Planímetro de pontos - Dot planimeter
Um planímetro de pontos é um dispositivo usado em planimetria para estimar a área de uma forma , consistindo em uma folha transparente contendo uma grade quadrada de pontos. Para estimar a área de uma forma, a folha é sobreposta à forma e os pontos dentro da forma são contados. A estimativa da área é o número de pontos contados multiplicado pela área de um único quadrado de grade. Em algumas variações, os pontos que pousam no ou perto do limite da forma são contados como metade de uma unidade. Os pontos também podem ser agrupados em grupos quadrados maiores por linhas desenhadas na transparência, permitindo que grupos que estão inteiramente dentro da forma sejam adicionados à contagem, em vez de exigir que seus pontos sejam contados um por um.
A estimativa da área por meio de uma grade de pontos também tem sido chamada de método de grade de pontos ou (particularmente quando o alinhamento da grade com a forma é aleatório) amostragem sistemática . Talvez por causa de sua simplicidade, ele foi reinventado repetidamente.
Aplicativo
Em silvicultura , cartografia e geografia , o planímetro de pontos foi aplicado a mapas para estimar a área de parcelas de terra. Em botânica e horticultura , foi aplicado diretamente nas folhas amostradas para estimar a área foliar média.
Na medicina, foi aplicado aos diagramas de Lashley como uma estimativa do tamanho das lesões cerebrais .
Na mineralogia , uma técnica semelhante de contagem de pontos em uma grade é aplicada a seções transversais de amostras de rocha para um propósito diferente, estimando as proporções relativas de diferentes minerais constituintes.
Teoria
Maior precisão pode ser alcançada usando um planímetro de pontos com uma grade mais fina de pontos. Alternativamente, colocar repetidamente um planímetro de pontos com diferentes deslocamentos irracionais de sua colocação anterior, e fazer a média das medições resultantes, pode levar a um conjunto de medições amostradas cuja média tende para a área real da forma medida. O método que usa uma grade mais fina tende a ter melhor eficiência estatística do que a medição repetida com posicionamentos aleatórios.
De acordo com o teorema de Pick , publicado por Georg Alexander Pick em 1899, a versão do planímetro de pontos com pontos de contorno contando como 1/2 (e com um termo de correção adicionado de -1) dá resultados exatos para polígonos que têm os pontos como vértices . De acordo com o teorema de Blichfeldt , publicado por Hans Frederick Blichfeldt em 1914, é sempre possível deslocar um planímetro de pontos em relação a uma determinada forma sem girá-lo de modo que o número de pontos dentro da forma seja pelo menos igual à sua área.
O problema do círculo de Gauss diz respeito ao erro que seria obtido usando um planímetro de pontos para estimar a área de um círculo . Como o próprio nome sugere, foi estudado no início do século 19 por Carl Friedrich Gauss . O erro máximo é conhecido por ser limitado por uma potência fracionária do raio do círculo, com expoente entre 1/2 e 131/208.
Dispositivos relacionados
O planímetro de pontos difere de outros tipos de planímetro , que medem a área de uma forma passando um dispositivo em torno de seu limite.
O longímetro Steinhaus é um dispositivo semelhante baseado em transparência para estimar o comprimento de curvas por contagem de cruzamentos.
Referências
links externos
- Dot planimeter , Chris Staecker, Fairfield University