Gráfico de fluxo (matemática) - Flow graph (mathematics)

Um gráfico de fluxo é uma forma de dígrafo associado a um conjunto de equações lineares algébricas ou diferenciais:

"Um gráfico de fluxo de sinal é uma rede de nós (ou pontos) interconectados por ramos direcionados, representando um conjunto de equações algébricas lineares. Os nós em um gráfico de fluxo são usados ​​para representar as variáveis ​​ou parâmetros, e os ramos de conexão representam os coeficientes relacionar essas variáveis ​​umas com as outras. O gráfico de fluxo está associado a uma série de regras simples que permitem obter todas as soluções possíveis [relacionadas às equações]. "

Embora esta definição use os termos "gráfico de fluxo de sinal" e "gráfico de fluxo" alternadamente, o termo "gráfico de fluxo de sinal" é mais frequentemente usado para designar o gráfico de fluxo de sinal de Mason, sendo Mason o originador desta terminologia em seu trabalho em redes elétricas. Da mesma forma, alguns autores usam o termo "gráfico de fluxo" para se referir estritamente ao gráfico de fluxo da Coates . De acordo com Henley & Williams:

"A nomenclatura está longe de ser padronizada e ... nenhuma padronização pode ser esperada no futuro previsível."

Uma designação "gráfico de fluxo" que inclui tanto o gráfico de Mason quanto o gráfico de Coates, e uma variedade de outras formas de tais gráficos, parece útil e concorda com a abordagem de Abrahams e Coverley e com a abordagem de Henley e Williams.

Uma rede direcionada - também conhecida como rede de fluxo - é um tipo específico de gráfico de fluxo. Uma rede é um gráfico com números reais associados a cada uma de suas arestas e, se o gráfico for um dígrafo, o resultado é uma rede direcionada . Um gráfico do fluxo é mais geral do que uma rede dirigida, em que as bordas podem ser associados com ganhos, ganhos ramo ou transmitâncias , ou mesmo funções do operador de Laplace s , caso em que eles são chamados de funções de transferência .

Existe uma relação estreita entre gráficos e matrizes e entre dígrafos e matrizes. "A teoria algébrica de matrizes pode ser utilizada na teoria dos grafos para obter resultados com elegância" e, inversamente, abordagens teóricas de grafos baseadas em grafos de fluxo são usadas para a solução de equações algébricas lineares.

Derivando um gráfico de fluxo de equações

Um exemplo de um gráfico de fluxo de sinal
Gráfico de fluxo para três equações simultâneas. As bordas incidentes em cada nó são coloridas de forma diferente apenas para dar ênfase.

Um exemplo de gráfico de fluxo conectado a algumas equações iniciais é apresentado.

O conjunto de equações deve ser consistente e linearmente independente. Um exemplo de tal conjunto é:

A consistência e a independência das equações no conjunto são estabelecidas porque o determinante dos coeficientes é diferente de zero, então uma solução pode ser encontrada usando a regra de Cramer .

Usando os exemplos da subseção Elementos de gráficos de fluxo de sinal , construímos o gráfico Na figura, um gráfico de fluxo de sinal neste caso. Para verificar se o gráfico representa as equações fornecidas, vá para o nó x 1 . Observe as setas que chegam a este nó (de cor verde para dar ênfase) e os pesos anexados a elas. A equação para x 1 é satisfeita ao igualá-la à soma dos nós anexados às setas de entrada multiplicada pelos pesos anexados a essas setas. Da mesma forma, as setas vermelhas e seus pesos fornecem a equação para x 2 e as setas azuis para x 3 .

Outro exemplo é o caso geral de três equações simultâneas com coeficientes não especificados:

Para configurar o gráfico de fluxo, as equações são reformuladas para que cada uma identifique uma única variável, adicionando-a a cada lado. Por exemplo:

Usando o diagrama e somando os ramos do incidente em x 1, esta equação é considerada satisfeita.

Como todas as três variáveis ​​entram nessas equações reformuladas de forma simétrica, a simetria é retida no gráfico, colocando cada variável no canto de um triângulo equilátero. Girar a figura 120 ° simplesmente permuta os índices. Esta construção pode ser estendida a mais variáveis, colocando o nó de cada variável no vértice de um polígono regular com tantos vértices quantas forem as variáveis.

Obviamente, para serem significativos, os coeficientes são restritos a valores tais que as equações sejam independentes e consistentes.

Veja também

Leitura adicional

  • Richard A. Brualdi, Dragos Cvetkovic (2008). "Determinantes" . Uma abordagem combinatória da teoria das matrizes e suas aplicações . Chapman & Hall / CRC. pp. 63 ff . ISBN   9781420082234 . Uma discussão sobre os gráficos de fluxo de Coates e Mason.

Referências