Pomar de Euclides - Euclid's orchard

Um canto do pomar de Euclides, no qual as árvores são rotuladas com a coordenada x de sua projeção no plano x + y = 1 .

Em matemática , falando informalmente, o pomar de Euclides é um conjunto de "árvores" unidimensionais de altura unitária plantadas nos pontos da rede em um quadrante de uma rede quadrada . Mais formalmente, pomar de Euclides é o conjunto de segmentos de linha de ( i , j , 0) a ( i , j , 1) , onde i e j são inteiros positivos.

Vista plana de um canto do pomar de Euclides. As árvores marcadas por um ponto azul sólido são visíveis desde a origem.
Vista em perspectiva do pomar de Euclides desde a origem. Árvores vermelhas denotam duas fileiras fora da diagonal principal.

As árvores visíveis desde a origem são aquelas nos pontos da rede ( m , n , 0) , onde m e n são coprimos , ou seja, onde a fraçãom/nestá em forma reduzida . O nome Pomar de Euclides é derivado do algoritmo euclidiano .

Se o pomar for projetado em relação à origem no plano x + y = 1 (ou, equivalentemente, desenhado em perspectiva de um ponto de vista na origem), as copas das árvores formam um gráfico da função de Thomae . O ponto ( m , n , 1) projeta para

A solução para o problema de Basel pode ser usada para mostrar que a proporção de pontos na grade que possuem árvores é aproximadamente e que o erro dessa aproximação vai para zero no limite à medida que vai para o infinito.

Veja também

Referências

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