Óptica de Fourier - Fourier optics

A óptica de Fourier é o estudo da óptica clássica usando as transformadas de Fourier (FTs), em que a forma de onda considerada é considerada como composta de uma combinação, ou superposição , de ondas planas. Ele tem alguns paralelos com o princípio de Huygens – Fresnel , no qual a frente de onda é considerada como sendo composta por uma combinação de frentes de onda esféricas (também chamadas de frentes de fase) cuja soma é a frente de onda que está sendo estudada. Uma diferença fundamental é que a óptica de Fourier considera as ondas planas como modos naturais do meio de propagação, ao contrário de Huygens – Fresnel, onde as ondas esféricas se originam no meio físico.

Uma frente de fase curva pode ser sintetizada a partir de um número infinito desses "modos naturais", isto é, a partir de frentes de fase de ondas planas orientadas em diferentes direções no espaço. Longe de suas fontes, uma onda esférica em expansão é localmente tangente a uma frente de fase plana (uma única onda plana fora do espectro infinito), que é transversal à direção radial de propagação. Neste caso, um padrão de difração Fraunhofer é criado, que emana de um único centro de fase de onda esférica. No campo próximo, nenhum centro de fase de onda esférica bem definido existe, então a frente de onda não é localmente tangente a uma bola esférica. Nesse caso, seria criado um padrão de difração de Fresnel , que emana de uma fonte estendida , consistindo em uma distribuição de fontes de ondas esféricas (fisicamente identificáveis) no espaço. No campo próximo, um espectro completo de ondas planas é necessário para representar a onda do campo próximo de Fresnel, mesmo localmente . Uma onda "ampla" movendo-se para a frente (como uma onda do oceano em expansão vindo em direção à costa) pode ser considerada como um número infinito de " modos de onda plana ", todos os quais poderiam (quando colidem com algo no caminho) se espalhar independentemente de um de outros. Essas simplificações e cálculos matemáticos são o domínio da análise e síntese de Fourier - juntos, eles podem descrever o que acontece quando a luz passa por várias fendas, lentes ou espelhos curvados para um lado ou outro, ou é total ou parcialmente refletida.

A ótica de Fourier forma grande parte da teoria por trás das técnicas de processamento de imagem , além de encontrar aplicações onde a informação precisa ser extraída de fontes óticas, como na ótica quântica . Colocando de uma forma um pouco mais complexa, semelhante ao conceito de frequência e tempo usado na teoria da transformada de Fourier tradicional , a óptica de Fourier faz uso do domínio da frequência espacial ( k _x , k _y ) como o conjugado do espacial ( x , y ) domínio. Termos e conceitos como teoria de transformadas, espectro, largura de banda, funções de janela e amostragem de processamento de sinal unidimensional são comumente usados.

Propagação de luz em meio homogêneo e livre de fontes

A luz pode ser descrita como uma forma de onda que se propaga através de um espaço livre (vácuo) ou um meio material (como ar ou vidro). Matematicamente, um componente de valor real de um campo vetorial que descreve uma onda é representado por uma função de onda escalar u que depende do espaço e do tempo:

${\ displaystyle u = u (\ mathbf {r}, t)}$

Onde

${\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}$

representa uma posição em um espaço tridimensional (no sistema de coordenadas cartesiano aqui), e t representa o tempo.

A equação da onda

A óptica de Fourier começa com a equação de onda escalar homogênea (válida em regiões livres de fonte):

${\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial {t} ^ {2}}} \ direita) u (\ mathbf {r}, t) = 0.}$

onde é a velocidade da luz e u ( r , t ) é um componente cartesiano de valor real de uma onda eletromagnética que se propaga através de um espaço livre (por exemplo, u ( r , t ) = E _i ( r , t ) para i = x , y ou z onde E _i é o componente do eixo i de um campo elétrico E no sistema de coordenadas cartesianas ). ${\ displaystyle c}$

Estado estacionário sinusoidal

Se a luz de uma frequência fixa em tempo / comprimento de onda / cor (a partir de um laser monomodo) é assumida, então, com base na convenção de tempo de engenharia, que assume uma dependência de tempo em soluções de onda na frequência angular com onde é um tempo período das ondas, a forma harmônica do tempo do campo óptico é dada como ${\ displaystyle e ^ {i \ omega t}}$${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$${\ displaystyle f = 1 / \ tau}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle u (\ mathbf {r}, t) = \ mathrm {Re} \ left \ {\ psi (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t} \ right \}}$.

onde está a unidade imaginária , é o operador tomando a parte real de , ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ left \ {x \ right \}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

é a frequência angular (em radianos por unidade de tempo) de ondas de luz, e

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = a (\ mathbf {r}) e ^ {i \ phi (\ mathbf {r})}}$

é, em geral, uma quantidade complexa , com amplitude separada em número real não negativo e fase . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ phi}$

A equação de Helmholtz

Substituir esta expressão na equação de onda escalar acima produz a forma independente do tempo da equação de onda,

${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ left \ {\ left (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ right) \ psi (\ mathbf {r}) \ right \} = 0}$

Onde

${\ displaystyle k = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$

com o comprimento de onda no vácuo, é o número de onda (também chamado de constante de propagação), é a parte espacial de um componente cartesiano de valor complexo de uma onda eletromagnética. Observe que a constante de propagação e a frequência angular estão linearmente relacionadas entre si, uma característica típica das ondas eletromagnéticas transversais (TEM) em meios homogêneos. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ omega}$

Uma vez que a solução de valor real originalmente desejada da equação de onda escalar pode ser simplesmente obtida tomando a parte real de , resolver a seguinte equação, conhecida como a equação de Helmholtz , está principalmente preocupada em tratar uma função de valor complexo é muitas vezes muito mais fácil do que tratar a função de valor real correspondente. ${\ displaystyle u (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t}}$

${\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ right) \ psi (\ mathbf {r}) = 0}$.

Resolvendo a equação de Helmholtz

Soluções para a equação de Helmholtz no sistema de coordenadas cartesianas podem ser facilmente encontradas através do princípio de separação de variáveis para equações diferenciais parciais . Este princípio diz que em coordenadas ortogonais separáveis , uma solução de produto elementar para esta equação de onda pode ser construída da seguinte forma:

${\ displaystyle \ psi (x, y, z) = f_ {x} (x) \ vezes f_ {y} (y) \ vezes f_ {z} (z)}$

ou seja, como o produto de uma função de x , vezes uma função de y , vezes uma função de z . Se esta solução de produto elementar é substituída na equação de onda, usando o Laplaciano escalar no sistema de coordenadas cartesianas

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} { \ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial z ^ {2}}}}$

, então a seguinte equação para as 3 funções individuais é obtida

${\ displaystyle f '' _ {x} (x) f_ {y} (y) f_ {z} (z) + f_ {x} (x) f '' _ {y} (y) f_ {z} ( z) + f_ {x} (x) f_ {y} (y) f '' _ {z} (z) + k ^ {2} f_ {x} (x) f_ {y} (y) f_ {z } (z) = 0 \,}$

que é prontamente reorganizado na forma:

${\ displaystyle {\ frac {f '' _ {x} (x)} {f_ {x} (x)}} + {\ frac {f '' _ {y} (y)} {f_ {y} ( y)}} + {\ frac {f '' _ {z} (z)} {f_ {z} (z)}} + k ^ {2} = 0}$

Pode-se agora argumentar que cada quociente na equação acima deve, necessariamente, ser constante. Para justificar isso, digamos que o primeiro quociente não seja uma constante e seja uma função de x . Visto que nenhum dos outros termos na equação tem qualquer dependência da variável x , então o primeiro termo também não deve ter nenhuma dependência x ; deve ser uma constante. (Se o primeiro termo é uma função de x , então não há como fazer com que o lado esquerdo desta equação seja zero.) Essa constante é denotada como - k _x ². Raciocinando de maneira semelhante para os quocientes y e z , três equações diferenciais ordinárias são obtidas para f _x , f _y e f _z , juntamente com uma condição de separação :

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f_ {x} (x) + k_ {x} ^ {2} f_ {x} (x) = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} f_ {y} (y) + k_ {y} ^ {2} f_ {y} (y) = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} f_ {z} (z) + k_ {z} ^ {2} f_ {z} (z) = 0}$

${\ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$

Cada uma dessas 3 equações diferenciais tem a mesma forma de solução: senos, cossenos ou exponenciais complexas. Iremos com o exponencial complexo como sendo uma função complexa. Como resultado, a solução elementar do produto é ${\ displaystyle \ psi (x, y, z)}$${\ displaystyle \ psi (x, y, z)}$

${\ displaystyle \ psi (x, y, z) = Ae ^ {ik_ {x} x} e ^ {ik_ {y} y} e ^ {ik_ {z} z}}$

${\ displaystyle = Ae ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {ik_ {z} z}}$

${\ displaystyle = Ae ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {\ pm iz {\ sqrt {k ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y } ^ {2}}}}}$

com um número geralmente complexo . Esta solução é a parte espacial de um valor complexo componente cartesiano (por exemplo, , , ou como o componente do campo eléctrico ao longo de cada eixo do sistema de coordenadas cartesianas ) de uma onda plana de propagação. ( , ou ) é um número real aqui, uma vez que as ondas em um meio livre de fonte foram assumidas, de modo que cada onda plana não é decaída ou amplificada à medida que se propaga no meio. O sinal negativo de ( , , ou ) num vector de onda (em ) meios que o vector de onda direcção de propagação tem um positivo ( , , ou ) -component, enquanto que o sinal positivo de meios de um negativo ( , , ou ) de -component esse vetor. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$${\ displaystyle E_ {z}}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle i = x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle i = x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ vec {k}} = k_ {x} {\ widehat {x}} + k_ {y} {\ widehat {y}} + k_ {z} {\ widehat {z}}}$${\ displaystyle \ left \ vert {\ vec {k}} \ right \ vert = k = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i = x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i = x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

Soluções de produto para a equação de Helmholtz também são facilmente obtidas em coordenadas cilíndricas e esféricas , produzindo harmônicos cilíndricos e esféricos (com os sistemas de coordenadas separáveis ​​restantes sendo usados ​​com muito menos frequência).

A solução completa: a integral de superposição

Uma solução geral para a equação de onda eletromagnética homogênea em uma frequência de tempo fixa no sistema de coordenadas cartesianas pode ser formada como uma superposição ponderada de todas as soluções de ondas planas elementares possíveis como ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ psi (x, y, z) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0} (k_ { x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ e ^ {\ pm iz {\ sqrt {k ^ {2} -k_ {x} ^ { 2} -k_ {y} ^ {2}}}} ~ dk_ {x} dk_ {y} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2.1)}$

com as restrições de , cada um como um número real e onde . ${\ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle k = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

A seguir vamos

${\ displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ psi (x, y, z) | _ {z = 0}}$.

Então:

${\ displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0} ( k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ dk_ {x} dk_ {y}}$

Esta representação do espectro de onda plana de um campo eletromagnético geral (por exemplo, uma onda esférica) é a base básica da óptica de Fourier (este ponto não pode ser enfatizado com força suficiente), porque quando z = 0, a equação acima simplesmente se torna uma transformada de Fourier (FT ) relação entre o campo e seu conteúdo de onda plana (daí o nome, "óptica de Fourier").

Assim:

${\ displaystyle \ Psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) = {\ mathcal {F}} \ {\ psi _ {0} (x, y) \}}$

e

${\ displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {\ Psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) \}}$

Toda dependência espacial de cada componente de onda plana é descrita explicitamente por uma função exponencial. O coeficiente do exponencial é uma função de apenas dois componentes do vetor de onda para cada onda plana (uma vez que outro componente remanescente pode ser determinado por meio das restrições acima mencionadas), por exemplo , e , assim como na análise de Fourier comum e nas transformadas de Fourier . ${\ displaystyle k_ {x}}$${\ displaystyle k_ {y}}$

Conexão entre a óptica de Fourier e resolução de imagem

Vamos considerar um sistema de imagem onde o eixo z é o eixo óptico do sistema e o plano do objeto (a ser visualizado no plano da imagem do sistema) é o plano em . No plano do objeto, a parte espacial de um componente cartesiano de valor complexo de uma onda é, como mostrado acima, com as restrições de , cada um como um número real e onde . A imagem é a reconstrução de uma onda no plano do objeto (tendo informações sobre um padrão no plano do objeto a ser visualizado) no plano da imagem por meio da propagação de onda apropriada do objeto para os planos da imagem, (por exemplo, pense sobre a imagem de uma imagem em um espaço aéreo.) e a onda no plano do objeto, que segue totalmente o padrão a ser visualizado, é, em princípio, descrita pela transformada inversa de Fourier irrestrita, onde assume uma faixa infinita de números reais. Isso significa que, para uma determinada frequência de luz, apenas uma parte da característica completa do padrão pode ser representada por causa das restrições acima mencionadas ; (1) uma característica fina cuja representação na transformada de Fourier inversa requer frequências espaciais , onde os números de ondas transversais são satisfatórios , não pode ser totalmente visualizada, uma vez que ondas com tais não existem para a luz dada de (Este fenômeno é conhecido como o limite de difração .), e (2) frequências espaciais com, mas perto de ângulos de saída de onda muito mais elevados em relação ao eixo óptico, requerem um sistema de imagem de NA ( abertura numérica ) alto que é caro e difícil de construir. Para (1), mesmo que números de onda longitudinais de valor complexo sejam permitidos (por uma interação desconhecida entre a luz e o padrão do plano do objeto que geralmente é um material sólido), dá origem à decadência de luz ao longo do eixo (a amplificação de luz ao longo do eixo não fisicamente faz sentido se não houver material de amplificação entre o objeto e os planos da imagem, e este é um caso comum.) portanto, as ondas com tal podem não atingir o plano da imagem, que geralmente está suficientemente longe do plano do objeto. ${\ displaystyle \ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0} ( k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ dk_ {x} dk_ {y}}$${\ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle k = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}$${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$${\ displaystyle \ psi _ {0, unc} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0 } (k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ dk_ {x} dk_ {y}}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {\ displaystyle k_ {T}} {2 \ pi}}}$${\ displaystyle \ displaystyle k_ {T}}$${\ displaystyle \ displaystyle k_ {T} ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} \ geq k ^ {2}}$${\ displaystyle \ displaystyle k_ {T}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k_ {T} <k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k_ {z}}$${\ displaystyle k_ {z}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle k_ {z}}$

Em conexão com a fotolitografia de componentes eletrônicos, estes (1) e (2) são as razões pelas quais a luz de uma frequência mais alta (comprimento de onda menor, portanto, maior magnitude de ) ou um sistema de imagem NA superior é necessária para obter imagens de características mais finas de circuitos integrados em um fotorresiste em uma bolacha. Como resultado, as máquinas que realizam tal litografia óptica se tornaram cada vez mais complexas e caras, aumentando significativamente o custo de produção de componentes eletrônicos. ${\ displaystyle k}$

A aproximação paraxial

Propagação da onda paraxial (eixo óptico assumido como eixo z)

Uma solução para a equação de Helmholtz como a parte espacial de um componente cartesiano de valor complexo de uma onda de frequência única assume a forma:

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = A (\ mathbf {r}) e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}$

onde está o vetor de onda , e ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} = k_ {x} \ mathbf {x} + k_ {y} \ mathbf {y} + k_ {z} \ mathbf {z}}$

e

${\ displaystyle k = \ | \ mathbf {k} \ | = {\ sqrt {k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}}} = {\ ômega \ sobre c}}$

é o número da onda. Em seguida, use a aproximação paraxial , que é uma aproximação de pequeno ângulo, de modo que

${\ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} \ ll k_ {z} ^ {2}}$

então, até a aproximação de segunda ordem das funções trigonométricas (isto é, levando apenas até o segundo termo na expansão da série de Taylor de cada função trigonométrica),

${\ displaystyle \ sin \ theta \ approx \ theta}$

${\ displaystyle \ tan \ theta \ approx \ theta}$

${\ displaystyle \ cos \ theta \ approx 1- \ theta ^ {2} / 2}$

onde é o ângulo (em radianos) entre o vector de onda k e o eixo z, como o eixo óptico de um sistema óptico sob discussão. ${\ displaystyle \ theta}$

Como resultado,

${\ displaystyle k_ {z} = k \ cos \ theta \ approx k (1- \ theta ^ {2} / 2)}$

e

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) \ approx A (\ mathbf {r}) e ^ {- i (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {ikz \ theta ^ {2 } / 2} e ^ {- ikz}}$

A equação da onda paraxial

Substituindo esta expressão na equação de Helmholtz, a equação de onda paraxial é derivada:

${\ displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} A-2ik {\ parcial A \ over \ parcial z} = 0}$

Onde

${\ displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} = \ nabla ^ {2} - {\ parcial ^ {2} \ over \ parcial z ^ {2}} = {\ parcial ^ {2} \ over \ parcial x ^ {2}} + {\ parcial ^ {2} \ sobre \ parcial y ^ {2}}}$

é o operador transversal de Laplace no sistema de coordenadas cartesianas . Na derivação da equação de onda paraxial, as seguintes aproximações são usadas.

• ${\ displaystyle \ theta}$é pequeno ( ), portanto, um termo com é ignorado.${\ displaystyle \ theta \ ll 1}$${\ displaystyle \ theta ^ {2}}$
• Os termos com e são muito menores do que um termo com (ou ), portanto, esses dois termos são ignorados.${\ displaystyle 2k_ {x}}$${\ displaystyle 2k_ {y}}$${\ displaystyle 2k}$${\ displaystyle 2k_ {z}}$
• ${\ displaystyle \ left \ vert {\ frac {{\ partial} ^ {2}} {\ partial {{z} ^ {2}}}} A (\ mathbf {r}) \ right \ vert \ ll \ left \ vert k {\ frac {\ partial} {\ partial {z}}} A (\ mathbf {r}) \ right \ vert}$portanto, um termo com é ignorado. É a aproximação de envelope de variação lenta , significa que a amplitude ou envelope de uma onda está variando lentamente em comparação com o período principal da onda .${\ displaystyle {\ frac {{\ partial} ^ {2}} {\ partial {{z} ^ {2}}}} A (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle A (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}}$

A aproximação do campo distante

A equação acima pode ser avaliada assintoticamente no campo distante (usando o método da fase estacionária ) para mostrar que o campo no ponto distante ( x , y , z ) é de fato devido apenas ao componente de onda plana ( k _x , k _y , k _z ) que se propaga paralelamente ao vetor ( x , y , z ), e cujo plano é tangente à frente de fase em ( x , y , z ). Os detalhes matemáticos desse processo podem ser encontrados em Scott [1998] ou Scott [1990]. O resultado da realização de uma integração de fase estacionária na expressão acima é a seguinte expressão,

${\ displaystyle E_ {u} (r, \ theta, \ phi) ~ = ~ 2 \ pi i ~ (k ~ \ cos \ theta) ~ {\ frac {e ^ {- ikr}} {r}} ~ E_ {u} (k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, k ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi) ~~~~~~~~~~~~~ (2.2)}$

que indica claramente que o campo em (x, y, z) é diretamente proporcional ao componente espectral na direção de (x, y, z), onde,

${\ displaystyle x = r ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$

${\ displaystyle y = r ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}$

${\ displaystyle z = r ~ \ cos \ theta ~}$

e

${\ displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$

${\ displaystyle k_ {y} = k ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}$

${\ displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ theta ~}$

Dito de outra forma, o padrão de radiação de qualquer distribuição de campo planar é o FT dessa distribuição de fonte (ver princípio de Huygens-Fresnel , em que a mesma equação é desenvolvida usando uma abordagem de função de Green ). Observe que esta NÃO é uma onda plana. A dependência radial é uma onda esférica - tanto em magnitude quanto em fase - cuja amplitude local é o FT da distribuição do plano de origem naquele ângulo de campo distante. O espectro da onda plana não tem nada a ver com dizer que o campo se comporta algo como uma onda plana para longas distâncias. ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- ikr}} {r}}}$

Largura de banda espacial versus angular

A equação (2.2) acima é crítica para fazer a conexão entre a largura de banda espacial (por um lado) e a largura de banda angular (por outro), no campo distante. Observe que o termo "campo distante" geralmente significa que estamos falando de uma onda esférica convergente ou divergente com um centro de fase muito bem definido. A conexão entre a largura de banda espacial e angular no campo distante é essencial para a compreensão da propriedade de filtragem de passagem baixa das lentes finas. Consulte a seção 5.1.3 para a condição que define a região do campo distante.

Uma vez que o conceito de largura de banda angular é compreendido, o cientista óptico pode "pular para frente e para trás" entre os domínios espaciais e espectrais para obter rapidamente insights que normalmente não estariam tão prontamente disponíveis apenas através do domínio espacial ou considerações de óptica de raios apenas. Por exemplo, qualquer largura de banda de origem que esteja além do ângulo da borda da primeira lente (este ângulo da borda define a largura de banda do sistema óptico) não será capturada pelo sistema a ser processado.

Como uma nota lateral, os cientistas eletromagnéticos desenvolveram um meio alternativo para calcular o campo elétrico da zona distante que não envolve integração de fase estacionária. Eles criaram um conceito conhecido como "correntes magnéticas fictícias" geralmente denotadas por M , e definidas como

${\ displaystyle ~~ \ mathbf {M} ~ = ~ 2 \ mathbf {E} ^ {aper} ~ \ times ~ \ mathbf {\ hat {z}}}$.

Nesta equação, é assumido que o vetor unitário na direção z aponta para o meio-espaço onde os cálculos do campo distante serão feitos. Essas correntes magnéticas equivalentes são obtidas usando princípios de equivalência que, no caso de uma interface plana infinita, permitem que quaisquer correntes elétricas, J sejam "visualizadas" enquanto as correntes magnéticas fictícias são obtidas do dobro do campo elétrico de abertura (ver Scott [1998 ]). Em seguida, o campo elétrico irradiado é calculado a partir das correntes magnéticas usando uma equação semelhante à equação para o campo magnético irradiado por uma corrente elétrica. Desta forma, uma equação vetorial é obtida para o campo elétrico irradiado em termos do campo elétrico de abertura e a derivação não requer o uso de idéias de fase estacionária.

O espectro de ondas planas: a base da óptica de Fourier

A ótica de Fourier é um pouco diferente da ótica de raio comum normalmente usada na análise e projeto de sistemas de imagem focados, como câmeras, telescópios e microscópios. A ótica de raios é o primeiro tipo de ótica que a maioria de nós encontra em nossas vidas; é simples de conceituar e entender e funciona muito bem para obter uma compreensão básica de dispositivos ópticos comuns. Infelizmente, a óptica de raios não explica a operação dos sistemas ópticos de Fourier, que em geral não são sistemas focalizados. A óptica de raio é um subconjunto da óptica de onda (no jargão, é "o limite de comprimento de onda zero assintótico" da óptica de onda) e, portanto, tem aplicabilidade limitada. Precisamos saber quando é válido e quando não é - e este é um daqueles momentos em que não é. Para nossa tarefa atual, devemos expandir nossa compreensão dos fenômenos ópticos para abranger a óptica de onda, em que o campo óptico é visto como uma solução para as equações de Maxwell. Esta ótica de onda mais geral explica com precisão a operação dos dispositivos óticos de Fourier.

Nesta seção, não voltaremos às equações de Maxwell, mas começaremos com a equação de Helmholtz homogênea (válida em mídia livre de fonte), que é um nível de refinamento acima das equações de Maxwell (Scott [1998] ) A partir desta equação, mostraremos como ondas planas uniformes infinitas compreendem uma solução de campo (dentre muitas possíveis) no espaço livre. Essas ondas planas uniformes formam a base para a compreensão da óptica de Fourier.

O conceito de espectro de onda plana é a base da Fourier Optics. O espectro de onda plana é um espectro contínuo de ondas planas uniformes , e há um componente de onda plana no espectro para cada ponto tangente na frente de fase do campo distante. A amplitude desse componente de onda plana seria a amplitude do campo óptico naquele ponto tangente. Novamente, isso é verdade apenas no campo distante, definido como: Faixa = 2 D ² / λ onde D é a extensão linear máxima das fontes ópticas e λ é o comprimento de onda (Scott [1998]). O espectro de onda plana é freqüentemente considerado como sendo discreto para certos tipos de grades periódicas, embora, na realidade, os espectros de grades sejam contínuos também, uma vez que nenhum dispositivo físico pode ter a extensão infinita necessária para produzir um espectro de linha verdadeiro.

Como no caso de sinais elétricos, a largura de banda é uma medida de quão detalhada é uma imagem; quanto mais preciso for o detalhe, maior será a largura de banda necessária para representá-lo. Um sinal elétrico DC é constante e não tem oscilações; uma onda plana que se propaga paralelamente ao eixo óptico ( ) tem valor constante em qualquer plano x - y e, portanto, é análoga ao componente CC (constante) de um sinal elétrico. A largura de banda em sinais elétricos está relacionada à diferença entre as frequências mais altas e mais baixas presentes no espectro do sinal. Para sistemas ópticos , largura de banda também se relaciona ao conteúdo de frequência espacial (largura de banda espacial), mas também tem um significado secundário. Ele também mede a que distância do eixo óptico as ondas planas correspondentes são inclinadas e, portanto, esse tipo de largura de banda é freqüentemente referido também como largura de banda angular. É necessária mais largura de banda de frequência para produzir um pulso curto em um circuito elétrico e mais largura de banda angular (ou frequência espacial) para produzir um ponto agudo em um sistema óptico (consulte a discussão relacionada à função de propagação de ponto ). ${\ displaystyle z}$

O espectro de onda plana surge naturalmente como a autofunção ou solução de "modo natural" para a equação de onda eletromagnética homogênea em coordenadas retangulares (ver também radiação eletromagnética , que deriva a equação de onda das equações de Maxwell em mídia livre de fonte, ou Scott [1998]) . No domínio da frequência , com uma convenção de tempo assumida de , a equação de onda eletromagnética homogênea é conhecida como a equação de Helmholtz e assume a forma: ${\ displaystyle e ^ {i \ omega t}}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} E_ {u} + k ^ {2} E_ {u} = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~ (2.0)}$

onde u = x , y , z e k = 2π / λ é o número de onda do meio.

Soluções de autofunção (modo natural): histórico e visão geral

No caso das equações diferenciais, como no caso das equações matriciais, sempre que o lado direito de uma equação é zero (ou seja, a função forçadora / vetor forçante é zero), a equação ainda pode admitir uma solução não trivial, conhecido na matemática aplicada como uma solução de autofunção , na física como uma solução de "modo natural" e na teoria do circuito elétrico como a "resposta de entrada zero". Este é um conceito que abrange uma ampla gama de disciplinas físicas. Exemplos físicos comuns de modos naturais ressonantes incluiriam os modos vibracionais ressonantes de instrumentos de corda (1D), instrumentos de percussão (2D) ou a antiga Ponte Tacoma Narrows (3D). Exemplos de modos naturais de propagação incluem modos de guia de onda , modos de fibra óptica , solitons e ondas de Bloch . Meios homogêneos infinitos admitem as soluções harmônicas retangulares, circulares e esféricas para a equação de Helmholtz, dependendo do sistema de coordenadas em consideração. As ondas planas de propagação que estudaremos neste artigo são talvez o tipo mais simples de ondas de propagação encontradas em qualquer tipo de mídia.

Há uma semelhança notável entre a equação de Helmholtz (2.0) acima, que pode ser escrita

${\ displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) ~ f = 0,}$

e a equação usual para os autovalores / autovetores de uma matriz quadrada, A ,

${\ displaystyle (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I}) ~ \ mathbf {x} = 0}$ ,

particularmente, uma vez que o Laplaciano escalar e a matriz A são operadores lineares em seus respectivos espaços de função / vetor (o sinal de menos na segunda equação é, para todos os efeitos, imaterial; o sinal de mais na primeira equação, no entanto, é significativo ) Talvez valha a pena notar que ambas as soluções de autofunção e autovetor para essas duas equações, respectivamente, geralmente produzem um conjunto ortogonal de funções / vetores que abrangem (ou seja, formam um conjunto de base para) os espaços de função / vetor em consideração. O leitor interessado pode investigar outros operadores lineares funcionais que dão origem a diferentes tipos de autofunções ortogonais, como polinômios de Legendre , polinômios de Chebyshev e polinômios de Hermite . ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$

No caso da matriz, os valores próprios podem ser encontrados definindo o determinante da matriz igual a zero, ou seja, encontrando onde a matriz não tem inversa. Matrizes finitas têm apenas um número finito de autovalores / autovetores, enquanto os operadores lineares podem ter um número infinito contável de autovalores / autofunções (em regiões confinadas) ou incontáveis ​​infinitos (contínuos) espectros de soluções, como em regiões ilimitadas. ${\ displaystyle \ lambda}$

Em certas aplicações da física, como no cálculo de bandas em um volume periódico , é comum que os elementos de uma matriz sejam funções de frequência e número de onda muito complicadas, e a matriz não será singular para a maioria das combinações de frequência e número de onda, mas também será singular para certas combinações específicas. Ao descobrir quais combinações de frequência e número de onda conduzem o determinante da matriz a zero, as características de propagação do meio podem ser determinadas. Relações desse tipo, entre frequência e número de onda, são conhecidas como relações de dispersão e alguns sistemas físicos podem admitir muitos tipos diferentes de relações de dispersão. Um exemplo do eletromagnético é o guia de ondas comum, que pode admitir várias relações de dispersão, cada uma associada a um modo único do guia de ondas. Cada modo de propagação do guia de ondas é conhecido como uma solução de autofunção (ou solução de modo próprio) para as equações de Maxwell no guia de onda. O espaço livre também admite soluções de modo próprio (modo natural) (mais comumente conhecido como ondas planas), mas com a distinção de que para qualquer frequência dada, o espaço livre admite um espectro modal contínuo, enquanto os guias de onda têm um espectro de modo discreto. Nesse caso, a relação de dispersão é linear, como na seção 1.2.

Espaço K

A condição de separação,

${\ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$

que é idêntica à equação da métrica euclidiana no espaço de configuração tridimensional, sugere a noção de um vetor k no "espaço k" tridimensional, definido (para propagação de ondas planas) em coordenadas retangulares como:

${\ displaystyle \ mathbf {k} ~ = ~ k_ {x} \ mathbf {\ hat {x}} + k_ {y} \ mathbf {\ hat {y}} + k_ {z} \ mathbf {\ hat {z }}}$

e no sistema de coordenadas esféricas como

${\ displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$

${\ displaystyle k_ {y} = k ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}$

${\ displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ theta ~}$

O uso será feito dessas relações esféricas do sistema de coordenadas na próxima seção.

A noção de espaço k é central para muitas disciplinas da engenharia e da física, especialmente no estudo de volumes periódicos, como na cristalografia e na teoria de bandas de materiais semicondutores.

A transformada de Fourier bidimensional

Equação de análise (calculando o espectro da função):

${\ displaystyle U (k_ {x}, k_ {y}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (x, y) e ^ {-i (k_ {x} x + k_ {y} y)} dxdy}$

Equação de síntese (reconstruindo a função de seu espectro):

${\ displaystyle u (x, y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} U (k_ {x}, k_ {y}) e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)} dk_ {x} dk_ {y}}$

Nota : o fator de normalização de: está presente sempre que a frequência angular (radianos) é usada, mas não quando a frequência normal (ciclos) é usada. ${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}}}$

Sistemas ópticos: Visão geral e analogia com sistemas de processamento de sinais elétricos

Um sistema óptico consiste em um plano de entrada e um plano de saída e um conjunto de componentes que transforma a imagem f formada na entrada em uma imagem diferente g formada na saída. A imagem de saída está relacionada à imagem de entrada pela convolução da imagem de entrada com a resposta ao impulso óptico, h (conhecida como função de espalhamento de ponto , para sistemas ópticos focalizados). A resposta ao impulso define exclusivamente o comportamento de entrada-saída do sistema óptico. Por convenção, o eixo óptico do sistema é considerado o eixo z . Como resultado, as duas imagens e a resposta ao impulso são todas funções das coordenadas transversais, x e y .

${\ displaystyle g (x, y) = h (x, y) * f (x, y)}$

A resposta ao impulso de um sistema de imagem óptica é o campo do plano de saída que é produzido quando uma fonte de luz pontual matemática ideal é colocada no plano de entrada (geralmente no eixo). Na prática, não é necessário ter uma fonte pontual ideal para determinar uma resposta de impulso exata. Isso ocorre porque qualquer largura de banda de origem que esteja fora da largura de banda do sistema não importará de qualquer maneira (uma vez que não pode nem mesmo ser capturada pelo sistema óptico), portanto, não é necessário para determinar a resposta ao impulso. A fonte só precisa ter pelo menos a largura de banda (angular) do sistema óptico.

Os sistemas ópticos normalmente se enquadram em uma de duas categorias diferentes. O primeiro é o sistema de imagem óptica focalizado comum, em que o plano de entrada é chamado de plano de objeto e o plano de saída é chamado de plano de imagem. O campo no plano da imagem é desejado para ser uma reprodução de alta qualidade do campo no plano do objeto. Neste caso, a resposta ao impulso do sistema óptico é desejada para aproximar uma função delta 2D, no mesmo local (ou um local escalado linearmente) no plano de saída correspondente à localização do impulso no plano de entrada. A resposta de impulso real normalmente se assemelha a uma função de Airy , cujo raio é da ordem do comprimento de onda da luz usada. Nesse caso, a resposta ao impulso é normalmente referida como uma função de espalhamento de ponto , uma vez que o ponto matemático de luz no plano do objeto foi espalhado em uma função de Airy no plano da imagem.

O segundo tipo é o sistema de processamento óptico de imagem, no qual uma característica significativa no campo do plano de entrada deve ser localizada e isolada. Neste caso, a resposta ao impulso do sistema é desejada para ser uma réplica próxima (imagem) daquele recurso que está sendo procurado no campo do plano de entrada, de modo que uma convolução da resposta ao impulso (uma imagem do recurso desejado) contra o campo do plano de entrada produzirá um ponto brilhante no local do recurso no plano de saída. É este último tipo de sistema de processamento óptico de imagens que é o assunto desta seção. A Seção 5.2 apresenta uma implementação de hardware das operações de processamento óptico de imagens descritas nesta seção.

Plano de entrada

O plano de entrada é definido como o local de todos os pontos tais que z = 0. A imagem de entrada f é, portanto,

${\ displaystyle f (x, y) = U (x, y, z) {\ big |} _ {z = 0}}$

Plano de saída

O plano de saída é definido como o local de todos os pontos tais que z = d . A imagem de saída g é, portanto,

${\ displaystyle g (x, y) = U (x, y, z) {\ big |} _ {z = d}}$

A convolução 2D da função de entrada contra a função de resposta ao impulso

${\ displaystyle g (x, y) ~ = ~ h (x, y) * f (x, y)}$

ou seja,

${\ displaystyle g (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (x-x ', y-y') ~ f (x ', y') ~ dx'dy '~~~~~~ (4.1) ~}$

O leitor alerta notará que a integral acima assume tacitamente que a resposta ao impulso NÃO é uma função da posição (x ', y') do impulso da luz no plano de entrada (se este não fosse o caso, este tipo de convolução não seria possível). Esta propriedade é conhecida como invariância ao deslocamento (Scott [1998]). Nenhum sistema óptico é perfeitamente invariante ao deslocamento: conforme o ponto de luz ideal e matemático é varrido do eixo óptico, as aberrações acabarão por degradar a resposta ao impulso (conhecido como coma em sistemas de imagem focados). No entanto, os sistemas ópticos de alta qualidade são muitas vezes "invariantes o suficiente" em certas regiões do plano de entrada que podemos considerar a resposta ao impulso como sendo uma função apenas da diferença entre as coordenadas do plano de entrada e saída e, assim, usar a equação acima com impunidade .

Além disso, esta equação pressupõe ampliação da unidade. Se a ampliação estiver presente, então eqn. (4.1) torna-se

${\ displaystyle g (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h_ {M} (x-Mx ', y-My' ) ~ f (x ', y') ~ dx'dy '~~~~~~ (4.2) ~}$

que basicamente traduz a função de resposta ao impulso, h _M (), de x 'para x = Mx'. Em (4.2), h _M () será uma versão ampliada da função de resposta ao impulso h () de um sistema semelhante não ampliado, de modo que h _M (x, y) = h (x / M, y / M).

Derivação da equação de convolução

A extensão para duas dimensões é trivial, exceto pela diferença de que a causalidade existe no domínio do tempo, mas não no domínio espacial. Causalidade significa que a resposta ao impulso h ( t - t ') de um sistema elétrico, devido a um impulso aplicado no tempo t', deve necessariamente ser zero para todos os tempos t tais que t - t '<0.

A obtenção da representação da convolução da resposta do sistema requer a representação do sinal de entrada como uma superposição ponderada sobre um trem de funções de impulso usando a propriedade de deslocamento das funções delta de Dirac .

${\ displaystyle f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-t ') f (t') dt '}$

Presume-se então que o sistema em consideração é linear , ou seja, a saída do sistema devido a duas entradas diferentes (possivelmente em dois momentos diferentes) é a soma das saídas individuais do sistema às duas entradas, quando introduzidos individualmente. Assim, o sistema óptico pode não conter materiais não lineares nem dispositivos ativos (exceto, possivelmente, dispositivos ativos extremamente lineares). A saída do sistema, para uma única entrada de função delta, é definida como a resposta ao impulso do sistema, h (t - t '). E, por nossa suposição de linearidade (ou seja, que a saída do sistema para uma entrada de trem de pulso é a soma das saídas devido a cada pulso individual), podemos agora dizer que a função de entrada geral f ( t ) produz a saída:

${\ displaystyle g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t-t ') f (t') dt '}$

onde h (t - t ') é a resposta (impulso) do sistema linear à entrada da função delta δ (t - t'), aplicada no tempo t '. É daí que vem a equação de convolução acima. A equação de convolução é útil porque muitas vezes é muito mais fácil encontrar a resposta de um sistema a uma entrada de função delta - e, em seguida, realizar a convolução acima para encontrar a resposta a uma entrada arbitrária - do que tentar encontrar a resposta a entrada arbitrária diretamente. Além disso, a resposta ao impulso (nos domínios do tempo ou da frequência) geralmente produz insights para figuras relevantes de mérito do sistema. No caso da maioria das lentes, a função de dispersão de pontos (PSF) é uma figura de mérito bastante comum para fins de avaliação.

A mesma lógica é usada em conexão com o princípio de Huygens-Fresnel , ou formulação de Stratton-Chu, em que a "resposta ao impulso" é referida como a função de Green do sistema. Portanto, a operação no domínio espacial de um sistema óptico linear é análoga, dessa forma, ao princípio de Huygens-Fresnel.

Função de transferência do sistema

Se a última equação acima for transformada de Fourier, ela se tornará:

${\ displaystyle G (\ omega) ~ = ~ H (\ omega) \ cdot F (\ omega)}$

Onde

${\ displaystyle G (\ omega) ~}$ é o espectro do sinal de saída

${\ displaystyle H (\ omega) ~}$ é a função de transferência do sistema

${\ displaystyle F (\ omega) ~}$ é o espectro do sinal de entrada

Da mesma forma, (4.1) pode ser transformado de Fourier para produzir:

${\ displaystyle G (k_ {x}, k_ {y}) ~ = ~ H (k_ {x}, k_ {y}) \ cdot F (k_ {x}, k_ {y})}$

A função de transferência do sistema ,. Na imagem óptica, essa função é mais conhecida como função de transferência óptica (Goodman) . ${\ displaystyle H (\ omega)}$

Mais uma vez, pode-se notar, a partir da discussão sobre a condição senoidal de Abbe , que essa equação assume uma ampliação unitária.

Esta equação assume seu significado real quando a transformada de Fourier, é associada ao coeficiente da onda plana cujos números de onda transversais estão . Assim, o espectro de onda plana do plano de entrada é transformado no espectro de onda plana do plano de saída por meio da ação multiplicativa da função de transferência do sistema. É neste estágio de compreensão que o histórico anterior no espectro de ondas planas se torna inestimável para a conceituação dos sistemas ópticos de Fourier. ${\ displaystyle ~ G (k_ {x}, k_ {y})}$${\ displaystyle ~ (k_ {x}, k_ {y})}$

Aplicações dos princípios da óptica de Fourier

A óptica de Fourier é usada no campo do processamento óptico de informações, cujo produto básico é o processador 4F clássico.

As propriedades da transformada de Fourier de uma lente fornecem inúmeras aplicações no processamento de sinais ópticos , como filtragem espacial , correlação óptica e hologramas gerados por computador .

A teoria óptica de Fourier é usada em interferometria , pinças ópticas , armadilhas de átomos e computação quântica . Conceitos de óptica de Fourier são usados ​​para reconstruir a fase de intensidade da luz no plano de frequência espacial (ver algoritmo adaptativo-aditivo ).

Propriedade transformadora de Fourier das lentes

Se um objeto transmissivo for colocado a uma distância focal na frente de uma lente , então sua transformada de Fourier será formada uma distância focal atrás da lente. Considere a figura à direita (clique para ampliar)

Nesta figura, um incidente de onda plana da esquerda é assumido. A função de transmitância no plano focal frontal (ou seja, Plano 1) modula espacialmente a onda do plano incidente em magnitude e fase, como no lado esquerdo da eqn. (2.1) (especificado para z = 0), e assim fazendo, produz um espectro de ondas planas correspondendo ao FT da função de transmitância, como no lado direito da eqn. (2.1) (para z > 0). Os vários componentes da onda plana se propagam em diferentes ângulos de inclinação em relação ao eixo óptico da lente (ou seja, o eixo horizontal). Quanto mais precisos os recursos na transparência, mais ampla será a largura de banda angular do espectro de ondas planas. Vamos considerar um desses componentes de onda plana, propagando-se no ângulo θ em relação ao eixo óptico. Supõe-se que θ é pequeno ( aproximação paraxial ), de modo que

${\ displaystyle {\ frac {k_ {x}} {k}} = \ sin \ theta \ simeq \ theta}$

e

${\ displaystyle {\ frac {k_ {z}} {k}} = \ cos \ theta \ simeq 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

e

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos \ theta}} \ simeq {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}} \ simeq 1 + {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

Na figura, a fase da onda plana , movendo-se horizontalmente do plano focal frontal para o plano da lente, é

${\ displaystyle e ^ {ikf \ cos \ theta} \,}$

e a fase da onda esférica da lente para o ponto no plano focal posterior é:

${\ displaystyle e ^ {ikf / \ cos \ theta} \,}$

e a soma dos dois comprimentos de trajecto é f (1 + θ ² /2 + 1 - θ ² /2) = 2 f ou seja, é um valor constante, independente do ângulo de inclinação, θ, para ondas planas paraxiais. Cada componente de onda do plano paraxial do campo no plano focal frontal aparece como um ponto de função de propagação de ponto no plano focal posterior, com uma intensidade e fase igual à intensidade e fase do componente de onda do plano original no plano focal frontal. Em outras palavras, o campo no plano focal posterior é a transformada de Fourier do campo no plano focal frontal.

Todos os componentes FT são calculados simultaneamente - em paralelo - na velocidade da luz. Como exemplo, a luz viaja a uma velocidade de aproximadamente 1 pé (0,30 m). / ns, portanto, se uma lente tiver 1 pé (0,30 m). comprimento focal, um 2D FT inteiro pode ser calculado em cerca de 2 ns (2 x 10 ^-9 segundos). Se a distância focal for 1 pol., O tempo está abaixo de 200 ps. Nenhum computador eletrônico pode competir com esses tipos de números ou talvez jamais tenha a esperança de competir, embora os supercomputadores possam realmente se provar mais rápidos do que a óptica, por mais improvável que isso possa parecer. No entanto, sua velocidade é obtida pela combinação de vários computadores que, individualmente, ainda são mais lentos que a óptica. A desvantagem do FT óptico é que, como mostra a derivação, a relação FT só é válida para ondas do plano paraxial, portanto, este "computador" FT é inerentemente limitado em banda. Por outro lado, uma vez que o comprimento de onda da luz visível é tão diminuto em relação até mesmo às menores dimensões de recursos visíveis na imagem, ou seja,

${\ displaystyle k ^ {2} \ gg k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}}$

(para todos os k _x , k _y dentro da largura de banda espacial da imagem, de modo que k _z seja quase igual a k ), a aproximação paraxial não é terrivelmente limitante na prática. E, claro, este é um computador analógico - não digital, portanto a precisão é limitada. Além disso, a extração de fase pode ser um desafio; freqüentemente é inferido interferometricamente.

O processamento óptico é especialmente útil em aplicações de tempo real onde o processamento rápido de grandes quantidades de dados 2D é necessário, particularmente em relação ao reconhecimento de padrões.

Truncamento de objeto e fenômeno de Gibbs

O campo elétrico espacialmente modulado, mostrado no lado esquerdo da eqn. (2.1), normalmente ocupa apenas uma abertura finita (geralmente retangular) no plano x, y. A função de abertura retangular atua como um filtro de topo quadrado 2D, onde o campo é considerado zero fora desse retângulo 2D. Os integrais de domínio espacial para calcular os coeficientes FT no lado direito da eqn. (2.1) são truncados no limite desta abertura. Este truncamento de etapa pode introduzir imprecisões em cálculos teóricos e valores medidos dos coeficientes de onda plana no RHS da eqn. (2.1).

Sempre que uma função é descontinuamente truncada em um domínio FT, o alargamento e a ondulação são introduzidos no outro domínio FT. Um exemplo perfeito de óptica está em conexão com a função de dispersão de pontos, que para iluminação de onda plana no eixo de uma lente quadrática (com abertura circular), é uma função Airy, J ₁ ( x ) / x . Literalmente, a origem do ponto foi "espalhada" (com ondulações adicionadas), para formar a função de espalhamento do ponto de Airy (como resultado do truncamento do espectro de onda plana pela abertura finita da lente). Esta fonte de erro é conhecida como fenômeno de Gibbs e pode ser mitigado simplesmente garantindo que todo o conteúdo significativo esteja próximo ao centro da transparência ou através do uso de funções de janela que diminuem suavemente o campo até zero nos limites do quadro. Pelo teorema de convolução, o FT de uma função de transparência arbitrária - multiplicado (ou truncado) por uma função de abertura - é igual ao FT da função de transparência não truncada convolvida contra o FT da função de abertura, que neste caso se torna um tipo de "função verde" ou "função de resposta ao impulso" no domínio espectral. Portanto, a imagem de uma lente circular é igual à função do plano do objeto convolvida contra a função Airy (o FT de uma função de abertura circular é J ₁ ( x ) / xe o FT de uma função de abertura retangular é um produto de funções sinc , sen x / x ).

Análise de Fourier e decomposição funcional

Mesmo que a transparência de entrada ocupe apenas uma porção finita do plano x - y (Plano 1), as ondas planas uniformes que compreendem o espectro de ondas planas ocupam todo o plano x - y , razão pela qual (para este propósito) apenas o plano longitudinal a fase da onda (na direção z , do Plano 1 ao Plano 2) deve ser considerada, e não a fase transversal à direção z . É claro, é muito tentador pensar que se uma onda plana emanando da abertura finita da transparência for inclinada muito longe da horizontal, ela de alguma forma "perderá" a lente por completo, mas novamente, uma vez que a onda plana uniforme se estende infinitamente longe todas as direções no plano transversal ( x - y ), os componentes da onda plana não podem perder a lente.

Esta questão traz à tona talvez a dificuldade predominante com a análise de Fourier, ou seja, que a função de plano de entrada, definida sobre um suporte finito (ou seja, sobre sua própria abertura finita), está sendo aproximada com outras funções (sinusóides) que têm suporte infinito ( i . e ., eles são definidos ao longo de todo o plano x - y infinito ). Isso é incrivelmente ineficiente em termos computacionais e é a principal razão pela qual as wavelets foram concebidas, ou seja, para representar uma função (definida em um intervalo ou área finita) em termos de funções oscilatórias que também são definidas em áreas ou intervalos finitos. Assim, em vez de obter o conteúdo de frequência de toda a imagem de uma só vez (junto com o conteúdo de frequência de todo o resto do plano x - y , sobre o qual a imagem tem valor zero), o resultado é o conteúdo de frequência de diferentes partes da imagem, o que geralmente é muito mais simples. Infelizmente, wavelets no plano x - y não correspondem a nenhum tipo conhecido de função de propagação da onda, da mesma forma que as sinusóides de Fourier (no plano x - y ) correspondem a funções de onda plana em três dimensões. No entanto, os FTs da maioria das wavelets são bem conhecidos e podem ser mostrados como equivalentes a algum tipo útil de campo de propagação.

Por outro lado, as funções Sinc e funções Airy - que são não apenas as funções de contagem de pontos de aberturas rectangulares e circulares, respectivamente, mas que são também funções cardinais comumente usados para a decomposição funcional em interpolação / teoria de amostragem [Scott 1990] - fazer correspondem aos ondas esféricas convergentes ou divergentes e, portanto, poderiam potencialmente ser implementadas como uma decomposição funcional totalmente nova da função do plano do objeto, levando assim a outro ponto de vista semelhante em natureza à óptica de Fourier. Isso seria basicamente o mesmo que a óptica de raio convencional, mas com efeitos de difração incluídos. Nesse caso, cada função de propagação de ponto seria um tipo de "pixel suave", da mesma forma que um soliton em uma fibra é um "pulso suave".

Talvez uma figura de mérito da lente neste ponto de vista da "função de propagação de pontos" seria perguntar o quão bem uma lente transforma uma função de Airy no plano do objeto em uma função de Airy no plano da imagem, como uma função da distância radial da óptica eixo, ou em função do tamanho da função aérea do plano do objeto. É um pouco como a função de espalhamento de ponto, exceto que agora estamos realmente olhando para ela como uma espécie de função de transferência de plano de entrada para saída (como MTF), e não tanto em termos absolutos, em relação a um ponto perfeito. Da mesma forma, ondas gaussianas, que corresponderiam à cintura de um feixe gaussiano em propagação, também poderiam ser potencialmente usadas em outra decomposição funcional do campo plano do objeto.

Faixa de campo distante e o critério 2D ² / λ

Na figura acima, ilustrando a propriedade de transformação de Fourier das lentes, a lente está no campo próximo da transparência do plano do objeto, portanto, o campo do plano do objeto na lente pode ser considerado como uma superposição de ondas planas, cada uma das quais se propaga em algum ângulo em relação ao eixo z. Nesse sentido, o critério de campo distante é vagamente definido como: Faixa = 2 D ² / λ onde D é a extensão linear máxima das fontes ópticas e λ é o comprimento de onda (Scott [1998]). O D da transparência é da ordem de cm (10 ⁻² m) e o comprimento de onda da luz é da ordem de 10 ⁻⁶ m, portanto, D / λ para toda a transparência é da ordem de 10 ⁴ . Este tempo D é da ordem de 10 ² m, ou centenas de metros. Por outro lado, a distância do campo distante de um ponto PSF é da ordem de λ. Isso ocorre porque D para o ponto está na ordem de λ, de modo que D / λ está na ordem da unidade; desta vez, D (ou seja, λ) é da ordem de λ (10 ⁻⁶ m).

Uma vez que a lente está no campo distante de qualquer ponto PSF, o campo incidente na lente a partir do ponto pode ser considerado uma onda esférica, como na eqn. (2.2), não como um espectro de onda plana, como na eqn. (2.1). Por outro lado, a lente está no campo próximo de toda a transparência do plano de entrada, portanto eqn. (2.1) - o espectro completo da onda plana - representa com precisão o campo incidente na lente daquela fonte maior e extensa.

Lente como um filtro passa-baixa

Uma lente é basicamente um filtro de onda plana de passagem baixa (consulte Filtro de passagem baixa ). Considere uma "pequena" fonte de luz localizada no eixo do plano do objeto da lente. Supõe-se que a fonte seja pequena o suficiente para que, pelo critério do campo distante, a lente esteja no campo distante da fonte "pequena". Então, o campo irradiado pela fonte pequena é uma onda esférica que é modulada pelo FT da distribuição da fonte, como na eqn. (2.2), Então, a lente passa - do plano do objeto para o plano da imagem - apenas aquela porção da onda esférica irradiada que está dentro do ângulo da borda da lente. Neste caso de campo distante, o truncamento da onda esférica irradiada é equivalente ao truncamento do espectro de onda plana da pequena fonte. Portanto, os componentes da onda plana nesta onda esférica de campo distante, que ficam além do ângulo da borda da lente, não são capturados pela lente e não são transferidos para o plano da imagem. Nota: esta lógica é válida apenas para fontes pequenas, de forma que a lente esteja na região de campo distante da fonte, de acordo com o critério 2 D ² / λ mencionado anteriormente. Se a transparência de um plano de objeto é imaginada como um somatório de pequenas fontes (como na fórmula de interpolação de Whittaker-Shannon , Scott [1990]), cada uma das quais tem seu espectro truncado desta maneira, então cada ponto de toda a transparência do plano de objeto sofre os mesmos efeitos dessa filtragem passa-baixa.

A perda do conteúdo de alta frequência (espacial) causa desfoque e perda de nitidez (consulte a discussão relacionada à função de propagação de pontos ). O truncamento da largura de banda faz com que uma fonte pontual (fictícia, matemática, ideal) no plano do objeto seja borrada (ou espalhada) no plano da imagem, dando origem ao termo "função de difusão pontual". Sempre que a largura de banda é expandida ou contraída, o tamanho da imagem é tipicamente contraído ou expandido de acordo, de forma que o produto espaço-largura de banda permaneça constante, pelo princípio de Heisenberg (Scott [1998] e condição senoidal de Abbe ).

Coerência e transformação de Fourier

Ao trabalhar no domínio da frequência, com uma dependência do tempo e ^jωt (engenharia) assumida, a luz coerente (laser) é implicitamente assumida, que tem uma dependência da função delta no domínio da frequência. A luz em frequências diferentes (função delta) "espalhará" o espectro da onda plana em ângulos diferentes e, como resultado, esses componentes da onda plana serão focalizados em locais diferentes no plano de saída. A propriedade de transformação de Fourier das lentes funciona melhor com luz coerente, a menos que haja alguma razão especial para combinar luz de frequências diferentes, para atingir algum propósito especial.

Implementação de hardware da função de transferência do sistema: O correlacionador 4F

A teoria sobre funções de transferência óptica apresentada na seção 4 é um tanto abstrata. No entanto, existe um dispositivo muito conhecido que implementa a função de transferência do sistema H em hardware usando apenas 2 lentes idênticas e uma placa de transparência - o correlacionador 4F. Embora uma aplicação importante deste dispositivo seja certamente a implementação de operações matemáticas de correlação cruzada e convolução , este dispositivo - com 4 distâncias focais de comprimento - na verdade serve a uma ampla variedade de operações de processamento de imagem que vão muito além do que seu nome indica. Um diagrama de um correlacionador 4F típico é mostrado na figura abaixo (clique para ampliar). Este dispositivo pode ser facilmente compreendido combinando a representação do espectro de onda plana do campo elétrico ( seção 2 ) com a propriedade de transformação de Fourier de lentes quadráticas ( seção 5.1 ) para produzir as operações de processamento óptico de imagem descritas na seção 4.

O correlacionador 4F é baseado no teorema da convolução da teoria da transformada de Fourier , que afirma que a convolução no domínio espacial ( x , y ) é equivalente à multiplicação direta no domínio da frequência espacial ( k _x , k _y ) (também conhecido como: domínio espectral ) . Mais uma vez, uma onda plana é assumida incidente da esquerda e uma transparência contendo uma função 2D, f ( x , y ), é colocada no plano de entrada do correlacionador, localizado a uma distância focal na frente da primeira lente. A transparência modula espacialmente a onda do plano incidente em magnitude e fase, como no lado esquerdo da eqn. (2.1), e assim fazendo, produz um espectro de ondas planas correspondendo ao FT da função de transmitância, como no lado direito da eqn. (2.1). Esse espectro é então formado como uma "imagem" uma distância focal atrás da primeira lente, como mostrado. Uma máscara de transmissão contendo o FT da segunda função, g ( x , y ), é colocada neste mesmo plano, uma distância focal atrás da primeira lente, fazendo com que a transmissão através da máscara seja igual ao produto, F ( k _x , k _y ) × G ( k _x , k _y ). Este produto agora está no "plano de entrada" da segunda lente (uma distância focal na frente), de modo que o FT deste produto (ou seja, a convolução de f ( x , y ) e g ( x , y )), é formado no plano focal posterior da segunda lente.

Se uma fonte de luz pontual matemática ideal for colocada no eixo do plano de entrada da primeira lente, então haverá um campo colimado uniforme produzido no plano de saída da primeira lente. Quando este campo uniforme colimado é multiplicado pela máscara do plano FT e, em seguida, Fourier transformado pela segunda lente, o campo do plano de saída (que neste caso é a resposta ao impulso do correlacionador) é apenas a nossa função de correlação, g ( x , y ). Em aplicações práticas, g ( x , y ) será algum tipo de recurso que deve ser identificado e localizado dentro do campo do plano de entrada (ver Scott [1998]). Em aplicações militares, esse recurso pode ser um tanque, navio ou avião que deve ser rapidamente identificado em algum cenário mais complexo.

O correlacionador 4F é um excelente dispositivo para ilustrar os aspectos de "sistemas" de instrumentos ópticos, mencionados na seção 4 acima. A função de máscara plana FT, G ( k _x , k _y ) é a função de transferência do sistema do correlacionador, que geralmente denotamos como H ( k _x , k _y ), e é o FT da função de resposta ao impulso do correlacionador, h ( x , y ) que é apenas nossa função de correlação g ( x , y ). E, como mencionado acima, a resposta ao impulso do correlacionador é apenas uma imagem do recurso que estamos tentando encontrar na imagem de entrada. No correlacionador 4F, a função de transferência do sistema H ( k _x , k _y ) é diretamente multiplicada contra o espectro F ( k _x , k _y ) da função de entrada, para produzir o espectro da função de saída. É assim que os sistemas de processamento de sinais elétricos operam em sinais temporais 1D.

Restauração de imagem

O desfoque de imagem por uma função de espalhamento de ponto é estudado extensivamente no processamento óptico de informações, uma maneira de aliviar o desfoque é adotar o filtro Wiener. Por exemplo, suponha que seja a distribuição de intensidade de um objeto incoerente, é a distribuição de intensidade de sua imagem que é borrada por uma função de difusão de ponto invariante no espaço e um ruído introduzido no processo de detecção: ${\ displaystyle o (x, y)}$${\ displaystyle i (x, y)}$${\ displaystyle s (x, y)}$${\ displaystyle n (x, y)}$

${\ displaystyle i (x, y) = o (x, y) \ otimes s (x, y) + n (x, y)}$

O objetivo da restauração da imagem é encontrar um filtro de restauração linear que minimize o erro quadrático médio entre a distribuição verdadeira e a estimativa . Ou seja, para minimizar ${\ displaystyle {\ hat {o}} (x, y)}$

${\ displaystyle \ epsilon ^ {2} = | o - {\ hat {o}} | ^ {2}}$

A solução para este problema de otimização é o filtro Wiener :

${\ displaystyle H \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right) = {\ frac {S ^ {*} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right)} {\ left | S \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right) \ right | ^ {2} + {\ frac {\ Phi _ {n} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right)} { \ Phi _ {o} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right)}}}}}$,

onde estão as densidades espectrais de potência da função point-spread, o objeto e o ruído. ${\ displaystyle S \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right), \ Phi _ {o} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ right), \ Phi _ {n} \ left (f_ {X}, f_ {Y} \ direita)}$

Ragnarsson propôs um método para realizar filtros de restauração de Wiener opticamente por técnica holográfica como a configuração mostrada na figura. A derivação da função da configuração é descrita a seguir.

Suponha que haja uma transparência como plano de registro e um impulso emitido de uma fonte pontual S. A onda de impulso é colimada pela lente L1 , formando uma distribuição igual à resposta ao impulso . Em seguida, a distribuição é dividida em duas partes: ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$

1. A porção superior é primeiro focada (isto é, transformada de Fourier) por uma lente L2 para um ponto no plano focal frontal da lente L3 , formando uma fonte de ponto virtual gerando uma onda esférica. A onda é então colimada pela lente L3 e produz uma onda plana inclinada com a forma no plano de registro.${\ displaystyle r_ {0} e ^ {- j2 \ pi \ alpha y}}$
2. A parte inferior é colimada diretamente pela lente L3 , produzindo uma distribuição de amplitude .${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda f}} H ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}})}$

Portanto, a distribuição de intensidade total é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ mathcal {I}} \ left (x_ {2}, y_ {2} \ right) = & \ left | r_ {o} \ exp \ left (-j2 \ pi \ alpha y_ {2} \ right) + {\ frac {1} {\ lambda f}} H \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ right | ^ {2} \\ = & r_ {o} ^ {2} + {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}} \ left | H \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ right | ^ {2} + {\ frac {r_ {o}} {\ lambda f}} H \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ exp \ left (j2 \ pi \ alpha y_ {2} \ right) + {\ frac {r_ {o}} {\ lambda f}} H ^ {*} \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ exp \ left (-j2 \ pi \ alpha y_ {2} \ right) \ end {alinhado}}}$

Suponha que tem uma distribuição de amplitude e uma distribuição de fase tal que ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle H \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) = S \ left ({\ frac { x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ exp \ left [j \ psi \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ right]}$,

então podemos reescrever a intensidade da seguinte forma:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} I \ left (x_ {2}, y_ {2} \ right) = & r_ {o} ^ {2} + {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}} S ^ {2} \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) + {\ frac {2r_ {o}} {\ lambda f}} S \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right ) \ cos \ left [2 \ pi \ alpha y_ {2} + \ psi \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f }} \ right) \ right]. \ end {alinhado}}}$

Observe que para o ponto na origem do plano do filme ( ), a onda registrada da parte inferior deve ser muito mais forte do que a da parte superior porque a onda que passa pelo caminho inferior é focalizada, o que leva ao relacionamento . ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle r_ {0} << {\ frac {1} {\ lambda f}}}$

Na obra de Ragnarsson, esse método é baseado nos seguintes postulados:

1. Suponha que haja uma transparência, com sua transmitância de amplitude proporcional a , que registrou a resposta de impulso conhecida do sistema desfocado.${\ displaystyle t}$${\ displaystyle s (x, y)}$
2. O deslocamento de fase máximo introduzido pelo filtro é muito menor do que radianos, portanto .${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle e ^ {j \ phi} \ approx 1 + j \ phi}$
3. A mudança de fase da transparência após o branqueamento é linearmente proporcional à densidade de prata presente antes do branqueamento.${\ displaystyle D}$
4. A densidade é linearmente proporcional ao logaritmo da exposição .${\ displaystyle {\ begin {alinhado} I = r_ {o} ^ {2} + {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}} S ^ {2} \ end {alinhado} }}$
5. A exposição média é muito mais forte do que a exposição variável .${\ displaystyle {\ bar {I}}}$${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ Delta I \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) = {\ frac {2r_ {o}} {\ lambda f}} S \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ direita) \ cos \ left [2 \ pi \ alpha y_ {2} + \ psi \ left ({\ frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ right) \ right]. \ end {alinhado}}}$

Por esses postulados, temos a seguinte relação:

${\ displaystyle \ Delta t \ propto \ Delta \ phi \ propto \ Delta D \ propto \ Delta (logI) \ approx {\ frac {\ Delta I} {I}}}$.

Finalmente, obtemos uma transmitância de amplitude com a forma de um filtro de Wiener:

${\ displaystyle \ Delta t \ propto {\ frac {S ^ {\ ast}} {r_ {0} ^ {2} \ lambda ^ {2} f ^ {2} + \ left \ vert S \ right \ vert ^ {2}}}}$.

Posfácio: espectro de onda plana dentro do contexto mais amplo de decomposição funcional

Os campos elétricos podem ser representados matematicamente de muitas maneiras diferentes. Nos pontos de vista Huygens-Fresnel ou Stratton- Hu, o campo elétrico é representado como uma superposição de fontes pontuais, cada uma das quais dá origem a um campo de função de Green . O campo total é então a soma ponderada de todos os campos de função de Green individuais. Essa parece ser a maneira mais natural de ver o campo elétrico para a maioria das pessoas - sem dúvida porque a maioria de nós, em um momento ou outro, desenhou os círculos com transferidor e papel, da mesma forma que Thomas Young fez em seu clássico papel no experimento de dupla fenda . No entanto, não é de forma alguma a única maneira de representar o campo elétrico, que também pode ser representado como um espectro de ondas planas sinusoidalmente variáveis. Além disso, Frits Zernike propôs ainda outra decomposição funcional baseada em seus polinômios de Zernike , definidos no disco de unidade. Os polinômios de Zernike de terceira ordem (e inferiores) correspondem às aberrações normais da lente. E ainda outra decomposição funcional poderia ser feita em termos de funções Sinc e funções Airy, como na fórmula de interpolação de Whittaker-Shannon e o teorema de amostragem de Nyquist-Shannon . Todas essas decomposições funcionais têm utilidade em diferentes circunstâncias. O cientista óptico, tendo acesso a essas várias formas de representação, tem à sua disposição uma visão mais rica da natureza desses campos maravilhosos e de suas propriedades. Essas diferentes formas de olhar para o campo não são conflitantes ou contraditórias; em vez disso, ao explorar suas conexões, pode-se frequentemente obter uma visão mais profunda da natureza dos campos de ondas.

Decomposição funcional e autofunções

Os sujeitos gêmeos de expansões de autofunção e decomposição funcional , ambos brevemente mencionados aqui, não são completamente independentes. As expansões de autofunção para certos operadores lineares definidos sobre um determinado domínio, muitas vezes resultarão em um conjunto infinito de funções ortogonais que se estenderão por esse domínio. Dependendo do operador e da dimensionalidade (e forma e condições de contorno) de seu domínio, muitos tipos diferentes de decomposições funcionais são, em princípio, possíveis.

Veja também

• Condição senoidal de Abbe
• Algoritmo adaptativo-aditivo
• Princípio de Huygens-Fresnel
• Função de propagação de pontos
• Microscopia de contraste de fase
• Difração de Fraunhofer
• Difração de Fresnel
• Óptica geométrica
• Espaço Hilbert
• Correlacionador óptico
• Transformada óptica de Hartley

Referências

• Duffieux, Pierre-Michel (1983). A transformada de Fourier e suas aplicações à óptica . Nova York, EUA: John Wiley & Sons .
• Goodman, Joseph (2005). Introdução à Fourier Optics (3 ed.). Editores Roberts & Company. ISBN 0-9747077-2-4. Página visitada em 2017-10-28 .
• Hecht, Eugene (1987). Óptica (2 ed.). Addison Wesley . ISBN 0-201-11609-X.
• Wilson, Raymond (1995). Série de Fourier e técnicas de transformação óptica em óptica contemporânea . John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30357-7.
• Scott, Craig (1998). Introdução à Óptica e Imagem Ótica . John Wiley & Sons . ISBN 0-7803-3440-X.
• Scott, Craig (1990). Métodos modernos de análise e projeto de antenas refletoras . Artech House . ISBN 0-89006-419-9.
• Scott, Craig (1989). O método do domínio espectral em eletromagnetismo . Artech House . ISBN 0-89006-349-4.
• Introdução à óptica de Fourier e ao correlacionador 4F

links externos

• Ambs, Pierre (2010). "Computação Óptica: Uma Aventura de 60 Anos" . Avanços em tecnologias ópticas . Hindawi Limited. 2010 : 1-15. doi : 10.1155 / 2010/372652 . ISSN  1687-6393 .
• Stratton, JA; Chu, LJ (01/07/1939). "Teoria da Difração das Ondas Eletromagnéticas" (PDF) . Revisão física . American Physical Society (APS). 56 (1): 99–107. doi : 10.1103 / physrev.56.99 . ISSN  0031-899X .