Teorema de Euclides-Euler - Euclid–Euler theorem

O teorema de Euclides-Euler é um teorema da teoria dos números que relaciona os números perfeitos aos primos de Mersenne . Afirma que um número par é perfeito se e somente se tiver a forma 2 ^{p −1} (2 ^p - 1) , onde 2 ^p - 1 é um número primo . O teorema é nomeado após os matemáticos Euclid e Leonhard Euler , que respectivamente provaram os aspectos "se" e "somente se" do teorema.

Foi conjeturado que existem infinitos primos de Mersenne. Embora a verdade dessa conjectura permaneça desconhecida, ela é equivalente, pelo teorema de Euclides-Euler, à conjectura de que existem infinitos números pares perfeitos. No entanto, também não se sabe se existe um único número perfeito ímpar.

Declaração e exemplos

Um número perfeito é um número natural que é igual à soma de seus divisores próprios , os números que são menores que ele e o divide igualmente (com resto zero). Por exemplo, os divisores adequados de 6 são 1, 2 e 3, que somam 6, então 6 é perfeito.

Um primo de Mersenne é um número primo da forma M _p = 2 ^p - 1 , um a menos que uma potência de dois . Para que um número dessa forma seja primo, o próprio p deve ser primo, mas nem todos os primos dão origem a primos de Mersenne dessa maneira. Por exemplo, 2 ³ - 1 = 7 é um primo de Mersenne, mas 2 ¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 não é.

O teorema de Euclid – Euler afirma que um número natural par é perfeito se, e somente se, tiver a forma 2 ^{p −1} M _p , onde M _p é um número primo de Mersenne. O número perfeito 6 vem de p = 2 dessa maneira, como 2 ²⁻¹ M ₂ = 2 × 3 = 6 , e o primo de Mersenne 7 corresponde da mesma maneira ao número perfeito 28.

História

Euclides provou que 2 ^{p −1} (2 ^p - 1) é um número perfeito par sempre que 2 ^p - 1 é primo. Este é o resultado final sobre a teoria dos números em de Euclides Elements ; os últimos livros nos Elementos, em vez disso, tratam de números irracionais , geometria sólida e a proporção áurea . Euclides expressa o resultado afirmando que se uma série geométrica finita começando em 1 com razão 2 tem uma soma primo q , então essa soma multiplicada pelo último termo t na série é perfeita. Expresso nesses termos, a soma q da série finita é o primo de Mersenne 2 ^p - 1 e o último termo t na série é a potência de dois 2 ^{p −1} . Euclides prova que qt é perfeito observando que a série geométrica com razão 2 a partir de q , com o mesmo número de termos, é proporcional à série original; portanto, como a série original soma q = 2 t - 1 , a segunda série soma q (2 t - 1) = 2 qt - q , e ambas as séries juntas somam 2 qt , duas vezes o suposto número perfeito. No entanto, essas duas séries são disjuntas uma da outra e (pela primalidade de q ) exaurem todos os divisores de qt , então qt tem divisores que somam 2 qt , mostrando que é perfeito.

Mais de um milênio após Euclides, Alhazen c.  1000 EC conjecturou que todo número perfeito par é da forma 2 ^{p −1} (2 ^p - 1) onde 2 ^p - 1 é primo, mas ele não foi capaz de provar esse resultado. Foi somente no século 18, mais de 2.000 anos depois de Euclides, que Leonhard Euler provou que a fórmula 2 ^{p −1} (2 ^p - 1) produzirá todos os números pares perfeitos. Portanto, há uma relação um-para-um entre os números perfeitos pares e os primos de Mersenne; cada primo de Mersenne gera um número perfeito par e vice-versa. Após a prova de Euler do teorema de Euclides – Euler, outros matemáticos publicaram diferentes provas, incluindo Victor-Amédée Lebesgue , Robert Daniel Carmichael , Leonard Eugene Dickson , John Knopfmacher e Wayne L. McDaniel. A prova de Dickson, em particular, tem sido comumente usada em livros didáticos.

Este teorema foi incluído em uma lista dos "100 principais teoremas matemáticos", datada de 1999, que mais tarde foi usada por Freek Wiedijk como um conjunto de referência para testar o poder de diferentes assistentes de prova . Em 2021, a prova do teorema de Euclides-Euler foi formalizada em 5 dos 10 assistentes de prova registrados por Wiedijk.

Prova

A prova de Euler é curta e depende do fato da soma da função divisora σ ser multiplicativa ; isto é, se um e b são dois quaisquer relativamente primos números inteiros, em seguida, σ ( ab ) = σ ( um ) σ ( b ) . Para que esta fórmula seja válida, a soma dos divisores de um número deve incluir o próprio número, não apenas os divisores adequados. Um número é perfeito se e somente se sua soma de divisores for duas vezes seu valor.

Suficiência

Uma direção do teorema (a parte já provada por Euclides) segue imediatamente da propriedade multiplicativa: todo primo de Mersenne dá origem a um número perfeito par. Quando 2 ^p - 1 é primo, Os divisores de 2 ^{p −1} são 1, 2, 4, 8, ..., 2 ^{p −1} . A soma desses divisores é uma série geométrica cuja soma é 2 ^p - 1 . Em seguida, como 2 ^p - 1 é primo, seus únicos divisores são 1 e ele mesmo, então a soma de seus divisores é 2 ^p . ${\ displaystyle \ sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} -1).}$

Combinando estes,

$${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) & = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} -1) \\ & = (2 ^ {p} -1) (2 ^ {p}) \\ & = 2 (2 ^ {p-1}) (2 ^ {p} -1). \ End { alinhado}}}$$

Necessidade

Na outra direção, suponha que um número perfeito par tenha sido dado e fatore-o parcialmente como 2 ^k x , onde x é ímpar. Para que 2 ^k x seja perfeito, a soma de seus divisores deve ser duas vezes seu valor:

${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} x = \ sigma (2 ^ {k} x) = (2 ^ {k + 1} -1) \ sigma (x).}$

(∗)

O fator ímpar 2 ^{k +1} - 1 no lado direito de (∗) é pelo menos 3 e deve dividir x , o único fator ímpar no lado esquerdo, então y = x / (2 ^{k +1} - 1) é um divisor apropriado de x . Dividindo ambos os lados de (*) pelo factor comum 2 ^{k um} - 1 e tendo em conta os divisores conhecidos x e y de x dá

${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} y = \ sigma (x) = x + y + {}}$outros divisores outros divisores.${\ displaystyle {} = 2 ^ {k + 1} y + {}}$

Para que essa igualdade seja verdadeira, não pode haver outros divisores. Portanto, y deve ser 1 e x deve ser primo na forma 2 ^{k +1} - 1 .

Referências