Mecânica quântica fracionada - Fractional quantum mechanics

Na física , a mecânica quântica fracionária é uma generalização da mecânica quântica padrão , que surge quando os caminhos quânticos do tipo browniano são substituídos por caminhos do tipo Lévy na integral do caminho de Feynman . Este conceito foi descoberto por Nick Laskin, que cunhou o termo mecânica quântica fracionária .

Fundamentos

A mecânica quântica padrão pode ser abordada de três maneiras diferentes: a mecânica matricial , a equação de Schrödinger e a integral do caminho de Feynman .

A integral de caminho de Feynman é a integral de caminho sobre os caminhos da mecânica quântica do tipo browniano. A mecânica quântica fracionária vem da generalização da integral de caminho de Feynman, dos caminhos da mecânica quântica do tipo browniano aos de Lévy. Um caminho integral sobre os caminhos da mecânica quântica semelhantes a Lévy resulta em uma generalização da mecânica quântica . Se a integral de caminho de Feynman leva à bem conhecida equação de Schrödinger , então a integral de caminho sobre as trajetórias de Lévy leva à equação de Schrödinger fracionária . O processo de Lévy é caracterizado pelo índice de Lévy α , 0 <  α  ≤ 2. No caso especial quando α  = 2 o processo de Lévy torna-se o processo de movimento browniano . A equação de Schrödinger fracionária inclui uma derivada espacial de ordem fracionária α em vez da derivada espacial de segunda ordem ( α  = 2) na equação de Schrödinger padrão. Assim, a equação de Schrödinger fracionária é uma equação diferencial fracionária de acordo com a terminologia moderna.

Equação de Schrödinger fracionária

A equação de Schrödinger fracionária na forma originalmente obtida por Nick Laskin é:

Avançar,

  • D α é uma constante de escala com dimensão física [D α ] = [energia] 1 - α · [comprimento] α [tempo] - α , em α  = 2, D 2 = 1/2 m , onde m é uma massa de partícula ,
  • o operador (- ħ 2 Δ) α / 2 é a derivada de Riesz quântica fracionária tridimensional definida por (ver, Ref. [2]);

Aqui, a onda funciona nos espaços de posição e momento ; e estão relacionados entre si pelas transformadas de Fourier tridimensionais :

O índice α na equação de Schrödinger fracionária é o índice de Lévy, 1 <  α  ≤ 2. Assim, a equação de Schrödinger fracionária inclui uma derivada espacial de ordem fracionária α em vez da derivada espacial de segunda ordem ( α  = 2) na equação de Schrödinger padrão . Assim, a equação de Schrödinger fracionária é uma equação diferencial fracionária de acordo com a terminologia moderna. Este é o ponto principal do termo equação de Schrödinger fracionária ou um termo mais geral mecânica quântica fracionária . Em α  = 2, a equação de Schrödinger fracionária torna-se a bem conhecida equação de Schrödinger .

A equação de Schrödinger fracionária tem a seguinte forma de operador

onde o operador fracionário de Hamilton é dado por

O operador de Hamilton , corresponde à função hamiltoniana da mecânica clássica introduzida por Nick Laskin

onde p e r são os vetores de momento e posição, respectivamente.

Equação fracionária de Schrödinger independente do tempo

O caso especial quando o hamiltoniano é independente do tempo

é de grande importância para aplicações físicas. É fácil ver que neste caso existe a solução especial da equação fracionária de Schrödinger

onde satisfaz

ou

Esta é a equação de Schrödinger fracionária independente do tempo (consulte, Ref. [2]).

Assim, vemos que a função de onda oscila com uma frequência definida. Na física clássica, a frequência corresponde à energia. Portanto, o estado da mecânica quântica tem uma energia E definida . A probabilidade de encontrar uma partícula em é o quadrado absoluto da função de onda. Por causa da equação de Schrödinger fracionária independente do tempo, isso é igual e não depende do tempo. Ou seja, a probabilidade de encontrar a partícula em é independente do tempo. Pode-se dizer que o sistema está em um estado estacionário. Em outras palavras, não há variação nas probabilidades em função do tempo.

Densidade de corrente de probabilidade

A lei de conservação da probabilidade mecânica quântica fracionada foi descoberta pela primeira vez por DATayurskii e Yu.V. Lysogorski

onde é a densidade de probabilidade mecânica quântica e o vetor pode ser chamado pelo vetor de densidade de corrente de probabilidade fracionária

e

aqui usamos a notação (ver também cálculo matricial ): .

Foi encontrado na Ref. [5] que existem condições físicas quânticas quando o novo termo é insignificante e chegamos à equação de continuidade para a corrente de probabilidade quântica e densidade quântica (ver, Ref. [2]):

Apresentando o operador momentum , podemos escrever o vetor na forma (ver, Ref. [2])

Esta é a generalização fracionária da bem conhecida equação para o vetor de densidade de probabilidade de corrente da mecânica quântica padrão (ver Ref. [7]).

Operador de velocidade

O operador de velocidade da mecânica quântica é definido da seguinte forma:

O cálculo direto resulta em (ver, Ref. [2])

Por isso,

Para obter a probabilidade de densidade de corrente igual a 1 (a corrente quando uma partícula passa pela unidade de área por unidade de tempo), a função de onda de uma partícula livre deve ser normalizada como

onde representa a partícula velocidade , .

Então nós temos

ou seja, o vetor é de fato o vetor unitário .

Aplicações físicas

Átomo de Bohr fracionário

Quando é a energia potencial do átomo de hidrogênio ,

onde e é a carga do elétron e Z é o número atômico do átomo de hidrogênio, (então Ze é a carga nuclear do átomo), chegamos ao seguinte problema de autovalor fracionário ,

Esse problema de autovalor foi introduzido e resolvido pela primeira vez por Nick Laskin em.

Usando os primeiros resultados do postulado de Niels Bohr

e nos dá a equação para o raio de Bohr do átomo fracionário semelhante ao hidrogênio

Aqui, um 0 é o raio de Bohr fracionário (o raio do menor, n = 1, órbita de Bohr) definido como,

Os níveis de energia do átomo de hidrogênio fracionário são dados por

onde E 0 é a energia de ligação do elétron na órbita de Bohr mais baixa, ou seja, a energia necessária para colocá-lo em um estado com E = 0 correspondendo a n = ∞,

A energia ( α - 1) E 0 dividida por ħc , ( α - 1) E 0 / ħc , pode ser considerada como uma generalização fracionária da constante de Rydberg da mecânica quântica padrão . Para α  = 2 e Z = 1, a fórmula é transformada em

,

que é a expressão conhecida para a fórmula de Rydberg .

De acordo com o segundo postulado de Niels Bohr , a frequência da radiação associada à transição, digamos, por exemplo, da órbita m para a órbita n , é,

.

As equações acima são generalização fracionária do modelo de Bohr. No caso Gaussiano especial, quando ( α  = 2) essas equações nos fornecem os resultados bem conhecidos do modelo de Bohr .

O infinito potencial bem

Uma partícula em um poço unidimensional se move em um campo potencial , que é zero para e que é infinito em outros lugares,

 

 

 

 

( i )

 

 

 

 

( ii )

 

 

 

 

( iii )

É evidente a priori que o espectro de energia será discreto. A solução da equação de Schrödinger fracionária para o estado estacionário com energia E bem definida é descrita por uma função de onda , que pode ser escrita como

onde , agora é independente do tempo. Nas regiões ( i ) e ( iii ), a equação de Schrödinger fracionária pode ser satisfeita apenas se tomarmos . Na região intermediária ( ii ), a equação de Schrödinger fracionária independente do tempo é (ver, Ref. [6]).

Esta equação define as funções de onda e o espectro de energia dentro da região ( ii ), enquanto fora da região (ii), x  <- a e x  >  a , as funções de onda são zero. A função de onda deve ser contínua em todos os lugares, portanto, impomos as condições de contorno para as soluções da equação de Schrödinger fracionária independente do tempo (ver Ref. [6]). Então, a solução na região ( ii ) pode ser escrita como

Para satisfazer as condições de contorno, temos que escolher

e

Segue-se da última equação que

Então, a solução uniforme ( sob reflexão ) da equação de Schrödinger fracionária independente do tempo no poço de potencial infinito é

A solução ímpar ( sob reflexão ) da equação de Schrödinger fracionária independente do tempo no poço de potencial infinito é

As soluções e têm a propriedade de que

onde está o símbolo Kronecker e

Os valores próprios da partícula em um poço de potencial infinito são (ver, Ref. [6])

É óbvio que no caso gaussiano ( α  = 2) as equações acima são ö transformadas nas equações da mecânica quântica padrão para uma partícula em uma caixa (por exemplo, consulte a Eq. (20.7) em)

O estado de energia mais baixa, o estado fundamental , no poço de potencial infinito é representado por em n = 1,

e sua energia é

Oscilador quântico fracionário

O oscilador quântico fracionário introduzido por Nick Laskin (ver, Ref. [2]) é o modelo mecânico quântico fracionário com o operador hamiltoniano definido como

onde q é uma constante de interação.

A equação de Schrödinger fracionária para a função de onda do oscilador quântico fracionário é,

Com o objetivo de buscar solução na forma

chegamos à equação fracionária de Schrödinger independente do tempo,

O Hamiltoniano é a generalização fracionária do oscilador harmônico quântico 3D Hamiltoniano da mecânica quântica padrão.

Níveis de energia do oscilador quântico fracionário 1D em aproximação semiclássica

Os níveis de energia do oscilador quântico fracionário 1D com a função hamiltoniana foram encontrados na aproximação semiclássica (ver, Ref. [2]).

Definimos a energia total igual a E , de modo que

donde

Nos pontos de inflexão . Conseqüentemente, o movimento clássico é possível no intervalo .

Um uso rotineiro da regra de quantização de Bohr-Sommerfeld produz

onde a notação significa a integral ao longo de um período completo do movimento clássico e é o ponto de viragem do movimento clássico.

Para avaliar a integral na mão direita, introduzimos uma nova variável . Então nós temos

A integral sobre dy pode ser expressa em termos da função Beta ,

Portanto,

A equação acima fornece os níveis de energia dos estados estacionários para o oscilador quântico fracionário 1D (consulte, Ref. [2]),

Esta equação é a generalização da conhecida equação dos níveis de energia do oscilador harmônico quântico padrão (ver, Ref. [7]) e é transformada nela em α  = 2 e β  = 2. Segue-se desta equação que na energia os níveis são equidistantes. Quando e os níveis de energia equidistantes podem ser para α  = 2 e β  = 2 apenas. Isso significa que o único oscilador harmônico quântico padrão tem um espectro de energia equidistante .

Mecânica quântica fracionária em sistemas de estado sólido

A massa efetiva de estados em sistemas de estado sólido pode depender do vetor de onda k, ou seja, formalmente considera-se m = m (k). Os modos de condensado Polariton Bose-Einstein são exemplos de estados em sistemas de estado sólido com massa sensível a variações e localmente na mecânica quântica k fracionária é experimentalmente viável [1] .

Feixes de autoaceleração

Feixes de autoaceleração, como o feixe de Airy , são soluções conhecidas da equação de Schrödinger livre convencional (com e sem termo de potencial). Soluções equivalentes existem na equação de Schrödinger fracionária livre. A equação fracionária de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento (assumindo e com uma coordenada espacial) é:

.

No espaço de posição, um feixe de Airy é normalmente expresso usando a função especial de Airy , embora possua uma expressão mais transparente no espaço de momento:

Aqui, a função exponencial garante a integrabilidade quadrática da função de onda , ou seja, que o feixe possui uma energia finita, para ser uma solução física. O parâmetro controla o corte exponencial na cauda da viga, enquanto o parâmetro controla a largura dos picos no espaço de posição. A solução do feixe de Airy para a equação fracionária de Schrödinger no espaço de momento é obtida a partir da integração simples da equação acima e da condição inicial:

Esta solução acelera a uma taxa proporcional a . Ao tomar para a equação de Schrödinger convencional, recupera-se a solução original do feixe de Airy com uma aceleração parabólica ( ).

Veja também

Referências

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  5. ^ SG Samko, AA Kilbas e OI Marichev, Fractional Integrals and Derivatives, Theory and Applications ~ Gordon and Breach, Amsterdam, 1993
  6. ^ Laskin, Nick (18 de novembro de 2002). "Equação de Schrödinger fracionária". Physical Review E . 66 (5): 056108. arXiv : quant-ph / 0206098 . Bibcode : 2002PhRvE..66e6108L . doi : 10.1103 / physreve.66.056108 . ISSN  1063-651X . PMID  12513557 . S2CID  7520956 .
  7. ^ SG Samko, AA Kilbas e OI Marichev, Fractional Integrals and Derivatives, Theory and Applications ~ Gordon and Breach, Amsterdam, 1993
  8. ^ Laskin, Nick (1 de agosto de 2000). "Mecânica quântica fracionada". Physical Review E . American Physical Society (APS). 62 (3): 3135–3145. arXiv : 0811.1769 . Bibcode : 2000PhRvE..62.3135L . doi : 10.1103 / physreve.62.3135 . ISSN  1063-651X . PMID  11088808 . S2CID  15480739 .
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Leitura adicional