Exemplos de equações diferenciais - Examples of differential equations

Equações diferenciais surgem em muitos problemas na física , engenharia e outras ciências. Os exemplos a seguir mostram como resolver equações diferenciais em alguns casos simples quando existe uma solução exata.

Equações diferenciais ordinárias separáveis ​​de primeira ordem

As equações na forma são chamadas separáveis ​​e são resolvidas por e assim . Antes de dividir por , é necessário verificar se existem soluções estacionárias (também chamadas de equilíbrio) que satisfaçam .

Equações diferenciais ordinárias lineares separáveis ​​(homogêneas) de primeira ordem

Uma equação diferencial ordinária linear separável de primeira ordem deve ser homogênea e ter a forma geral

onde está alguma função conhecida . Podemos resolver isso separando as variáveis (movendo os termos y para um lado e os termos t para o outro lado),

Uma vez que a separação de variáveis ​​neste caso envolve a divisão por y , devemos verificar se a função constante y = 0 é uma solução da equação original. Trivialmente, se y = 0 então y ′ = 0, então y = 0 é na verdade uma solução da equação original. Notamos que y = 0 não é permitido na equação transformada.

Resolvemos a equação transformada com as variáveis ​​já separadas por integração ,

onde C é uma constante arbitrária. Então, por exponenciação , obtemos

.

Aqui , então . Mas verificamos independentemente que y = 0 também é uma solução da equação original, portanto

.

com uma constante arbitrária A , que cobre todos os casos. É fácil confirmar que esta é uma solução conectando-a à equação diferencial original:

É necessária alguma elaboração porque ƒ ( t ) pode nem mesmo ser integrável . Deve-se também supor algo sobre os domínios das funções envolvidas antes que a equação seja totalmente definida. A solução acima assume o caso real .

Se for uma constante, a solução é particularmente simples e descreve, por exemplo, se , a decadência exponencial do material radioativo no nível macroscópico. Se o valor de não for conhecido a priori, pode ser determinado a partir de duas medições da solução. Por exemplo,

dá e .

Equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem não separáveis ​​(não homogêneas)

As equações diferenciais ordinárias não homogêneas lineares de primeira ordem (EDOs) não são separáveis. Eles podem ser resolvidos pela seguinte abordagem, conhecida como método do fator de integração . Considere ODEs lineares de primeira ordem da forma geral:

O método para resolver esta equação depende de um fator de integração especial, μ :

Escolhemos este fator de integração porque ele tem a propriedade especial de que sua derivada é ela mesma vezes a função que estamos integrando, ou seja:

Multiplique ambos os lados da equação diferencial original por μ para obter:

Por causa do μ especial que escolhemos, podemos substituir / dx por μ p ( x ), simplificando a equação para:

Usando a regra do produto ao contrário, obtemos:

Integrando os dois lados:

Finalmente, para resolver para y , dividimos ambos os lados por μ :

Como μ é uma função de x , não podemos simplificar mais diretamente.

Equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem

Um exemplo simples

Suponha que uma massa esteja presa a uma mola que exerce uma força atrativa na massa proporcional à extensão / compressão da mola. Por enquanto, podemos ignorar quaisquer outras forças ( gravidade , fricção , etc.). Devemos escrever a extensão da mola em um tempo t como  x ( t ). Agora, usando a segunda lei de Newton , podemos escrever (usando unidades convenientes):

onde m é a massa ek é a constante da mola que representa uma medida da rigidez da mola. Para simplificar, tomemos m = k como exemplo.

Se buscarmos soluções que tenham a forma , onde C é uma constante, descobrimos a relação e, portanto, deve ser um dos números complexos ou . Assim, usando a fórmula de Euler, podemos dizer que a solução deve ser da forma:

Veja uma solução por WolframAlpha .

Para determinar as constantes desconhecidas A e B , precisamos das condições iniciais , ou seja, igualdades que especificam o estado do sistema em um determinado momento (geralmente  t  = 0).

Por exemplo, se supormos que em t  = 0, a extensão é uma distância unitária ( x  = 1) e a partícula não está se movendo ( dx / dt  = 0). Nós temos

e assim  A  = 1.

e então B  = 0.

Portanto, x ( t ) = cos  t . Este é um exemplo de movimento harmônico simples .

Veja uma solução por Wolfram Alpha .

Um modelo mais complicado

O modelo acima de uma massa oscilante em uma mola é plausível, mas não muito realista: na prática, o atrito tenderá a desacelerar a massa e ter magnitude proporcional à sua velocidade (ou seja,  dx / dt ). Nossa nova equação diferencial, expressando o equilíbrio da aceleração e das forças, é

onde é o coeficiente de amortecimento que representa o atrito. Novamente procurando por soluções do formulário , descobrimos que

Esta é uma equação quadrática que podemos resolver. Se houver duas raízes conjugadas complexas a  ±  ib , e a solução (com as condições de contorno acima) será semelhante a esta:

Para simplificar , tomemos , então, e .

A equação também pode ser resolvida na caixa de ferramentas simbólicas do MATLAB como

x = dsolve('D2x+c*Dx+k*x=0','x(0)=1','Dx(0)=0')
% or equivalently
syms x(t) c k
Dx = diff(x, t);
x = dsolve(diff(x,t,2) + c*Dx + k*x == 0, x(0) == 1, Dx(0) == 0)

embora a solução pareça bastante feia,

x = (c + (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*exp(t*(c/2 - (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2)) - 
    (c - (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*exp(t*(c/2 + (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2))

Este é um modelo de oscilador amortecido . O gráfico de deslocamento contra o tempo seria assim:

Oscilação amortecida2.svg

que se assemelha a como se esperaria que uma mola vibratória se comportasse quando a fricção remover energia do sistema.

Sistemas lineares de ODEs

O exemplo a seguir de um sistema linear de primeira ordem de ODEs

pode ser facilmente resolvido simbolicamente usando software de análise numérica .

Veja também

Bibliografia

  • AD Polyanin e VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations , 2nd Edition, Chapman & Hall / CRC Press , Boca Raton, 2003; ISBN  1-58488-297-2 .

links externos