Equações de Fresnel - Fresnel equations

Transmissão e reflexão parciais de um pulso viajando de um meio de índice de refração baixo para um alto.
Na incidência próxima de rasante, as interfaces de mídia parecem espelhadas, especialmente devido à reflexão da polarização s , apesar de serem refletores fracos na incidência normal. Óculos de sol polarizados bloquear o s polarização, reduzindo significativamente o brilho de superfícies horizontais.

As equações de Fresnel (ou coeficientes de Fresnel ) descrevem a reflexão e a transmissão da luz (ou radiação eletromagnética em geral) quando incidente em uma interface entre diferentes meios ópticos . Eles foram deduzidas por Augustin-Jean Fresnel ( / f r n ɛ l / ) que foi o primeiro a entender que a luz é uma onda transversal , embora não uma conta de que as vibrações "" da onda foram campos eléctricos e magnéticos . Pela primeira vez, a polarização pode ser entendida quantitativamente, já que as equações de Fresnel previram corretamente o comportamento diferente das ondas das polarizações s e p incidentes em uma interface de material.

Visão geral

Quando a luz atinge a interface entre um meio com índice de refração n 1 e um segundo meio com índice de refração n 2 , tanto a reflexão quanto a refração da luz podem ocorrer. As equações de Fresnel fornecem a relação entre o campo elétrico da onda refletida e o campo elétrico da onda incidente, e a relação entre o campo elétrico da onda transmitida e o campo elétrico da onda incidente, para cada um dos dois componentes da polarização. (Os campos magnéticos também podem ser relacionados usando coeficientes semelhantes.) Essas relações são geralmente complexas, descrevendo não apenas as amplitudes relativas, mas também as mudanças de fase na interface.

As equações assumem que a interface entre os meios é plana e que os meios são homogêneos e isotrópicos . A luz incidente é considerada uma onda plana , o que é suficiente para resolver qualquer problema, uma vez que qualquer campo de luz incidente pode ser decomposto em ondas planas e polarizações.

Polarizações S e P

O plano de incidência é definido pelo vetor de propagação da radiação incidente e pelo vetor normal da superfície.

Existem dois conjuntos de coeficientes de Fresnel para dois componentes de polarização linear diferentes da onda incidente. Uma vez que qualquer estado de polarização pode ser resolvido em uma combinação de duas polarizações lineares ortogonais, isso é suficiente para qualquer problema. Da mesma forma, a luz não polarizada (ou "polarizada aleatoriamente") tem uma quantidade igual de energia em cada uma das duas polarizações lineares.

A polarização s refere-se à polarização do campo elétrico de uma onda normal ao plano de incidência (a direção z na derivação abaixo); então o campo magnético está no plano de incidência. A polarização p refere-se à polarização do campo elétrico no plano de incidência (o plano xy na derivação abaixo); então o campo magnético é normal ao plano de incidência.

Embora a refletividade e a transmissão sejam dependentes da polarização, na incidência normal ( θ  = 0) não há distinção entre eles, então todos os estados de polarização são governados por um único conjunto de coeficientes de Fresnel (e outro caso especial é mencionado abaixo em que isso é verdade )

Coeficientes de reflexão e transmissão de potência (intensidade)

Variáveis ​​usadas nas equações de Fresnel
Coeficientes de potência: ar para vidro
Coeficientes de potência: vidro ao ar

No diagrama da direita, um incidente onda plana na direcção do raio IO atinge a interface entre dois meios de índices de refracção n 1 e n 2 no ponto ó . Parte da onda é refletida na direção OR e parte refratada na direção OT . Os ângulos que os raios incidentes, refletidos e refratados fazem com a normal da interface são dados como θ i , θ r e θ t , respectivamente.

A relação entre esses ângulos é dada pela lei da reflexão :

e a lei de Snell :

O comportamento da luz incidindo sobre a interface é resolvido considerando os campos elétricos e magnéticos que constituem uma onda eletromagnética e as leis do eletromagnetismo , conforme mostrado abaixo . A relação entre as amplitudes do campo elétrico (ou campo magnético) das ondas é obtida, mas na prática interessa-se mais frequentemente as fórmulas que determinam os coeficientes de potência , uma vez que a potência (ou irradiância ) é o que pode ser medido diretamente nas frequências ópticas. A potência de uma onda é geralmente proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico (ou magnético).

Chamamos a fração da potência incidente que é refletida da interface de refletância (ou "refletividade" ou "coeficiente de reflexão de potência") R , e a fração que é refratada no segundo meio é chamada de transmitância (ou "transmissividade" , ou "coeficiente de transmissão de energia") t . Observe que isso é o que seria medido em cada lado de uma interface e não leva em consideração a atenuação de uma onda em um meio absorvente após a transmissão ou reflexão.

A refletância da luz polarizada é

enquanto a refletância da luz p-polarizada é

onde Z 1 e Z 2 são as impedâncias de onda dos meios 1 e 2, respectivamente.

Assumimos que os meios são não magnéticos (ou seja, μ 1 = μ 2 = μ 0 ), o que normalmente é uma boa aproximação em frequências ópticas (e para meios transparentes em outras frequências). Então, as impedâncias de onda são determinadas exclusivamente pelos índices de refração n 1 e n 2 :

onde Z 0 é a impedância do espaço livre e i  = 1, 2. Fazendo esta substituição, obtemos equações usando os índices de refração:

A segunda forma de cada equação é derivada da primeira eliminando θ t usando a lei de Snell e as identidades trigonométricas .

Como consequência da conservação de energia , pode-se encontrar a potência transmitida (ou mais corretamente, irradiância : potência por unidade de área) simplesmente como a porção da potência incidente que não é refletida: 

e

Observe que todas essas intensidades são medidas em termos da irradiância de uma onda na direção normal para a interface; isso também é medido em experimentos típicos. Esse número poderia ser obtido a partir de irradiâncias na direção de uma onda incidente ou refletida (dada pela magnitude do vetor de Poynting de uma onda ) multiplicado por cos  θ para uma onda em um ângulo θ em relação à direção normal (ou equivalentemente, tomando o produto escalar do vetor de Poynting com o vetor unitário normal à interface). Esta complicação pode ser ignorada no caso do coeficiente de reflexão, uma vez que cos  θ i  = cos  θ r , de forma que a razão da irradiância refletida pela incidente na direção da onda é a mesma que na direção normal à interface.

Embora essas relações descrevam a física básica, em muitas aplicações práticas estamos preocupados com a "luz natural", que pode ser descrita como não polarizada. Isso significa que há uma quantidade igual de potência nas polarizações s e p , de modo que a refletividade efetiva do material é apenas a média das duas refletividades:

Para aplicações de baixa precisão envolvendo luz não polarizada, como computação gráfica , em vez de calcular rigorosamente o coeficiente de reflexão efetivo para cada ângulo, a aproximação de Schlick é freqüentemente usada.

Casos especiais

Incidência normal

Para o caso de incidência normal , e não existe qualquer distinção entre s e p polarização. Assim, a refletância simplifica para

.

Para o vidro comum ( n 2 ≈ 1,5) rodeado por ar ( n 1  = 1), a refletância de potência na incidência normal pode ser vista em cerca de 4%, ou 8% representando ambos os lados de uma vidraça.

Ângulo de Brewster

Em uma interface dielétrica de n 1 a n 2 , há um ângulo de incidência particular no qual R p vai para zero e uma onda incidente p-polarizada é puramente refratada, portanto, toda a luz refletida é s-polarizada. Esse ângulo é conhecido como ângulo de Brewster e é em torno de 56 ° para n 1  = 1 e n 2  = 1,5 (vidro típico).

Reflexão interna total

Quando a luz viajando em um meio mais denso atinge a superfície de um meio menos denso (ou seja, n 1 > n 2 ), além de um ângulo de incidência particular conhecido como ângulo crítico , toda a luz é refletida e R s = R p = 1 . Este fenômeno, conhecido como reflexão interna total , ocorre em ângulos de incidência para os quais a lei de Snell prevê que o seno do ângulo de refração excederia a unidade (enquanto na verdade sen  θ  ≤ 1 para todos os reais θ ). Para vidro com n  = 1,5 rodeado por ar, o ângulo crítico é de aproximadamente 41 °.

Coeficientes de reflexão e transmissão de amplitude complexos

As equações acima relacionando potências (que poderiam ser medidas com um fotômetro, por exemplo) são derivadas das equações de Fresnel que resolvem o problema físico em termos de amplitudes complexas de campo eletromagnético , ou seja, considerando fase além de potência (que é importante na propagação de multicaminhos por exemplo). Essas equações subjacentes fornecem taxas de valor geralmente complexas desses campos EM e podem assumir várias formas diferentes, dependendo dos formalismos usados. Os coeficientes de amplitude complexos são geralmente representados por r minúsculo e t (enquanto os coeficientes de potência são capitalizados).

Coeficientes de amplitude: ar para vidro
Coeficientes de amplitude: vidro ao ar

A seguir, o coeficiente de reflexão r é a razão entre a amplitude do complexo do campo elétrico da onda refletida e a da onda incidente. O coeficiente de transmissão t é a razão entre a amplitude do complexo do campo elétrico da onda transmitida e a da onda incidente. Exigimos fórmulas separadas para os s e p polarizações. Em cada caso, assumimos uma onda plana incidente em um ângulo de incidência em uma interface plana, refletida em um ângulo , e com uma onda transmitida em um ângulo , correspondendo à figura acima. Observe que nos casos de uma interface em um material absorvente (onde n é complexo) ou reflexão interna total, o ângulo de transmissão pode não ser avaliado como um número real.

Consideramos o sinal do campo elétrico de uma onda em relação à direção de uma onda. Conseqüentemente, para a polarização p na incidência normal, a direção positiva do campo elétrico para uma onda incidente (à esquerda) é oposta àquela de uma onda refletida (também à sua esquerda); para a polarização s, ambos são iguais (para cima).

Usando essas convenções,

Pode-se ver que t s = r s + 1 e n 2/n 1t p = r p +1 . Pode-se escrever equações semelhantes aplicando-se à proporção dos campos magnéticos das ondas, mas geralmente não são necessárias.

Como as ondas refletidas e incidentes se propagam no mesmo meio e fazem o mesmo ângulo com a normal à superfície, o coeficiente de reflexão de potência R é apenas a magnitude quadrada de r : 

Por outro lado, o cálculo do coeficiente de transmissão de potência T é menos direto, uma vez que a luz viaja em direções diferentes nos dois meios. Além do mais, as impedâncias de onda nos dois meios são diferentes; a potência só é proporcional ao quadrado da amplitude quando as impedâncias da mídia são as mesmas (assim como para a onda refletida). Isto resulta em:

O fator de n 2 / n 1 é o recíproco da razão das impedâncias de onda da mídia (uma vez que assumimos µ  =  µ 0 ). O fator de cos ( θ t ) / cos ( θ i ) é de expressar a potência na direção normal para a interface, para as ondas incidentes e transmitidas.

No caso de reflexão interna total onde a transmissão de energia T é zero, t , no entanto, descreve o campo elétrico (incluindo sua fase) logo além da interface. Este é um campo evanescente que não se propaga como uma onda (portanto, T  = 0), mas tem valores diferentes de zero muito próximos da interface. A mudança de fase da onda refletida na reflexão interna total pode ser obtida da mesma forma a partir dos ângulos de fase de r p e r s (cujas magnitudes são unitárias). Essas mudanças de fase são diferentes para as ondas s e p , que é o princípio bem conhecido pelo qual a reflexão interna total é usada para efetuar transformações de polarização .

Formas alternativas

Na fórmula acima para r s , se colocarmos (lei de Snell) e multiplicarmos o numerador e o denominador por1/n 1sen θ t , obtemos 

Se fizermos o mesmo com a fórmula para r p , o resultado é facilmente mostrado como equivalente a 

Essas fórmulas são conhecidas, respectivamente, como lei do seno de Fresnel e lei da tangente de Fresnel . Embora na incidência normal essas expressões reduzam para 0/0, pode-se ver que elas produzem os resultados corretos no limite como θ i → 0 .

Múltiplas superfícies

Quando a luz faz reflexos múltiplos entre duas ou mais superfícies paralelas, os múltiplos feixes de luz geralmente interferem uns com os outros, resultando em transmissão de rede e amplitudes de reflexão que dependem do comprimento de onda da luz. A interferência, entretanto, é vista apenas quando as superfícies estão a distâncias comparáveis ​​ou menores que o comprimento de coerência da luz , que para a luz branca comum é de poucos micrômetros; pode ser muito maior para a luz de um laser .

Um exemplo de interferência entre reflexos são as cores iridescentes vistas em uma bolha de sabão ou em filmes finos de óleo na água. As aplicações incluem interferômetros Fabry-Pérot , revestimentos anti-reflexo e filtros ópticos . Uma análise quantitativa desses efeitos é baseada nas equações de Fresnel, mas com cálculos adicionais para contabilizar a interferência.

O método da matriz de transferência ou o método recursivo de Rouard podem ser usados ​​para resolver problemas de superfícies múltiplas.

História

Em 1808, Étienne-Louis Malus descobriu que quando um raio de luz era refletido em uma superfície não metálica no ângulo apropriado, ele se comportava como um dos dois raios emergindo de um cristal de calcita duplamente refrativo . Mais tarde, ele cunhou o termo polarização para descrever esse comportamento. Em 1815, a dependência do ângulo de polarização no índice de refração foi determinada experimentalmente por David Brewster . Mas o motivo dessa dependência era um mistério tão profundo que, no final de 1817, Thomas Young foi levado a escrever:

A grande dificuldade de todas, que é atribuir uma razão suficiente para a reflexão ou não reflexão de um raio polarizado, provavelmente permanecerá por muito tempo, para mortificar a vaidade de uma filosofia ambiciosa, completamente não resolvida por qualquer teoria.

Em 1821, entretanto, Augustin-Jean Fresnel derivou resultados equivalentes às suas leis seno e tangente (acima), modelando as ondas de luz como ondas elásticas transversais com vibrações perpendiculares ao que antes era chamado de plano de polarização . Fresnel prontamente confirmou por experimento que as equações previam corretamente a direção da polarização do feixe refletido quando o feixe incidente foi polarizado a 45 ° em relação ao plano de incidência, para a luz incidente do ar no vidro ou na água; em particular, as equações deram a polarização correta no ângulo de Brewster. A confirmação experimental foi relatada em um "pós-escrito" ao trabalho em que Fresnel revelou pela primeira vez sua teoria de que as ondas de luz, incluindo as ondas "não polarizadas", eram puramente transversais.

Detalhes da derivação de Fresnel, incluindo as formas modernas da lei do seno e da lei tangente, foram dados posteriormente, em um livro de memórias lido para a Academia Francesa de Ciências em janeiro de 1823. Essa derivação combinava a conservação de energia com a continuidade da vibração tangencial na interface , mas falhou em permitir qualquer condição no componente normal de vibração. A primeira derivação dos princípios eletromagnéticos foi dada por Hendrik Lorentz em 1875.

Nas mesmas memórias de janeiro 1823, Fresnel descobriu que, para os ângulos de incidência maior do que o ângulo crítico, as fórmulas para os coeficientes de reflexão ( r s e r p ) deu valores complexos com magnitudes de unidade. Observando que a magnitude, como de costume, representava a razão das amplitudes de pico, ele adivinhou que o argumento representava a mudança de fase e verificou a hipótese experimentalmente. A verificação envolvida

  • calcular o ângulo de incidência que introduziria uma diferença de fase total de 90 ° entre os componentes s e p, para vários números de reflexões internas totais naquele ângulo (geralmente havia duas soluções),
  • submeter a luz a esse número de reflexões internas totais naquele ângulo de incidência, com uma polarização linear inicial a 45 ° em relação ao plano de incidência, e
  • verificando se a polarização final era circular .

Assim, ele finalmente teve uma teoria quantitativa para o que agora chamamos de rombo de Fresnel - um dispositivo que ele vinha usando em experimentos, de uma forma ou de outra, desde 1817 (ver rombo de Fresnel § História ).

O sucesso do coeficiente de reflexão complexo inspirou James MacCullagh e Augustin-Louis Cauchy , começando em 1836, a analisar a reflexão de metais usando as equações de Fresnel com um índice de refração complexo .

Quatro semanas antes de apresentar sua teoria completa da reflexão interna total e do losango, Fresnel apresentou um livro de memórias em que introduziu os termos necessários polarização linear , polarização circular e polarização elíptica , e no qual explicou a rotação óptica como uma espécie de birrefringência : luz polarizada linearmente pode ser resolvida em dois componentes polarizados circularmente girando em direções opostas, e se estes se propagam em velocidades diferentes, a diferença de fase entre eles - daí a orientação de sua resultante polarizada linearmente - irá variar continuamente com a distância.

Assim, a interpretação de Fresnel dos valores complexos de seus coeficientes de reflexão marcou a confluência de várias correntes de sua pesquisa e, indiscutivelmente, a conclusão essencial de sua reconstrução da ótica física na hipótese da onda transversal (ver Augustin-Jean Fresnel ).

Teoria

Aqui, derivamos sistematicamente as relações acima de premissas eletromagnéticas.

Parâmetros de material

Para calcular coeficientes de Fresnel significativos, devemos assumir que o meio é (aproximadamente) linear e homogêneo . Se o meio também for isotrópico , os quatro vetores de campo E ,  B ,  D ,  H estão relacionados por

D = ϵ E
B = μ H  ,

onde ϵ e μ são escalares, conhecidos respectivamente como a permissividade (elétrica) e a permeabilidade (magnética) do meio. Para um vácuo, eles têm os valores ϵ 0 e μ 0 , respectivamente. Portanto, definimos a permissividade relativa (ou constante dielétrica ) ϵ rel  =  ϵ / ϵ 0  , e a permeabilidade relativa μ rel  =  μ / μ 0 .

Em óptica, é comum assumir que o meio é não magnético, de modo que μ rel  = 1. Para materiais ferromagnéticos em frequências de rádio / micro-ondas, valores maiores de μ rel devem ser levados em consideração. Mas, para meios opticamente transparentes e para todos os outros materiais em frequências ópticas (exceto possíveis metamateriais ), μ rel é de fato muito próximo de 1; ou seja, μ  ≈  μ 0 .

Em óptica, geralmente se conhece o índice de refração n do meio, que é a razão entre a velocidade da luz no vácuo ( c ) e a velocidade da luz no meio. Na análise de reflexão parcial e transmissão, também se está interessado na electromagnética impedância da onda Z , que é a relação entre a amplitude de E para a amplitude de H . Portanto, é desejável expressar n e Z em termos de ϵ e μ e, portanto, relacionar Z com n . Esta última relação, no entanto, fará com que seja conveniente para derivar os coeficientes de reflexão em termos da onda admissão Y , que é o inverso da impedância de onda Z .

No caso de ondas sinusoidais planas uniformes , a impedância ou admitância da onda é conhecida como impedância intrínseca ou admitância do meio. Este é o caso para o qual os coeficientes de Fresnel devem ser derivados.

Ondas planas eletromagnéticas

Em uma onda eletromagnética senoidal plana uniforme , o campo elétrico E tem a forma

 

 

 

 

( 1 )

onde E k é o vetor de amplitude complexa (constante),  i é a unidade imagináriak é o vetor de onda (cuja magnitude k é o número de onda angular ),  r é o vetor de posiçãoω é a frequência angulart é o tempo, e entende-se que a parte real da expressão é o campo físico. O valor da expressão permanece inalterado se a posição r varia em uma direção normal para k ; portanto, k é normal para as frentes de onda .

Para avançar a fase pelo ângulo ϕ , substituímos ωt por ωt + ϕ (ou seja, substituímos −ωt por −ωt − ϕ ), com o resultado de que o campo (complexo) é multiplicado por e −iϕ . Portanto, um avanço de fase é equivalente à multiplicação por uma constante complexa com um argumento negativo . Isso se torna mais óbvio quando o campo ( 1 ) é fatorado como E k e i k⋅r e −iωt , onde o último fator contém a dependência do tempo. Esse fator também implica que a diferenciação em relação ao tempo corresponde à multiplicação por −iω . 

Se é a componente de r na direção de k , o campo ( 1 ) pode ser escrito E k e i ( kℓ − ωt ) . Se o argumento de e i (⋯) deve ser constante,   deve aumentar na velocidade conhecida como velocidade de fase ( v p ) . Este, por sua vez, é igual a . Resolver para k

.

 

 

 

 

( 2 )

Como de costume, eliminamos o fator dependente do tempo e −iωt, que se entende multiplicar todas as grandezas de campos complexos. O campo elétrico para uma onda senoidal plana uniforme será então representado pelo fasor dependente da localização

.

 

 

 

 

( 3 )

Para campos dessa forma, a lei de Faraday e a lei de Maxwell-Ampère reduzem, respectivamente, a 

Colocando B = μ H e D = ϵ E , como acima, podemos eliminar B e D para obter as equações em apenas E e H :

Se os parâmetros do material ϵ e μ forem reais (como em um dielétrico sem perdas), essas equações mostram que k  , E  , H formam uma tríade ortogonal destra , de modo que as mesmas equações se aplicam às magnitudes dos respectivos vetores. Tomando as equações de magnitude e substituindo de ( 2 ), obtemos

em que H e E são as magnitudes de H e E . Multiplicando as duas últimas equações dá

 

 

 

 

( 4 )

Dividindo (ou multiplicação cruzada) as mesmas duas equações dá H = YE , onde

.

 

 

 

 

( 5 )

Essa é a admissão intrínseca .

De ( 4 ) obtemos a velocidade de fase . Para um vácuo, isso se reduz a . Dividindo o segundo resultado pelo primeiro dá

.

Para um meio não magnético (o caso usual), isso se torna .

( Tomando o recíproco de ( 5 ), descobrimos que a impedância intrínseca é . No vácuo, isso assume o valor conhecido como impedância do espaço livre . Por divisão ,. Para um meio não magnético , isso se torna )

Os vetores de onda

Incidente, refletida e transmitida vetores de onda ( k i , k R , e k t ), para a incidência de um meio com índice de refracção n 1 a um meio com índice de refracção n 2 . As setas vermelhas são perpendiculares aos vetores de onda.

Em coordenadas cartesianas ( x ,  y , z ) , deixe a região y < 0 ter índice de refração n 1  , admitância intrínseca Y 1  , etc., e deixe a região y > 0 ter índice de refração n 2  , admitância intrínseca Y 2  , etc. . em seguida, o xz plano é a interface, e o y eixo é normal para a interface (ver esquema). Deixe que i e j (em negrito tipo romano ) ser os vectores de unidade nas x e y direcções, respectivamente. Seja o plano de incidência o plano xy (o plano da página), com o ângulo de incidência θ i medido de j em direção a i . Seja o ângulo de refração, medido no mesmo sentido, θ t , onde o subscrito t representa transmitido (reservando r para refletido ).

Na ausência de desvios Doppler , ω não muda na reflexão ou refração. Portanto, por ( 2 ), a magnitude do vetor de onda é proporcional ao índice de refração.

Então, para um dado ω , se redefinirmos k como a magnitude do vetor de onda no meio de referência (para o qual n = 1 ), então o vetor de onda tem magnitude n 1 k no primeiro meio (região y < 0 no diagrama) e magnitude n 2 k no segundo meio. A partir das magnitudes e da geometria, descobrimos que os vetores de onda são

onde a última etapa usa a lei de Snell. Os produtos escalares correspondentes na forma fasorial ( 3 ) são

 

 

 

 

( 6 )

Portanto:

Na  .

 

 

 

 

( 7 )

Os componentes do s

Para a polarização s , o campo E é paralelo ao eixo z e pode, portanto, ser descrito por seu componente na  direção z . Sejam os coeficientes de reflexão e transmissão r s e t s  , respectivamente. Então, se o campo incidente E é considerado como tendo amplitude unitária, a forma fasorial ( 3 ) de seu  componente z é

 

 

 

 

( 8 )

e os campos refletidos e transmitidos, da mesma forma, são

 

 

 

 

( 9 )

De acordo com a convenção de sinais utilizada neste artigo, um reflexo positivo ou coeficiente de transmissão é aquele que preserva a direção do campo transversal , significando (neste contexto) o campo normal ao plano de incidência. Para a polarização s , isso significa o campo E. Se os campos incidentes, refletidos e transmitidos E (nas equações acima) estão na  direção z ("fora da página"), então os respectivos campos H estão nas direções das setas vermelhas, uma vez que k  , E  , H formar uma tríade ortogonal destra. Os campos H podem, portanto, ser descritos por seus componentes nas direções daquelas setas, denotadas por H i  , H r , H t . Então, uma vez que H = YE ,

 

 

 

 

( 10 )

Na interface, pelas condições usuais de interface para campos eletromagnéticos , as componentes tangenciais dos campos E e H devem ser contínuas; isso é,

.

 

 

 

 

( 11 )

Quando substituímos das equações ( 8 ) a ( 10 ) e, em seguida, de ( 7 ), os fatores exponenciais se cancelam, de modo que as condições de interface se reduzem às equações simultâneas

 

 

 

 

( 12 )

que são facilmente resolvidos para r s e t s , resultando

 

 

 

 

( 13 )

e

.

 

 

 

 

( 14 )

Na incidência normal ( θ i = θ t = 0), indicada por um subscrito adicional 0, esses resultados tornam-se

 

 

 

 

( 15 )

e

.

 

 

 

 

( 16 )

Na incidência de pastejo ( θ i → 90 °) , temos cos θ i → 0 , portanto r s−1 e t s → 0 .

Os componentes p

Para a polarização p , os campos E incidentes, refletidos e transmitidos são paralelos às setas vermelhas e podem, portanto, ser descritos por seus componentes nas direções dessas setas. Sejam esses componentes E i  , E r , E t (redefinindo os símbolos para o novo contexto). Sejam os coeficientes de reflexão e transmissão r p e t p . Então, se o campo incidente E for considerado como tendo amplitude unitária, temos

 

 

 

 

( 17 )

Se os campos E estiverem nas direções das setas vermelhas, então, para que k  , E  , H formem uma tríade ortogonal destra, os respectivos campos H devem estar na  direção −z ("na página") e podem, portanto, ser descritos por seus componentes nessa direção. Isto é consistente com a convenção de sinais adotada, ou seja, que um reflexo positivo ou coeficiente de transmissão é aquele que preserva a direção do campo transversal ( o campo H no caso da polarização p ) . A concordância do outro campo com as setas vermelhas revela uma definição alternativa da convenção do sinal: que uma reflexão positiva ou coeficiente de transmissão é aquele para o qual o vetor de campo no plano de incidência aponta para o mesmo meio antes e depois da reflexão ou transmissão.

Assim, para os campos H incidente, refletido e transmitido , sejam os respectivos componentes na  direção −z H i  , H r , H t . Então, uma vez que H = YE ,

 

 

 

 

( 18 )

Na interface, os componentes tangenciais dos campos E e H devem ser contínuos; isso é,

.

 

 

 

 

( 19 )

Quando substituímos das equações ( 17 ) e ( 18 ) e, em seguida, de ( 7 ), os fatores exponenciais novamente se cancelam, de modo que as condições de interface reduzem a

 

 

 

 

( 20 )

Resolvendo para r p e t p , encontramos

 

 

 

 

( 21 )

e

.

 

 

 

 

( 22 )

Na incidência normal ( θ i = θ t = 0), indicada por um subscrito adicional 0, esses resultados tornam-se

 

 

 

 

( 23 )

e

.

 

 

 

 

( 24 )

Na incidência de pastejo ( θ i → 90 °) , temos novamente cos θ i → 0 , portanto r p−1 e t p → 0 .

Comparando ( 23 ) e ( 24 ) com ( 15 ) e ( 16 ), vemos que na incidência normal , sob a convenção de sinais adotada, os coeficientes de transmissão para as duas polarizações são iguais, enquanto os coeficientes de reflexão têm magnitudes iguais, mas sinais opostos . Embora esse choque de sinais seja uma desvantagem da convenção, a vantagem resultante é que os sinais concordam com a incidência de pastagem .

Relações de potência (refletividade e transmissividade)

O vetor de Poynting para uma onda é um vetor cujo componente em qualquer direção é a irradiância (potência por unidade de área) daquela onda em uma superfície perpendicular àquela direção. Para uma onda senoidal plana, o vetor de Poynting é 1/2Re { E × H }, onde E e H são devidos apenas à onda em questão, e o asterisco denota conjugação complexa. Dentro de um dielétrico sem perdas (o caso usual), E e H estão em fase e em ângulos retos entre si e com o vetor de onda k  ; então, para s polarização, usando os componentes z e xy de E e H respectivamente (ou para polarização p, usando os componentes xy e -z de E e H ), a irradiância na direção de k é dada simplesmente por EH / 2 , que é E 2 / 2Z num meio de intrínseco impedância Z  = 1 / Y . Para calcular a irradiância na direção normal à interface, como exigiremos na definição do coeficiente de transmissão de potência, poderíamos usar apenas o componente x (em vez do componente xy completo ) de H ou E ou, equivalentemente, simplesmente multiplicar EH / 2 pelo fator geométrico adequado, obtendo ( E 2 / 2Z )  cos  θ .

A partir das equações ( 13 ) e ( 21 ), tomando magnitudes quadradas, descobrimos que a refletividade (razão da potência refletida para a potência incidente) é

 

 

 

 

( 25 )

para a polarização s, e

 

 

 

 

( 26 )

para a polarização p. Observe que ao comparar as potências de duas dessas ondas no mesmo meio e com o mesmo cos θ , a impedância e os fatores geométricos mencionados acima são idênticos e se cancelam. Porém, no cálculo da transmissão de potência (abaixo), esses fatores devem ser levados em consideração.

A maneira mais simples de obter o coeficiente de transmissão de potência ( transmissividade , a relação entre a potência transmitida e a potência incidente na direção normal da interface , ou seja, a direção y ) é usar R  +  T  = 1 (conservação de energia). Desta forma, encontramos

 

 

 

 

( 25T )

para a polarização s, e

 

 

 

 

( 26T )

para a polarização p.

No caso de uma interface entre dois meios sem perdas (para os quais ϵ e μ são reais e positivos), pode-se obter esses resultados diretamente usando as magnitudes quadradas dos coeficientes de transmissão de amplitude que encontramos anteriormente nas equações ( 14 ) e ( 22 ) . Mas, para uma dada amplitude (como mencionado acima), o componente do vector de Poynting no y direcção é proporcional ao factor geométrico cos  θ e inversamente proporcional à impedância da onda Z . Aplicando essas correções a cada onda, obtemos duas razões multiplicando o quadrado do coeficiente de transmissão de amplitude:

 

 

 

 

( 27 )

para a polarização s, e

 

 

 

 

( 28 )

para a polarização p. As duas últimas equações se aplicam apenas a dielétricos sem perdas e apenas em ângulos de incidência menores que o ângulo crítico (além do qual, é claro, T  = 0  ).

Índices de refração iguais

Das equações ( 4 ) e ( 5 ), vemos que dois meios diferentes terão o mesmo índice de refração, mas admitâncias diferentes, se a razão de suas permeabilidades for o inverso da razão de suas permissividades. Nessa situação incomum, temos θ t = θ i (ou seja, o raio transmitido não é desviado), de modo que os cossenos nas equações ( 13 ), ( 14 ), ( 21 ), ( 22 ) e ( 25 ) a ( 28 ) cancela, e todas as relações de reflexão e transmissão tornam-se independentes do ângulo de incidência; em outras palavras, as razões de incidência normal tornam-se aplicáveis ​​a todos os ângulos de incidência. Quando estendido para reflexão ou espalhamento esférico, isso resulta no efeito Kerker para espalhamento de Mie .

Mídia não magnética

Como as equações de Fresnel foram desenvolvidas para óptica, geralmente são fornecidas para materiais não magnéticos. Dividindo ( 4 ) por ( 5 )) os rendimentos

.

Para mídia não magnética, podemos substituir a permeabilidade ao vácuo μ 0 por μ , de modo que

;

isto é, as admitâncias são simplesmente proporcionais aos índices de refração correspondentes. Quando fazemos essas substituições nas equações ( 13 ) a ( 16 ) e nas equações ( 21 ) a ( 26 ), o fator 0 é cancelado. Para os coeficientes de amplitude, obtemos:

 

 

 

 

( 29 )

 

 

 

 

( 30 )

 

 

 

 

( 31 )

.

 

 

 

 

( 32 )

Para o caso de incidência normal, eles se reduzem a:

 

 

 

 

( 33 )

 

 

 

 

( 34 )

 

 

 

 

( 35 )

.

 

 

 

 

( 36 )

Os coeficientes de reflexão de potência tornam-se:

 

 

 

 

( 37 )

.

 

 

 

 

( 38 )

As transmissões de potência podem ser encontrados a partir de T  = 1 -  R .

Ângulo de Brewster

Para permeabilidades iguais (por exemplo, mídia não magnética), se θ i e θ t são complementares , podemos substituir sin θ t por cos θ i , e sin θ i por cos θ t , de modo que o numerador na equação ( 31 ) torna-se n 2 sen θ t - n 1 sen θ i , que é zero (pela lei de Snell). Portanto, r p = 0 e apenas o componente s-polarizado é refletido. Isso é o que acontece no ângulo de Brewster . Substituindo cos θ i por sen θ t na lei de Snell, obtemos prontamente

 

 

 

 

( 39 )

para o ângulo de Brewster.

Permissividades iguais

Embora não seja encontrado na prática, as equações também podem se aplicar ao caso de dois meios com uma permissividade comum, mas diferentes índices de refração devido a diferentes permeabilidades. A partir das equações ( 4 ) e ( 5 ), se ε é fixo em vez de μ , então Y torna-se inversamente proporcional a N , com o resultado de que os subscritos 1 e 2 na equação ( 29 ) a ( 38 ) são trocados (devido à etapa adicional de multiplicação do numerador e denominador por n 1 n 2 ). Portanto, em ( 29 ) e ( 31 ), as expressões para r s e r p em termos de índices de refração serão trocadas, de modo que o ângulo de Brewster ( 39 ) dará r s = 0 em vez de r p = 0 , e qualquer o feixe refletido naquele ângulo será polarizado p em vez de polarizado s. Da mesma forma, a lei senoidal de Fresnel será aplicada à polarização p em vez da polarização s, e sua lei tangente à polarização s em vez da polarização p.

Essa troca de polarizações tem um análogo na velha teoria mecânica das ondas de luz (ver § História , acima). Pode-se prever coeficientes de reflexão que concordam com a observação, supondo (como Fresnel) que diferentes índices de refração são devidos a diferentes densidades e que as vibrações são normais ao que era então chamado de plano de polarização , ou supondo (como MacCullagh e Neumann ) que diferentes índices de refração eram devidos a diferentes elasticidades e que as vibrações eram paralelas a esse plano. Assim, a condição de permissividades iguais e permeabilidades desiguais, embora não seja realista, é de algum interesse histórico.

Veja também

Notas

Referências

Fontes

Leitura adicional

links externos