Exemplos de equações diferenciais - Examples of differential equations
Equações diferenciais surgem em muitos problemas na física , engenharia e outras ciências. Os exemplos a seguir mostram como resolver equações diferenciais em alguns casos simples quando existe uma solução exata.
Equações diferenciais ordinárias separáveis de primeira ordem
As equações na forma são chamadas separáveis e são resolvidas por e assim . Antes de dividir por , é necessário verificar se existem soluções estacionárias (também chamadas de equilíbrio) que satisfaçam .
Equações diferenciais ordinárias lineares separáveis (homogêneas) de primeira ordem
Uma equação diferencial ordinária linear separável de primeira ordem deve ser homogênea e ter a forma geral
onde está alguma função conhecida . Podemos resolver isso separando as variáveis (movendo os termos y para um lado e os termos t para o outro lado),
Uma vez que a separação de variáveis neste caso envolve a divisão por y , devemos verificar se a função constante y = 0 é uma solução da equação original. Trivialmente, se y = 0 então y ′ = 0, então y = 0 é na verdade uma solução da equação original. Notamos que y = 0 não é permitido na equação transformada.
Resolvemos a equação transformada com as variáveis já separadas por integração ,
onde C é uma constante arbitrária. Então, por exponenciação , obtemos
- .
Aqui , então . Mas verificamos independentemente que y = 0 também é uma solução da equação original, portanto
- .
com uma constante arbitrária A , que cobre todos os casos. É fácil confirmar que esta é uma solução conectando-a à equação diferencial original:
É necessária alguma elaboração porque ƒ ( t ) pode nem mesmo ser integrável . Deve-se também supor algo sobre os domínios das funções envolvidas antes que a equação seja totalmente definida. A solução acima assume o caso real .
Se for uma constante, a solução é particularmente simples e descreve, por exemplo, se , a decadência exponencial do material radioativo no nível macroscópico. Se o valor de não for conhecido a priori, pode ser determinado a partir de duas medições da solução. Por exemplo,
dá e .
Equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem não separáveis (não homogêneas)
As equações diferenciais ordinárias não homogêneas lineares de primeira ordem (EDOs) não são separáveis. Eles podem ser resolvidos pela seguinte abordagem, conhecida como método do fator de integração . Considere ODEs lineares de primeira ordem da forma geral:
O método para resolver esta equação depende de um fator de integração especial, μ :
Escolhemos este fator de integração porque ele tem a propriedade especial de que sua derivada é ela mesma vezes a função que estamos integrando, ou seja:
Multiplique ambos os lados da equação diferencial original por μ para obter:
Por causa do μ especial que escolhemos, podemos substituir dμ / dx por μ p ( x ), simplificando a equação para:
Usando a regra do produto ao contrário, obtemos:
Integrando os dois lados:
Finalmente, para resolver para y , dividimos ambos os lados por μ :
Como μ é uma função de x , não podemos simplificar mais diretamente.
Equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem
Um exemplo simples
Suponha que uma massa esteja presa a uma mola que exerce uma força atrativa na massa proporcional à extensão / compressão da mola. Por enquanto, podemos ignorar quaisquer outras forças ( gravidade , fricção , etc.). Devemos escrever a extensão da mola em um tempo t como x ( t ). Agora, usando a segunda lei de Newton , podemos escrever (usando unidades convenientes):
onde m é a massa ek é a constante da mola que representa uma medida da rigidez da mola. Para simplificar, tomemos m = k como exemplo.
Se buscarmos soluções que tenham a forma , onde C é uma constante, descobrimos a relação e, portanto, deve ser um dos números complexos ou . Assim, usando a fórmula de Euler, podemos dizer que a solução deve ser da forma:
Veja uma solução por WolframAlpha .
Para determinar as constantes desconhecidas A e B , precisamos das condições iniciais , ou seja, igualdades que especificam o estado do sistema em um determinado momento (geralmente t = 0).
Por exemplo, se supormos que em t = 0, a extensão é uma distância unitária ( x = 1) e a partícula não está se movendo ( dx / dt = 0). Nós temos
e assim A = 1.
e então B = 0.
Portanto, x ( t ) = cos t . Este é um exemplo de movimento harmônico simples .
Veja uma solução por Wolfram Alpha .
Um modelo mais complicado
O modelo acima de uma massa oscilante em uma mola é plausível, mas não muito realista: na prática, o atrito tenderá a desacelerar a massa e ter magnitude proporcional à sua velocidade (ou seja, dx / dt ). Nossa nova equação diferencial, expressando o equilíbrio da aceleração e das forças, é
onde é o coeficiente de amortecimento que representa o atrito. Novamente procurando por soluções do formulário , descobrimos que
Esta é uma equação quadrática que podemos resolver. Se houver duas raízes conjugadas complexas a ± ib , e a solução (com as condições de contorno acima) será semelhante a esta:
Para simplificar , tomemos , então, e .
A equação também pode ser resolvida na caixa de ferramentas simbólicas do MATLAB como
x = dsolve('D2x+c*Dx+k*x=0','x(0)=1','Dx(0)=0')
% or equivalently
syms x(t) c k
Dx = diff(x, t);
x = dsolve(diff(x,t,2) + c*Dx + k*x == 0, x(0) == 1, Dx(0) == 0)
embora a solução pareça bastante feia,
x = (c + (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*exp(t*(c/2 - (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2)) -
(c - (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*exp(t*(c/2 + (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2))
Este é um modelo de oscilador amortecido . O gráfico de deslocamento contra o tempo seria assim:
que se assemelha a como se esperaria que uma mola vibratória se comportasse quando a fricção remover energia do sistema.
Sistemas lineares de ODEs
O exemplo a seguir de um sistema linear de primeira ordem de ODEs
pode ser facilmente resolvido simbolicamente usando software de análise numérica .
Veja também
- Equação diferencial de Bernoulli
- Equação diferencial binomial
- Formas diferenciais fechadas e exatas
- Equação diferencial ordinária
Bibliografia
- AD Polyanin e VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations , 2nd Edition, Chapman & Hall / CRC Press , Boca Raton, 2003; ISBN 1-58488-297-2 .
links externos
- Equações diferenciais ordinárias em EqWorld: The World of Mathematical Equations.