Massa efetiva (física do estado sólido) - Effective mass (solid-state physics)

Na física do estado sólido , a massa efetiva de uma partícula (freqüentemente denotada ) é a massa que ela parece ter ao responder a forças, ou a massa que parece ter ao interagir com outras partículas idênticas em uma distribuição térmica . Um dos resultados da teoria de bandas de sólidos é que o movimento das partículas em um potencial periódico, em longas distâncias maiores que o espaçamento da rede, pode ser muito diferente de seu movimento no vácuo. A massa efetiva é uma quantidade que é usada para simplificar estruturas de bandas modelando o comportamento de uma partícula livre com aquela massa. Para algumas finalidades e alguns materiais, a massa efetiva pode ser considerada uma simples constante de um material. Em geral, entretanto, o valor da massa efetiva depende da finalidade para a qual ela é usada e pode variar dependendo de uma série de fatores.

Para elétrons ou lacunas de elétrons em um sólido, a massa efetiva é geralmente declarada em unidades da massa de repouso de um elétron , m e (9,11 × 10 −31 kg). Nessas unidades, está geralmente na faixa de 0,01 a 10, mas também pode ser menor ou maior - por exemplo, chegando a 1.000 em materiais de férmions pesados exóticos ou em qualquer lugar de zero a infinito (dependendo da definição) no grafeno . Por simplificar a teoria de banda mais geral, a massa efetiva eletrônica pode ser vista como um parâmetro básico importante que influencia as propriedades mensuráveis ​​de um sólido, incluindo tudo, desde a eficiência de uma célula solar até a velocidade de um circuito integrado.

Caso simples: relação de dispersão parabólica, isotrópica

Nas energias mais altas da banda de valência em muitos semicondutores (Ge, Si, GaAs, ...), e as energias mais baixas da banda de condução em alguns semicondutores (GaAs, ...), a estrutura de banda E ( k ) pode ser aproximado localmente como

onde E ( k ) é a energia de um elétron no vetor de onda k nessa banda, E 0 é uma constante dando a borda da energia dessa banda e m * é uma constante (a massa efetiva).

Pode-se mostrar que os elétrons colocados nessas bandas se comportam como elétrons livres, exceto com uma massa diferente, desde que sua energia permaneça dentro da faixa de validade da aproximação acima. Como resultado, a massa do elétron em modelos como o modelo Drude deve ser substituída pela massa efetiva.

Uma propriedade notável é que a massa efetiva pode se tornar negativa , quando a banda se curva para baixo, afastando-se de um máximo. Como resultado da massa negativa , os elétrons respondem às forças elétricas e magnéticas ganhando velocidade na direção oposta em relação ao normal; mesmo que esses elétrons tenham carga negativa, eles se movem em trajetórias como se tivessem carga positiva (e massa positiva). Isso explica a existência de buracos na banda de valência , as quasipartículas de massa positiva e carga positiva que podem ser encontradas em semicondutores.

Em qualquer caso, se a estrutura da banda tem a forma parabólica simples descrita acima, então o valor da massa efetiva é inequívoco. Infelizmente, esta forma parabólica não é válida para descrever a maioria dos materiais. Em tais materiais complexos, não há uma definição única de "massa efetiva", mas, em vez disso, várias definições, cada uma adequada a um propósito específico. O restante do artigo descreve essas massas efetivas em detalhes.

Caso intermediário: relação de dispersão parabólica, anisotrópica

Elipsóides de energia constante em silício perto dos seis mínimos da banda de condução. Para cada vale (banda mínima), as massas efetivas são m = 0,92 m e ("longitudinal"; ao longo de um eixo) e m t = 0,19 m e ("transversal"; ao longo de dois eixos).

Em alguns semicondutores importantes (notadamente, o silício), as energias mais baixas da banda de condução não são simétricas, pois as superfícies de energia constante agora são elipsóides , em vez de esferas no caso isotrópico. Cada mínimo de banda de condução pode ser aproximado apenas por

onde os eixos x , y e z estão alinhados aos eixos principais dos elipsóides e m x * , m y * e m z * são as massas inerciais efetivas ao longo desses diferentes eixos. Os deslocamentos k 0, x , k 0, y e k 0, z refletem que o mínimo da banda de condução não está mais centrado no vetor de onda zero. (Essas massas efetivas correspondem aos componentes principais do tensor de massa inercial efetiva, descrito posteriormente.)

Nesse caso, o movimento do elétron não é mais diretamente comparável ao de um elétron livre; a velocidade de um elétron dependerá de sua direção, e ele acelerará em um grau diferente dependendo da direção da força. Ainda assim, em cristais como o silício, as propriedades gerais, como a condutividade, parecem ser isotrópicas. Isso ocorre porque há vários vales (mínimos da banda de condução), cada um com massas efetivas reorganizadas ao longo de eixos diferentes. Os vales atuam coletivamente para fornecer uma condutividade isotrópica. É possível calcular a média das massas efetivas dos diferentes eixos de alguma forma, para recuperar a imagem do elétron livre. No entanto, o método de cálculo da média depende do propósito:

  • Para o cálculo da densidade total de estados e da densidade total de portadores, por meio da média geométrica combinada com um fator de degenerescência g que conta o número de vales (em silício g = 6 ):

    (Esta massa efetiva corresponde à densidade dos estados de massa efetiva, descrita posteriormente.)

    Para a densidade de estados por vale e a densidade de portadores por vale, o fator de degeneração é omitido.
  • Para efeitos de cálculo da condutividade como no modelo Drude, via a média harmônica
    Como a lei de Drude também depende do tempo de espalhamento, que varia muito, essa massa efetiva raramente é usada; a condutividade é geralmente expressa em termos de densidade da portadora e um parâmetro medido empiricamente, a mobilidade da portadora .

Caso Geral

Em geral, a relação de dispersão não pode ser aproximada como parabólica e, em tais casos, a massa efetiva deve ser definida com precisão se for para ser usada. Aqui, uma definição comumente declarada de massa efetiva é o tensor inercial de massa efetiva definido abaixo; entretanto, em geral, é uma função com valor de matriz do vetor de onda e ainda mais complexa do que a estrutura de banda. Outras massas efetivas são mais relevantes para fenômenos mensuráveis ​​diretamente.

Tensor de massa inercial eficaz

Uma partícula clássica sob a influência de uma força de acelera o de acordo com a segunda lei de Newton , um = m -1 F . Este princípio intuitivo aparece de forma idêntica em aproximações semiclássicas derivadas da estrutura de bandas. No entanto, cada um dos símbolos tem um significado ligeiramente modificado; a aceleração se torna a taxa de mudança na velocidade do grupo :

onde k é o operador del no espaço recíproco , e a força dá uma taxa de mudança no momento do cristal p cristal :

onde ħ = h / 2π é a constante de Planck reduzida . Combinando essas duas equações resulta

Extrair o i ésimo elemento de ambos os lados dá

onde a i é o i ésimo elemento de a , F j é o j ésimo elemento de F , k i e k j são os i ésimos e j ésimos elementos de k , respectivamente, e E é a energia total da partícula de acordo com a relação Planck-Einstein . O índice j é contraído pelo uso da notação de Einstein (há um somatório implícito sobre j ). Como a segunda lei de Newton usa a massa inercial (não a massa gravitacional ), podemos identificar o inverso dessa massa na equação acima como o tensor

Este tensor expressa a mudança na velocidade do grupo devido a uma mudança no momento do cristal. Seu inverso, M inerte , é conhecido como tensor de massa efetivo .

A expressão inercial para massa efetiva é comumente usada, mas observe que suas propriedades podem ser contra-intuitivas:

  • O tensor de massa efetivo geralmente varia dependendo de k , o que significa que a massa da partícula realmente muda após ser sujeita a um impulso. Os únicos casos em que permanece constante são os das bandas parabólicas, descritos acima.
  • O tensor de massa efetivo diverge (torna-se infinito) para relações de dispersão linear, como com fótons ou elétrons no grafeno . (Às vezes é dito que essas partículas não têm massa; no entanto, isso se refere ao fato de terem massa de repouso zero ; a massa de repouso é um conceito distinto da massa efetiva.)

Massa efetiva do ciclotron

Classicamente, uma partícula carregada em um campo magnético se move em uma hélice ao longo do eixo do campo magnético. O período T do seu movimento depende de sua massa m e carga e ,

onde B é a densidade do fluxo magnético .

Para partículas em estruturas de banda assimétricas, a partícula não se move mais exatamente em uma hélice, porém seu movimento transversal ao campo magnético ainda se move em um loop fechado (não necessariamente um círculo). Além disso, o tempo para completar um desses loops ainda varia inversamente com o campo magnético, e assim é possível definir uma massa efetiva do ciclotron a partir do período medido, usando a equação acima.

O movimento semiclássico da partícula pode ser descrito por um circuito fechado no espaço k. Ao longo desse loop, a partícula mantém uma energia constante, bem como um momento constante ao longo do eixo do campo magnético. Definindo A como a área de espaço k delimitada por este loop (esta área depende da energia E , a direção do campo magnético e o vetor de onda no eixo k B ), então pode ser mostrado que a massa efetiva do ciclotron depende da estrutura de banda através da derivada desta área em energia:

Normalmente, os experimentos que medem o movimento do cíclotron ( ressonância do cíclotron , efeito De Haas-Van Alphen , etc.) são restritos apenas ao movimento da sonda para energias próximas ao nível de Fermi .

Em gases de elétrons bidimensionais , a massa efetiva do ciclotron é definida apenas para uma direção do campo magnético (perpendicular) e o vetor de onda fora do plano cai. A massa efetiva do cíclotron, portanto, é apenas uma função da energia, e acaba sendo exatamente relacionada à densidade de estados naquela energia por meio da relação , onde g v é a degenerescência do vale. Essa relação simples não se aplica a materiais tridimensionais.

Densidade de massas efetivas de estados (semicondutores levemente dopados)

Densidade de estados de massa efetiva em vários semicondutores
Grupo Material Elétron Buraco
4 Si (4  K) 1.06 0,59
Si (300  K) 1.09 1,15
Ge 0,55 0,37
III-V GaAs 0,067 0,45
InSb 0,013 0,6
II-VI ZnO 0,29 1,21
ZnSe 0,17 1,44

Em semicondutores com baixos níveis de dopagem, a concentração de elétrons na banda de condução é geralmente dada por

onde E F é o nível de Fermi , E C é a energia mínima da banda de condução e N C é um coeficiente de concentração que depende da temperatura. A relação acima para n e pode ser aplicada a qualquer formato de banda de condução (incluindo bandas não parabólicas e assimétricas), desde que a dopagem seja fraca ( E C - E F >> kT ); isso é uma consequência da limitação das estatísticas de Fermi – Dirac em relação às estatísticas de Maxwell – Boltzmann .

O conceito de massa efetiva é útil para modelar a dependência de N C com a temperatura , permitindo assim que a relação acima seja usada em uma faixa de temperaturas. Em um material tridimensional idealizado com banda parabólica, o coeficiente de concentração é dado por

Em semicondutores com estruturas de banda não simples, essa relação é usada para definir uma massa efetiva, conhecida como densidade de estados de massa efetiva de elétrons . O nome "densidade de estados de massa efetiva" é usado uma vez que a expressão acima para N C é derivada através da densidade de estados para uma banda parabólica.

Na prática, a massa efetiva extraída desta forma não é muito constante em temperatura ( N C não varia exatamente como T 3/2 ). No silício, por exemplo, essa massa efetiva varia alguns por cento entre o zero absoluto e a temperatura ambiente porque a própria estrutura da banda muda ligeiramente de forma. Essas distorções da estrutura de banda são resultado de mudanças nas energias de interação elétron-fônon, com a expansão térmica da rede desempenhando um papel menor.

Da mesma forma, o número de orifícios na banda de valência e a densidade dos estados de massa efetiva dos orifícios são definidos por:

onde E V é a energia máxima da banda de valência. Praticamente, essa massa efetiva tende a variar muito entre o zero absoluto e a temperatura ambiente em muitos materiais (por exemplo, um fator de dois no silício), pois existem várias bandas de valência com caráter distinto e significativamente não parabólico, todas com pico próximo à mesma energia .

Determinação

Experimental

Tradicionalmente, as massas efetivas eram medidas usando a ressonância do ciclotron , um método no qual a absorção de microondas de um semicondutor imerso em um campo magnético passa por um pico agudo quando a freqüência do microondas é igual à freqüência do ciclotron . Nos últimos anos, as massas efetivas têm sido mais comumente determinadas através da medição de estruturas de banda usando técnicas como a emissão de foto com resolução em ângulo ( ARPES ) ou, mais diretamente, o efeito de Haas-van Alphen . As massas efetivas também podem ser estimadas usando o coeficiente γ do termo linear no calor específico eletrônico de baixa temperatura em volume constante . O calor específico depende da massa efetiva por meio da densidade de estados no nível de Fermi e, como tal, é uma medida de degenerescência e também da curvatura da banda. Estimativas muito grandes de massa transportadora de medições de calor específicas deram origem ao conceito de materiais de férmions pesados . Uma vez que a mobilidade da portadora depende da razão entre o tempo de vida de colisão da portadora e a massa efetiva, as massas podem, em princípio, ser determinadas a partir de medições de transporte, mas este método não é prático uma vez que as probabilidades de colisão da portadora normalmente não são conhecidas a priori. O efeito Hall óptico é uma técnica emergente para medir a densidade de portadores de carga livre, massa efetiva e parâmetros de mobilidade em semicondutores. O efeito Hall óptico mede o análogo do efeito Hall elétrico induzido por campo elétrico quase estático em frequências ópticas em materiais condutores e em camadas complexas. O efeito Hall óptico também permite a caracterização da anisotropia (caráter tensor) da massa efetiva e parâmetros de mobilidade.

Teórico

Uma variedade de métodos teóricos incluindo teoria funcional da densidade , k · teoria p perturbação , e outros são utilizados para completar e suportar as várias medições experimentais descritos na secção anterior, incluindo interpretação, montagem, e extrapolando estas medições. Alguns desses métodos teóricos também podem ser usados ​​para previsões ab initio de massa efetiva na ausência de quaisquer dados experimentais, por exemplo, para estudar materiais que ainda não foram criados em laboratório.

Significado

A massa efetiva é usada em cálculos de transporte, como transporte de elétrons sob a influência de campos ou gradientes de portadores, mas também é usada para calcular a densidade de portadores e a densidade de estados em semicondutores. Essas massas estão relacionadas, mas, como explicado nas seções anteriores, não são as mesmas porque as ponderações de várias direções e vetores de ondas são diferentes. Essas diferenças são importantes, por exemplo em materiais termoelétricos , onde alta condutividade, geralmente associada à massa leve, é desejada ao mesmo tempo que alto coeficiente de Seebeck , geralmente associado à massa pesada. Métodos para avaliar as estruturas eletrônicas de diferentes materiais neste contexto têm sido desenvolvidos.

Certos compostos do grupo III - V , como arsenieto de gálio (GaAs) e antimoneto de índio (InSb), têm massas efetivas muito menores do que materiais tetraédricos do grupo IV , como silício e germânio . No mais simples imagem Drude de transporte electrónico, a velocidade máxima de portadores de carga obtida é inversamente proporcional à massa eficaz: onde com sendo a carga electrónica . A velocidade final dos circuitos integrados depende da velocidade da portadora, então a baixa massa efetiva é a razão fundamental para que GaAs e seus derivados sejam usados ​​em vez de Si em aplicações de alta largura de banda , como telefonia celular .

Em abril de 2017, pesquisadores da Washington State University afirmaram ter criado um fluido com massa efetiva negativa dentro de um condensado de Bose-Einstein , por meio da engenharia da relação de dispersão .

Veja também

Modelos de sólidos e cristais:

Notas de rodapé

Referências

  • Pastori Parravicini, G. (1975). Estados eletrônicos e transições ópticas em sólidos . Pergamon Press . ISBN 978-0-08-016846-3. Este livro contém uma discussão exaustiva, mas acessível, do tópico, com ampla comparação entre cálculos e experimentos.
  • S. Pekar, O método de massa de elétrons efetiva em cristais, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 16. 933 (1946).

links externos