Tensor eletromagnético - Electromagnetic tensor

No eletromagnetismo , o tensor eletromagnético ou tensor de campo eletromagnético (às vezes chamado de tensor de força de campo , tensor de Faraday ou bivetor de Maxwell ) é um objeto matemático que descreve o campo eletromagnético no espaço-tempo. O tensor de campo foi usado pela primeira vez depois que a formulação do tensor quadridimensional da relatividade especial foi introduzida por Hermann Minkowski . O tensor permite que leis físicas relacionadas sejam escritas de forma muito concisa.

Definição

O tensor eletromagnético, convencionalmente rotulado como F , é definido como a derivada externa do quatro potencial eletromagnético , A , uma forma diferencial 1:

Portanto, F é uma forma diferencial 2 - isto é, um campo tensor antissimétrico de classificação 2 - no espaço de Minkowski. Em forma de componente,

onde está o gradiente de quatro e é o potencial de quatro .

As unidades SI para as equações de Maxwell e a convenção de sinais do físico de partículas para a assinatura do espaço de Minkowski (+ - - -) , serão usadas ao longo deste artigo.

Relação com os campos clássicos

Os campos elétricos e magnéticos podem ser obtidos a partir dos componentes do tensor eletromagnético. A relação é mais simples em coordenadas cartesianas :

onde c é a velocidade da luz, e

onde está o tensor Levi-Civita . Isso fornece os campos em um quadro de referência específico; se o referencial for alterado, os componentes do tensor eletromagnético se transformarão covariantemente , e os campos no novo referencial serão dados pelos novos componentes.

Na forma de matriz contravariante ,

A forma covariante é dada pela redução do índice ,

O Hodge dual do tensor de Faraday é

A partir de agora neste artigo, quando os campos elétricos ou magnéticos forem mencionados, assume-se um sistema de coordenadas cartesianas, e os campos elétricos e magnéticos são em relação ao referencial do sistema de coordenadas, como nas equações acima.

Propriedades

A forma de matriz do tensor de campo produz as seguintes propriedades:

  1. Antissimetria :
  2. Seis componentes independentes: Em coordenadas cartesianas, esses são simplesmente os três componentes espaciais do campo elétrico ( E x , E y , E z ) e do campo magnético ( B x , B y , B z ).
  3. Produto interno: Se alguém formar um produto interno do tensor de intensidade de campo, um invariante de Lorentz é formado
    o que significa que este número não muda de um quadro de referência para outro.
  4. Invariante pseudoescalar : O produto do tensorcom seu dual de Hodge dá um invariante de Lorentz :
    onde está o
    símbolo Levi-Civita de classificação 4 . O sinal para o acima depende da convenção usada para o símbolo Levi-Civita. A convenção usada aqui é .
  5. Determinante :
    que é proporcional ao quadrado do invariante acima.
  6. Traço :
    que é igual a zero.

Significado

Este tensor simplifica e reduz as equações de Maxwell como quatro equações de cálculo vetorial em duas equações de campo do tensor. Em eletrostática e eletrodinâmica , a lei de Gauss e a lei circuital de Ampère são, respectivamente:

e reduzir à equação de Maxwell não homogênea:

, onde está a quatro correntes .

Em magnetostática e magnetodinâmica, a lei de Gauss para o magnetismo e a equação de Maxwell-Faraday são respectivamente:

que se reduzem à identidade Bianchi :

ou usando a notação de índice com colchetes para a parte anti-simétrica do tensor:

Relatividade

O tensor de campo deriva seu nome do fato de que o campo eletromagnético obedece à lei de transformação do tensor , esta propriedade geral das leis físicas sendo reconhecida após o advento da relatividade especial . Essa teoria estipulava que todas as leis da física deveriam assumir a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas - isso levou à introdução de tensores . O formalismo tensorial também leva a uma apresentação matematicamente mais simples das leis físicas.

A equação de Maxwell não homogênea leva à equação de continuidade :

implicando conservação de carga .

Leis de Maxwell acima pode ser generalizada para o espaço-tempo curvo substituindo simplesmente derivadas parciais com derivados covariantes :

e

onde a notação de ponto e vírgula representa uma derivada covariante, em oposição a uma derivada parcial. Essas equações às vezes são chamadas de equações de Maxwell do espaço curvo . Novamente, a segunda equação implica conservação de carga (em espaço-tempo curvo):

Formulação lagrangiana do eletromagnetismo clássico

O eletromagnetismo clássico e as equações de Maxwell podem ser derivados da ação :

Onde

  está além do espaço e do tempo.

Isso significa que a densidade Lagrangiana é

Os dois termos do meio entre parênteses são os mesmos, assim como os dois termos externos, então a densidade Lagrangiana é

Substituindo isso na equação de movimento de Euler-Lagrange para um campo:

Portanto, a equação de Euler-Lagrange torna-se:

A quantidade entre parênteses acima é apenas o tensor do campo, então isso finalmente simplifica para

Essa equação é outra maneira de escrever as duas equações de Maxwell não homogêneas (a saber, a lei de Gauss e a lei circuital de Ampère ) usando as substituições:

onde i, j, k assumem os valores 1, 2 e 3.

Forma hamiltoniana

A densidade hamiltoniana pode ser obtida com a relação usual,

.

Eletrodinâmica quântica e teoria de campo

O Lagrangiano da eletrodinâmica quântica se estende além do Lagrangiano clássico estabelecido na relatividade para incorporar a criação e aniquilação de fótons (e elétrons):

onde a primeira parte do lado direito, contendo o espinor de Dirac , representa o campo de Dirac . Na teoria quântica de campos, ele é usado como modelo para o tensor de intensidade do campo de medição. Por ser empregado além da interação local Lagrangiana, ele repete seu papel usual no QED.

Veja também

Notas

  1. ^ Por definição,

    Então se

    então

Referências