Fractal -Fractal
Em matemática , um fractal é uma forma geométrica contendo estrutura detalhada em escalas arbitrariamente pequenas, geralmente tendo uma dimensão fractal estritamente excedendo a dimensão topológica . Muitos fractais parecem semelhantes em várias escalas, conforme ilustrado em ampliações sucessivas do conjunto de Mandelbrot . Essa exibição de padrões semelhantes em escalas cada vez menores é chamada de autossimilaridade , também conhecida como simetria em expansão ou simetria em desdobramento; se essa replicação for exatamente a mesma em todas as escalas, como na esponja de Menger , a forma é chamada de autossimilar afim . A geometria fractal está dentro do ramo matemático da teoria da medida .
Uma maneira pela qual os fractais são diferentes das figuras geométricas finitas é como eles escalam . Dobrar os comprimentos das arestas de um polígono preenchido multiplica sua área por quatro, que é dois (a razão entre o novo e o antigo comprimento lateral) elevado à potência de dois (a dimensão convencional do polígono preenchido). Da mesma forma, se o raio de uma esfera preenchida for dobrado, seu volume aumentará em oito, que é dois (a razão entre o novo e o antigo raio) elevado a três (a dimensão convencional da esfera preenchida). No entanto, se os comprimentos unidimensionais de um fractal forem todos dobrados, o conteúdo espacial das escalas fractais por uma potência que não é necessariamente um número inteiro e é geralmente maior que sua dimensão convencional. Esse poder é chamado de dimensão fractal do objeto geométrico, para distingui-lo da dimensão convencional (que é formalmente chamada de dimensão topológica ).
Analiticamente, muitos fractais não são diferenciáveis em nenhum lugar . Uma curva fractal infinita pode ser concebida como serpenteando pelo espaço de maneira diferente de uma linha comum - embora ainda seja topologicamente unidimensional , sua dimensão fractal indica que ela preenche localmente o espaço com mais eficiência do que uma linha comum.
Começando no século 17 com noções de recursão , os fractais passaram por um tratamento matemático cada vez mais rigoroso para o estudo de funções contínuas , mas não diferenciáveis no século 19 pelo trabalho seminal de Bernard Bolzano , Bernhard Riemann e Karl Weierstrass , e para o cunhagem da palavra fractal no século 20 com um subsequente aumento do interesse em fractais e modelagem baseada em computador no século 20.
Há alguma discordância entre os matemáticos sobre como o conceito de fractal deve ser formalmente definido. O próprio Mandelbrot o resumiu como "bonito, extremamente difícil, cada vez mais útil. Isso é fractal". Mais formalmente, em 1982, Mandelbrot definiu fractal da seguinte forma: "Um fractal é, por definição, um conjunto para o qual a dimensão Hausdorff-Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica ." Mais tarde, vendo isso como muito restritivo, ele simplificou e expandiu a definição para: "Um fractal é uma forma geométrica irregular ou fragmentada que pode ser dividida em partes, cada uma das quais é (pelo menos aproximadamente) uma cópia em tamanho reduzido do todo." Ainda mais tarde, Mandelbrot propôs "usar fractal sem uma definição pedante, usar dimensão fractal como um termo genérico aplicável a todas as variantes".
O consenso entre os matemáticos é que os fractais teóricos são construções matemáticas iteradas e detalhadas infinitamente autossimilares , das quais muitos exemplos foram formulados e estudados. Os fractais não se limitam a padrões geométricos, mas também podem descrever processos no tempo. Padrões fractais com vários graus de autossimilaridade foram reproduzidos ou estudados em mídia visual, física e auditiva e encontrados na natureza , tecnologia , arte , arquitetura e direito . Os fractais são de particular relevância no campo da teoria do caos porque aparecem nas representações geométricas da maioria dos processos caóticos (normalmente como atratores ou como limites entre bacias de atração).
Etimologia
O termo "fractal" foi cunhado pelo matemático Benoît Mandelbrot em 1975. Mandelbrot baseou-o no latim frāctus , que significa "quebrado" ou "fraturado", e o usou para estender o conceito de dimensões fracionárias teóricas a padrões geométricos na natureza .
Introdução
A palavra "fractal" geralmente tem conotações diferentes para o público leigo em oposição aos matemáticos, onde o público provavelmente está mais familiarizado com a arte fractal do que com o conceito matemático. O conceito matemático é difícil de definir formalmente, mesmo para matemáticos, mas as principais características podem ser compreendidas com um pouco de conhecimento matemático.
A característica de "auto-semelhança", por exemplo, é facilmente entendida por analogia com o zoom com uma lente ou outro dispositivo que amplia as imagens digitais para revelar uma nova estrutura mais fina, anteriormente invisível. Se isso for feito em fractais, no entanto, nenhum novo detalhe aparecerá; nada muda e o mesmo padrão se repete continuamente, ou para alguns fractais, quase o mesmo padrão reaparece continuamente. A autossimilaridade em si não é necessariamente contra-intuitiva (por exemplo, as pessoas têm ponderado sobre a autossimilaridade informalmente, como na regressão infinita em espelhos paralelos ou no homúnculo , o homenzinho dentro da cabeça do homenzinho dentro da cabeça...) . A diferença para os fractais é que o padrão reproduzido deve ser detalhado.
Essa ideia de detalhamento está relacionada a outra característica que pode ser entendida sem muita base matemática: ter uma dimensão fractal maior que sua dimensão topológica, por exemplo, refere-se a como um fractal escala em comparação com a forma como as formas geométricas são normalmente percebidas. Uma linha reta, por exemplo, é convencionalmente entendida como unidimensional; se tal figura for recolocada em pedaços cada um com 1/3 do comprimento do original, então sempre haverá três pedaços iguais. Um quadrado sólido é entendido como bidimensional; se tal figura for recolocada em pedaços, cada um reduzido por um fator de 1/3 em ambas as dimensões, haverá um total de 3 2 = 9 pedaços.
Vemos que, para objetos autossimilares comuns, ser n-dimensional significa que, quando ele é dividido em pedaços, cada um reduzido por um fator de escala de 1/r, há um total de r n pedaços. Agora, considere a curva de Koch . Ele pode ser dividido em quatro subcópias, cada uma reduzida por um fator de escala de 1/3. Então, estritamente por analogia, podemos considerar a "dimensão" da curva de Koch como sendo o único número real D que satisfaz 3 D = 4. Esse número é chamado de dimensão fractal da curva de Koch; não é a dimensão convencionalmente percebida de uma curva. Em geral, uma propriedade chave dos fractais é que a dimensão fractal difere da dimensão convencionalmente entendida (formalmente chamada de dimensão topológica).
Isso também leva à compreensão de uma terceira característica, que os fractais como equações matemáticas "não são diferenciáveis em nenhum lugar ". Em um sentido concreto, isso significa que os fractais não podem ser medidos de maneira tradicional. Para elaborar, ao tentar encontrar o comprimento de uma curva ondulada não fractal, pode-se encontrar segmentos retos de alguma ferramenta de medição pequena o suficiente para colocar ponta a ponta sobre as ondas, onde as peças podem ficar pequenas o suficiente para serem consideradas em conformidade com a curva da maneira normal de medir com uma fita métrica. Mas, ao medir uma curva fractal infinitamente "ondulada", como o floco de neve de Koch, nunca se encontraria um segmento reto pequeno o suficiente para se adequar à curva, porque o padrão irregular sempre reapareceria, em escalas arbitrariamente pequenas, essencialmente puxando um pouco mais da fita métrica no comprimento total medido cada vez que se tentava ajustá-la cada vez mais à curva. O resultado é que é preciso uma fita infinita para cobrir perfeitamente toda a curva, ou seja, o floco de neve tem um perímetro infinito.
História
A história dos fractais traça um caminho desde principalmente estudos teóricos até aplicações modernas em computação gráfica , com várias pessoas notáveis contribuindo com formas fractais canônicas ao longo do caminho. Um tema comum na arquitetura africana tradicional é o uso da escala fractal, em que pequenas partes da estrutura tendem a parecer semelhantes a partes maiores, como uma vila circular feita de casas circulares. Segundo Pickover , a matemática por trás dos fractais começou a tomar forma no século XVII, quando o matemático e filósofo Gottfried Leibniz ponderou a autossimilaridade recursiva (embora tenha cometido o erro de pensar que apenas a linha reta era autossimilar nesse sentido).
Em seus escritos, Leibniz usou o termo "expoentes fracionários", mas lamentou que a "Geometria" ainda não os conhecesse. De fato, de acordo com vários relatos históricos, depois desse ponto poucos matemáticos abordaram as questões e o trabalho daqueles que o fizeram permaneceu obscuro em grande parte devido à resistência a tais conceitos emergentes desconhecidos, que às vezes eram chamados de "monstros" matemáticos. Assim, não foi até que dois séculos se passaram que em 18 de julho de 1872 Karl Weierstrass apresentou a primeira definição de uma função com um gráfico que hoje seria considerado um fractal, tendo a propriedade não intuitiva de ser contínuo em todos os lugares , mas não diferenciável em nenhum lugar. Academia Real Prussiana de Ciências.
Além disso, a diferença do quociente torna-se arbitrariamente grande à medida que o índice de soma aumenta. Pouco tempo depois, em 1883, Georg Cantor , que assistiu às palestras de Weierstrass, publicou exemplos de subconjuntos da reta real conhecidos como conjuntos de Cantor , que tinham propriedades incomuns e agora são reconhecidos como fractais. Também na última parte daquele século, Felix Klein e Henri Poincaré introduziram uma categoria de fractal que veio a ser chamada de fractais "auto-inversos".
Um dos próximos marcos ocorreu em 1904, quando Helge von Koch , ampliando as ideias de Poincaré e insatisfeito com a definição abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica, incluindo imagens desenhadas à mão de uma função semelhante, que agora é chamada de floco de neve de Koch . Outro marco veio uma década depois, em 1915, quando Wacław Sierpiński construiu seu famoso triângulo e, um ano depois, seu tapete . Em 1918, dois matemáticos franceses, Pierre Fatou e Gaston Julia , embora trabalhando de forma independente, chegaram essencialmente simultaneamente a resultados que descrevem o que agora é visto como comportamento fractal associado ao mapeamento de números complexos e funções iterativas e levando a novas ideias sobre atratores e repulsores (ou seja, pontos que atraem ou repelem outros pontos), que se tornaram muito importantes no estudo dos fractais.
Logo após a apresentação desse trabalho, em março de 1918, Felix Hausdorff expandiu a definição de "dimensão", significativamente para a evolução da definição de fractais, para permitir que conjuntos tivessem dimensões não inteiras. A ideia de curvas autossimilares foi levada adiante por Paul Lévy , que, em seu artigo de 1938 Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole , descreveu uma nova curva fractal, a curva Lévy C.
Diferentes pesquisadores postularam que, sem a ajuda da computação gráfica moderna, os primeiros investigadores estavam limitados ao que podiam representar em desenhos manuais, por isso não tinham os meios para visualizar a beleza e apreciar algumas das implicações de muitos dos padrões que haviam descoberto (o O conjunto de Julia, por exemplo, só pode ser visualizado por meio de algumas iterações como desenhos muito simples). Isso mudou, no entanto, na década de 1960, quando Benoit Mandelbrot começou a escrever sobre autossimilaridade em artigos como How Long Is the Coast of Britain? Auto-semelhança estatística e dimensão fracionária , que se baseou em trabalhos anteriores de Lewis Fry Richardson .
Em 1975, Mandelbrot solidificou centenas de anos de pensamento e desenvolvimento matemático ao cunhar a palavra "fractal" e ilustrou sua definição matemática com impressionantes visualizações construídas por computador. Essas imagens, como a de seu conjunto canônico de Mandelbrot , capturaram a imaginação popular; muitos deles foram baseados em recursão, levando ao significado popular do termo "fractal".
Em 1980, Loren Carpenter fez uma apresentação no SIGGRAPH , onde apresentou seu software para gerar e renderizar paisagens geradas fractalmente.
Definição e características
Uma descrição frequentemente citada que Mandelbrot publicou para descrever fractais geométricos é "uma forma geométrica irregular ou fragmentada que pode ser dividida em partes, cada uma das quais é (pelo menos aproximadamente) uma cópia em tamanho reduzido do todo"; isso geralmente é útil, mas limitado. Os autores discordam sobre a definição exata de fractal , mas geralmente elaboram as ideias básicas de autossimilaridade e a relação incomum que os fractais têm com o espaço em que estão inseridos.
Um ponto aceito é que os padrões fractais são caracterizados por dimensões fractais , mas enquanto esses números quantificam a complexidade (ou seja, detalhes variáveis com a escala variável), eles não descrevem nem especificam detalhes de como construir padrões fractais específicos. Em 1975, quando Mandelbrot cunhou a palavra "fractal", ele o fez para denotar um objeto cuja dimensão Hausdorff-Besicovitch é maior que sua dimensão topológica . No entanto, esse requisito não é atendido por curvas de preenchimento de espaço , como a curva de Hilbert .
Por causa do problema envolvido em encontrar uma definição para fractais, alguns argumentam que os fractais não devem ser estritamente definidos. De acordo com Falconer , os fractais devem ser apenas geralmente caracterizados por uma gestalt das seguintes características;
- Autossimilaridade, que pode incluir:
- Autossimilaridade exata: idêntico em todas as escalas, como o floco de neve de Koch
- Quase autossimilaridade: aproxima o mesmo padrão em diferentes escalas; pode conter pequenas cópias de todo o fractal em formas distorcidas e degeneradas; por exemplo, os satélites do conjunto de Mandelbrot são aproximações do conjunto inteiro, mas não cópias exatas.
- Autossimilaridade estatística: repete um padrão estocasticamente, de modo que as medidas numéricas ou estatísticas sejam preservadas nas escalas; por exemplo, fractais gerados aleatoriamente como o exemplo bem conhecido do litoral da Grã-Bretanha para o qual não se esperaria encontrar um segmento escalado e repetido tão bem quanto a unidade repetida que define fractais como o floco de neve de Koch.
- Autossimilaridade qualitativa: como em uma série temporal
- Escala multifractal : caracterizada por mais de uma dimensão fractal ou regra de escala
- Estrutura fina ou detalhada em escalas arbitrariamente pequenas. Uma consequência dessa estrutura é que os fractais podem ter propriedades emergentes (relacionadas ao próximo critério nesta lista).
- Irregularidade local e global que não pode ser facilmente descrita na linguagem da geometria euclidiana tradicional , a não ser como o limite de uma sequência de estágios definida recursivamente . Para imagens de padrões fractais, isso foi expresso por frases como "superfícies empilhadas suavemente" e "redemoinhos sobre redemoinhos"; consulte Técnicas comuns para geração de fractais .
Como um grupo, esses critérios formam diretrizes para excluir certos casos, como aqueles que podem ser auto-semelhantes sem ter outras características tipicamente fractais. Uma linha reta, por exemplo, é auto-semelhante, mas não fractal porque carece de detalhes e é facilmente descrita na linguagem euclidiana sem necessidade de recursão.
Técnicas comuns para gerar fractais
Imagens de fractais podem ser criadas por programas geradores de fractais . Por causa do efeito borboleta , uma pequena mudança em uma única variável pode ter um resultado imprevisível .
- Sistemas de funções iteradas (IFS) – usam regras de substituição geométrica fixa; pode ser estocástico ou determinístico; por exemplo, floco de neve Koch , conjunto Cantor , tapete Haferman , tapete Sierpinski , gaxeta Sierpinski , curva Peano , curva dragão Harter-Heighway , quadrado T , esponja Menger
- Atratores estranhos – usam iterações de um mapa ou soluções de um sistema de diferencial de valor inicial ou equações de diferenças que exibem caos (por exemplo, veja a imagem multifractal ou o mapa logístico )
- L-systems – usam reescrita de strings; podem se assemelhar a padrões de ramificação, como em plantas, células biológicas (por exemplo, neurônios e células do sistema imunológico), vasos sanguíneos, estrutura pulmonar, etc. ou padrões gráficos de tartaruga, como curvas e ladrilhosque preenchem o espaço
- Fractais de tempo de fuga – usam uma fórmula ou relação de recorrência em cada ponto de um espaço (como o plano complexo ); geralmente quase auto-semelhantes; também conhecidos como fractais de "órbita"; por exemplo, o conjunto de Mandelbrot , conjunto de Julia , fractal Burning Ship , fractal Nova e fractal Lyapunov . Os campos vetoriais 2D que são gerados por uma ou duas iterações de fórmulas de tempo de fuga também dão origem a uma forma fractal quando pontos (ou dados de pixel) são passados repetidamente por esse campo.
- Fractais aleatórios – usam regras estocásticas; por exemplo, vôo de Lévy , aglomerados de percolação , caminhadas autoevitadas , paisagens fractais , trajetórias de movimento browniano e a árvore browniana (isto é, fractais dendríticos gerados por modelagem de agregação limitada por difusão ou aglomerados de agregação limitados por reação).
- Regras de subdivisão finita – usam um algoritmo topológico recursivo para refinar ladrilhos e são semelhantes ao processo de divisão celular . Os processos iterativos usados na criação do conjunto de Cantor e do tapete de Sierpinski são exemplos de regras de subdivisão finita, assim como a subdivisão baricêntrica .
Formulários
Fractais simulados
Os padrões fractais foram modelados extensivamente, embora dentro de uma gama de escalas em vez de infinitamente, devido aos limites práticos do tempo e espaço físicos. Os modelos podem simular fractais teóricos ou fenômenos naturais com características fractais . As saídas do processo de modelagem podem ser renderizações altamente artísticas, saídas para investigação ou referências para análise fractal . Algumas aplicações específicas dos fractais à tecnologia estão listadas em outro lugar . As imagens e outras saídas de modelagem são normalmente chamadas de "fractais", mesmo que não tenham características estritamente fractais, como quando é possível ampliar uma região da imagem fractal que não exibe nenhuma propriedade fractal. Além disso, eles podem incluir artefatos de cálculo ou exibição que não são característicos de fractais verdadeiros.
Os fractais modelados podem ser sons, imagens digitais, padrões eletroquímicos, ritmos circadianos , etc. Os padrões fractais foram reconstruídos no espaço físico tridimensional e virtualmente, muitas vezes chamados de modelagem " in silico ". Modelos de fractais são geralmente criados usando software gerador de fractais que implementa técnicas como as descritas acima. Como uma ilustração, árvores, samambaias, células do sistema nervoso, sangue e vasculatura pulmonar e outros padrões de ramificação na natureza podem ser modelados em um computador usando algoritmos recursivos e técnicas de sistemas L.
A natureza recursiva de alguns padrões é óbvia em certos exemplos - um galho de uma árvore ou uma folhagem de uma samambaia é uma réplica em miniatura do todo: não idêntico, mas de natureza semelhante. Da mesma forma, fractais aleatórios têm sido usados para descrever/criar muitos objetos altamente irregulares do mundo real. Uma limitação da modelagem de fractais é que a semelhança de um modelo fractal com um fenômeno natural não prova que o fenômeno que está sendo modelado é formado por um processo semelhante aos algoritmos de modelagem.
Fenômenos naturais com características fractais
Fractais aproximados encontrados na natureza exibem autossimilaridade em faixas de escala estendidas, mas finitas. A conexão entre fractais e folhas, por exemplo, está sendo usada atualmente para determinar quanto carbono está contido nas árvores. Fenômenos conhecidos por terem características fractais incluem:
- citoesqueleto de actina
- Algas
- Padrões de coloração de animais
- Vasos sanguíneos e vasos pulmonares
- Movimento browniano (gerado por um processo unidimensional de Wiener ).
- Nuvens e áreas de chuva
- litorais
- Crateras
- cristais
- DNA
- Grãos de poeira
- Terremotos
- Linhas de falha
- óptica geométrica
- Frequência cardíaca
- Sons do coração
- Margens e áreas do lago
- relâmpagos _
- chifres de cabra da montanha
- Polímeros
- Percolação
- Cordilheiras
- ondas do oceano
- Abacaxi
- Proteínas
- experiência psicodélica
- Células de Purkinje
- anéis de saturno
- redes fluviais
- brócolis romanesco
- flocos de neve
- poros do solo
- Superfícies em fluxos turbulentos
- árvores
Um fractal é formado ao separar duas folhas de acrílico cobertas de cola
A quebra de alta voltagem dentro de um bloco de vidro acrílico de 4 pol. (100 mm) cria uma figura fractal de Lichtenberg
Romanesco brócolis , mostrando forma auto-semelhante aproximando um fractal natural
Molde limoso Brefeldia maxima crescendo fractalmente na madeira
Fractais em biologia celular
Os fractais geralmente aparecem no reino dos organismos vivos, onde surgem por meio de processos de ramificação e outras formações de padrões complexos. Ian Wong e colegas de trabalho mostraram que as células migratórias podem formar fractais por agrupamento e ramificação . As células nervosas funcionam por meio de processos na superfície da célula, com fenômenos que são aprimorados pelo grande aumento da relação entre a superfície e o volume. Como consequência, as células nervosas frequentemente se formam em padrões fractais. Esses processos são cruciais na fisiologia celular e em diferentes patologias .
Múltiplas estruturas subcelulares também são encontradas reunidas em fractais. Diego Krapf mostrou que, por meio de processos de ramificação, os filamentos de actina nas células humanas se agrupam em padrões fractais. Da mesma forma, Matthias Weiss mostrou que o retículo endoplasmático exibe características fractais. O entendimento atual é que os fractais são onipresentes na biologia celular, de proteínas a organelas e células inteiras.
Em trabalhos criativos
Desde 1999, vários grupos científicos realizaram análises fractais em mais de 50 pinturas criadas por Jackson Pollock , derramando tinta diretamente em telas horizontais.
Recentemente, a análise fractal foi usada para alcançar uma taxa de sucesso de 93% em distinguir Pollocks reais de imitações. Neurocientistas cognitivos mostraram que os fractais de Pollock induzem a mesma redução de estresse em observadores que os fractais gerados por computador e os fractais da Natureza.
Decalcomania , uma técnica usada por artistas como Max Ernst , pode produzir padrões semelhantes a fractais. Envolve pressionar tinta entre duas superfícies e separá-las.
O ciberneticista Ron Eglash sugeriu que a geometria fractal e a matemática são predominantes na arte africana , jogos, adivinhação , comércio e arquitetura. Casas circulares aparecem em círculos de círculos, casas retangulares em retângulos de retângulos e assim por diante. Esses padrões de escala também podem ser encontrados em tecidos africanos, esculturas e até penteados trançados. Hokky Situngkir também sugeriu propriedades semelhantes na arte tradicional indonésia, batik e ornamentos encontrados em casas tradicionais.
O etnomatemático Ron Eglash discutiu o layout planejado da cidade de Benin usando fractais como base, não apenas na própria cidade e nas aldeias, mas também nos cômodos das casas. Ele comentou que "quando os europeus chegaram pela primeira vez à África, eles consideravam a arquitetura muito desorganizada e, portanto, primitiva. Nunca lhes ocorreu que os africanos pudessem estar usando uma forma de matemática que ainda não haviam descoberto."
Em uma entrevista de 1996 com Michael Silverblatt , David Foster Wallace admitiu que a estrutura do primeiro rascunho de Infinite Jest que ele deu a seu editor Michael Pietsch foi inspirada por fractais, especificamente o triângulo de Sierpinski (também conhecido como junta de Sierpinski), mas que o romance editado é "mais como um Sierpinsky Gasket torto".
Algumas obras do artista holandês MC Escher , como Circle Limit III , contêm formas repetidas ao infinito que se tornam cada vez menores à medida que se aproximam das bordas, em um padrão que sempre pareceria o mesmo se ampliado.
Uma chama fractal
Respostas fisiológicas
Os humanos parecem estar especialmente bem adaptados para processar padrões fractais com valores D entre 1,3 e 1,5. Quando os humanos visualizam padrões fractais com valores D entre 1,3 e 1,5, isso tende a reduzir o estresse fisiológico.
Aplicações em tecnologia
- antenas fractais
- transistor fractal
- Trocadores de calor fractais
- Imagem digital
- Arquitetura
- Crescimento urbano
- Classificação das lâminas de histopatologia
- Paisagem Fractal ou Complexidade Litoral
- Detectando 'a vida como não a conhecemos' por análise fractal
- Enzimas ( cinética de Michaelis-Menten )
- Geração de novas músicas
- Compressão de sinal e imagem
- Criação de ampliações fotográficas digitais
- Fractal na mecânica dos solos
- Projeto de computador e videogame
- computação gráfica
- ambientes orgânicos
- Geração processual
- Fractografia e mecânica da fratura
- Teoria de espalhamento de ângulo pequeno de sistemas fractalmente rugosos
- T-shirts e outras modas
- Geração de padrões para camuflagem, como MARPAT
- relógio de sol digital
- Análise técnica de séries de preços
- Fractais em redes
- Medicamento
- neurociência
- Diagnóstico por imagem
- Patologia
- Geologia
- Geografia
- Arqueologia
- Mecânica dos Solos
- Sismologia
- Busca e resgate
- Análise técnica
- Curvas de preenchimento de espaço de ordem Morton para coerência de cache de GPU em mapeamento de textura , rasterização e indexação de dados de turbulência.
Veja também
- Teorema do ponto fixo de Banach
- teoria da bifurcação
- Contagem de caixa
- Cimática
- Determinismo
- Algoritmo quadrado de diamante
- efeito Droste
- Função de Feigenbaum
- Constante de forma
- cosmologia fractal
- Fractal derivado
- Grade Fractal
- sequência fractal
- Fração
- enxerto
- Greeble
- regressão infinita
- lacunaridade
- Lista de fractais por dimensão de Hausdorff
- Mandelbulb
- Mandelbox
- Macrocosmo e microcosmo
- boneca Matryoshka
- Esponja Menger
- sistema multifractal
- fractal de newton
- Percolação
- Poder da lei
- Publicações em geometria fractal
- Caminhada aleatória
- Auto-referência
- autossimilaridade
- teoria dos sistemas
- Loop estranho
- Turbulência
- processo de salsicha
Notas
Referências
Leitura adicional
- Barnsley, Michael F.; e Rising, Hawley; Fractais em todos os lugares . Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
- Duarte, Alemão A.; Narrativa Fractal. Sobre a relação entre geometrias e tecnologia e seu impacto nos espaços narrativos . Bielefeld: Transcrição, 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6
- Falconer, Kenneth; Técnicas em Geometria Fractal . John Wiley and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0
- Jürgens, Hartmut; Peitgen, Heinz-Otto ; e Saupe, Dietmar; Caos e Fractais: Novas Fronteiras da Ciência . Nova York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4
- Mandelbrot, Benoit B .; A Geometria Fractal da Natureza . Nova York: WH Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
- Peitgen, Heinz-Otto; e Saupe, Dietmar; eds.; A ciência das imagens fractais . Nova York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0
- Pickover, Clifford A .; ed.; Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey – Uma Compilação de 10 Anos de Pesquisa Avançada . Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2
- Jones, Jesse; Fractals for the Macintosh , Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN 1-878739-46-8 .
- Lauwerier, Hans; Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures , traduzido por Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN 0-691-08551-X , pano. ISBN 0-691-02445-6 brochura. "Este livro foi escrito para um público amplo..." Inclui exemplos de programas BASIC em um apêndice.
- Sprott, Julien Clinton (2003). Caos e Análise de Séries Temporais . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-850839-7.
- Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; e Kampman, Eric; Explorando Fractais no Macintosh , Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6
- Lesmoir-Gordon, Nigel; As cores do infinito: a beleza, o poder e o sentido dos fractais . 2004. ISBN 1-904555-05-5 (O livro vem com um DVD relacionado da introdução do documentário de Arthur C. Clarke ao conceito fractal e ao conjunto de Mandelbrot .)
- Liu, Huajie; Fractal Art , Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN 9787535722348 .
- Gouyet, Jean-François; Física e Estruturas Fractais (Prefácio de B. Mandelbrot); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1 e Nova York: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0 . Fora de catálogo. Disponível em versão PDF em. "Física e Estruturas Fractais" (em francês). Jfgouyet.fr . Acesso em 17 de outubro de 2010 .
- Falconer, Kenneth (2013). Fractals, uma introdução muito curta . Imprensa da Universidade de Oxford.
links externos
- Fractais nos arquivos da Web da Biblioteca do Congresso (arquivado em 16 de novembro de 2001)
- Hunting the Hidden Dimension , PBS NOVA , exibido pela primeira vez em 24 de agosto de 2011
- Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness Arquivado em 17 de fevereiro de 2014, no Wayback Machine , TED , fevereiro de 2010
- Biblioteca técnica de fractais para controle de fluidos
- Equações de medida fractal autossimilar com base no cálculo de ordem fracionária (2007)