo negativo por linhas que entram nessa superfície. Isso resulta em cargas positivas causando um fluxo positivo e cargas negativas criando um fluxo negativo. Essas linhas de campo elétrico se estenderão a uma diminuição infinita em força por um fator de um ao longo da distância da fonte da carga ao quadrado. Quanto maior o número de linhas de campo que emanam de uma carga, maior é a magnitude da carga, e quanto mais próximas as linhas de campo são, maior é a magnitude do campo elétrico. Isso tem o resultado natural do campo elétrico se tornar mais fraco à medida que alguém se afasta de uma partícula carregada, mas a área da superfície também aumenta de modo que o campo elétrico líquido que sai dessa partícula permanecerá o mesmo. Em outras palavras, a integral fechada do campo elétrico e o produto escalar da derivada da área serão iguais à carga líquida incluída dividida pela permissividade do espaço livre.

Relação com a lei de Coulomb

Derivando a lei de Gauss da lei de Coulomb

Estritamente falando, a lei de Gauss não pode ser derivada apenas da lei de Coulomb , uma vez que a lei de Coulomb dá o campo elétrico devido apenas a uma carga pontual individual . No entanto, a lei de Gauss pode ser provada a partir da lei de Coulomb se for assumido, adicionalmente, que o campo elétrico obedece ao princípio da superposição . O princípio da superposição diz que o campo resultante é a soma vetorial dos campos gerados por cada partícula (ou a integral, se as cargas são distribuídas suavemente no espaço).

Esboço da prova

A lei de Coulomb afirma que o campo elétrico devido a uma carga pontual estacionária é: ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {e} _ {r}} {r ^ {2}}}}$ Onde e r é o vetor da unidade radial, r é o raio, | r | , ε 0 é a constante elétrica , q é a carga da partícula, que se supõe estar localizada na origem . Usando a expressão da lei de Coulomb, obtemos o campo total em r usando uma integral para somar o campo em r devido à carga infinitesimal em cada ponto s no espaço, para dar ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {s}) ( \ mathbf {r} - \ mathbf {s})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {s} | ^ {3}}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {s}}$ onde ρ é a densidade de carga. Se tomarmos a divergência de ambos os lados desta equação em relação a r , e usarmos o teorema conhecido ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} \ right) = 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r}) }$ onde δ ( r ) é a função delta de Dirac , o resultado é ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int \ rho (\ mathbf {s}) \, \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {s}) \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {s}}$ Usando a " propriedade de peneiramento " da função delta de Dirac, chegamos a ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ rho (\ mathbf {r})} {\ varejpsilon _ {0}}},}$ que é a forma diferencial da lei de Gauss, conforme desejado.

Uma vez que a lei de Coulomb se aplica apenas a cargas estacionárias, não há razão para esperar que a lei de Gauss seja válida para cargas móveis baseadas somente nesta derivação. Na verdade, a lei de Gauss é válida para movimentação de cargas e, nesse aspecto, a lei de Gauss é mais geral do que a lei de Coulomb.

Prova (sem Dirac Delta)

Let Ser um conjunto aberto limitado, e ser o campo elétrico, com uma função contínua (densidade de carga). ${\ displaystyle \ Omega \ subseteq R ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {\ Omega} \ rho (\ mathbf {r} ') {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r}'} {\ left \ | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right \ | ^ {3}}} \ mathop {\ mathrm {d} \ mathbf {r} '} \ equiv {\ frac {1} {4 \ pi \ varejpsilon _ {0}}} \ int _ {\ Omega} e (\ mathbf {r, \ mathbf {r} '}) {\ mathrm {d} \ mathbf {r}'}}$${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ')}$ É verdade para tudo isso . ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ neq \ mathbf {r '}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {r}} \ cdot \ mathbf {e} (\ mathbf {r, r '}) = 0}$ Considere agora um conjunto compacto com uma fronteira lisa por partes tal que . Segue-se isso e assim, para o teorema da divergência: ${\ displaystyle V \ subseteq R ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ parcial V}$${\ displaystyle \ Omega \ cap V = \ emptyset}$${\ displaystyle e (\ mathbf {r, \ mathbf {r} '}) \ in C ^ {1} (V \ times \ Omega)}$ ${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {E} _ {0} \ cdot d \ mathbf {S} = \ int _ {V} \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} _ { 0} \, dV}$ Mas porque , ${\ displaystyle e (\ mathbf {r, \ mathbf {r} '}) \ in C ^ {1} (V \ times \ Omega)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} _ {0} (\ mathbf {r}) =}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {\ Omega} \ nabla _ {\ mathbf {r}} \ cdot e (\ mathbf {r, \ mathbf { r} '}) {\ mathrm {d} \ mathbf {r}'}}$= 0 para o argumento acima ( e depois )${\ displaystyle \ Omega \ cap V = \ emptyset \ implica \ forall \ mathbf {r} \ in V \ \ \ forall \ mathbf {r '} \ in \ Omega \ \ \ \ mathbf {r} \ neq \ mathbf { r '}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {r}} \ cdot \ mathbf {e} (\ mathbf {r, r '}) = 0}$ Portanto, o fluxo através de uma superfície fechada gerado por alguma densidade de carga externa (a superfície) é nulo. Agora considere , e como a esfera centrada em ter como raio (ela existe porque é um conjunto aberto). ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0} \ in \ Omega}$${\ displaystyle B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0}) \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ Omega}$ Deixe e seja o campo elétrico criado dentro e fora da esfera, respectivamente. Então, ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {B_ {R}}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {B_ {R}}}$= , = e + =${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0})} e (\ mathbf {r, \ mathbf {r} '}) {\ mathrm {d} \ mathbf {r}'}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {C}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {\ Omega \ setminus B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0})} e (\ mathbf { r, \ mathbf {r} '}) {\ mathrm {d} \ mathbf {r}'}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {B_ {R}}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {C}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ Phi (R) = \ oint _ {\ partial B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0})} \ mathbf {E} _ {0} \ cdot d \ mathbf {S} = \ oint _ {\ parcial B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0})} \ mathbf {E} _ {B_ {R}} \ cdot d \ mathbf {S} + \ oint _ {\ parcial B_ { R} (\ mathbf {r} _ {0})} \ mathbf {E} _ {C} \ cdot d \ mathbf {S} = \ oint _ {\ parcial B_ {R} (\ mathbf {r} _ { 0})} \ mathbf {E} _ {B_ {R}} \ cdot d \ mathbf {S}}$ A última igualdade segue observando isso e o argumento acima. ${\ displaystyle (\ Omega \ setminus B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0})) \ cap B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0}) = \ emptyset}$ O RHS é o fluxo elétrico gerado por uma esfera carregada, e assim: ${\ displaystyle \ Phi (R) = {\ frac {Q (R)} {\ varepsilon _ {0}}} = {\ frac {1} {\ varejpsilon _ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ int _ {B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0})} \ rho (\ mathbf {r} ') {\ mathrm {d} \ mathbf {r}'} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ rho (\ mathbf {r} '_ {c}) | B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0}) | \ \}$ com ${\ displaystyle \ r '_ {c} \ in \ B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0})}$ Onde a última igualdade segue o teorema do valor médio para integrais. Usando o teorema do aperto e a continuidade de , chega-se a: ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} _ {0} (\ mathbf {r} _ {0}) = \ lim _ {R \ to 0} {\ frac {1} {| B_ {R} (\ mathbf {r} _ {0}) |}} \ Phi (R) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ rho (\ mathbf {r} _ {0} )}$

Derivando a lei de Coulomb da lei de Gauss

A rigor, a lei de Coulomb não pode ser derivada apenas da lei de Gauss, uma vez que a lei de Gauss não fornece nenhuma informação a respeito da curvatura de E (ver decomposição de Helmholtz e lei de Faraday ). No entanto, a lei de Coulomb pode ser provada a partir da lei de Gauss se for assumido, além disso, que o campo elétrico de uma carga pontual é esfericamente simétrico (esta suposição, como a própria lei de Coulomb, é exatamente verdadeira se a carga for estacionária, e aproximadamente verdadeira se a carga estiver em movimento).

Esboço da prova

Tomando S na forma integral da lei de Gauss como uma superfície esférica de raio r , centrada na carga pontual Q , temos ${\ displaystyle \ oint _ {S} \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A} = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}}}$ Pela suposição de simetria esférica, o integrando é uma constante que pode ser retirada da integral. O resultado é ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0} }}}$ onde r̂ é um vetor unitário apontando radialmente para longe da carga. Novamente por simetria esférica, E aponta na direção radial, e assim obtemos ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ hat {\ mathbf {r}}} {r ^ {2}}}}$ que é essencialmente equivalente à lei de Coulomb. Assim, a dependência da lei do inverso do quadrado do campo elétrico na lei de Coulomb segue da lei de Gauss.

Veja também

• Método de cobrança de imagem
• Teorema da unicidade para a equação de Poisson

Notas

Citações

Referências

• Gauss, Carl Friedrich (1867). Werke Banda 5 . Versão digital
• Jackson, John David (1998). Eletrodinâmica Clássica (3ª ed.). Nova York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X. David J. Griffiths (6ª ed.)

links externos

• Mídia relacionada à Lei de Gauss no Wikimedia Commons
• Série de palestras de vídeo do MIT (palestras de 30 x 50 minutos) - Eletricidade e magnetismo ministrado pelo professor Walter Lewin .
• seção sobre a lei de Gauss em um livro online
• MISN-0-132 Lei de Gauss para Simetria Esférica ( arquivo PDF ) por Peter Signell para o Projeto PHYSNET .
• MISN-0-133 Lei de Gauss aplicada às distribuições de carga cilíndrica e planar (arquivo PDF) por Peter Signell para o projeto PHYSNET .