Regra de divisibilidade - Divisibility rule

Uma regra de divisibilidade é uma forma abreviada e útil de determinar se um dado inteiro é divisível por um divisor fixo sem realizar a divisão, geralmente examinando seus dígitos. Embora existam testes de divisibilidade para números em qualquer raiz ou base, e todos eles sejam diferentes, este artigo apresenta regras e exemplos apenas para números decimais ou de base 10. Martin Gardner explicou e popularizou essas regras em sua coluna "Jogos matemáticos" de setembro de 1962 na Scientific American .

Regras de divisibilidade para números 1-30

As regras fornecidas a seguir transformam um determinado número em um número geralmente menor, preservando a divisibilidade pelo divisor de interesse. Portanto, a menos que indicado de outra forma, o número resultante deve ser avaliado quanto à divisibilidade pelo mesmo divisor. Em alguns casos, o processo pode ser iterado até que a divisibilidade seja óbvia; para outros (como examinar os últimos n dígitos), o resultado deve ser examinado por outros meios.

Para divisores com várias regras, as regras são geralmente ordenadas primeiro para aquelas apropriadas para números com muitos dígitos, depois aquelas úteis para números com menos dígitos.

Nota: Para testar a divisibilidade por qualquer número que possa ser expresso como 2 ⁿ ou 5 ⁿ , em que n é um número inteiro positivo, basta examinar os últimos n dígitos.

Nota: Para testar a divisibilidade por qualquer número expresso como o produto dos fatores primos , podemos testar separadamente a divisibilidade por cada número primo em sua potência apropriada. Por exemplo, testar a divisibilidade por 24 (24 = 8 * 3 = 2 ³ * 3) é equivalente a testar a divisibilidade por 8 (2 ³ ) e 3 simultaneamente, portanto, precisamos apenas mostrar a divisibilidade por 8 e por 3 para provar a divisibilidade por 24 . ${\ displaystyle p_ {1} ^ {n} p_ {2} ^ {m} p_ {3} ^ {q}}$

Divisor	Condição de divisibilidade	Exemplos
1	Sem condição específica. Qualquer número inteiro é divisível por 1.	2 é divisível por 1.
2	O último dígito é par (0, 2, 4, 6 ou 8).	1294: 4 é par.
3	Some os dígitos. O resultado deve ser divisível por 3.	405 → 4 + 0 + 5 = 9 e 636 → 6 + 3 + 6 = 15, ambos claramente divisíveis por 3. 16.499.205.854.376 → 1 + 6 + 4 + 9 + 9 + 2 + 0 + 5 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6 soma a 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, que é claramente divisível por 3.
3	Subtraia a quantidade dos dígitos 2, 5 e 8 do número da quantidade dos dígitos 1, 4 e 7 do número. O resultado deve ser divisível por 3.	Usando o exemplo acima: 16.499.205.854.376 tem quatro dos dígitos 1, 4 e 7 e quatro dos dígitos 2, 5 e 8; ∴ Como 4 - 4 = 0 é um múltiplo de 3, o número 16.499.205.854.376 é divisível por 3.
4	Os dois últimos dígitos formam um número divisível por 4.	40.832: 32 é divisível por 4.
	Se o dígito das dezenas for par, o dígito da unidade deve ser 0, 4 ou 8. Se o dígito das dezenas for ímpar, o dígito da unidade deve ser 2 ou 6.	40.832: 3 é ímpar e o último dígito é 2.
	Dobre o dígito das dezenas, mais o dígito da unidade é divisível por 4.	40832: 2 × 3 + 2 = 8, que é divisível por 4.
5	O último dígito é 0 ou 5.	495: o último dígito é 5.
6	É divisível por 2 e por 3.	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, portanto, é divisível por 3 e o último dígito é par, portanto, o número é divisível por 6.
7	Formar uma soma alternada de blocos de três da direita para a esquerda dá um múltiplo de 7	1.369.851: 851 - 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	Adicionar 5 vezes o último dígito ao resto resulta em um múltiplo de 7. (Funciona porque 49 é divisível por 7.)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	Subtrair 2 vezes o último dígito do resto resulta em um múltiplo de 7. (Funciona porque 21 é divisível por 7.)	483: 48 - (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	Subtrair 9 vezes o último dígito do resto resulta em um múltiplo de 7.	483: 48 - (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	Adicionar 3 vezes o primeiro dígito ao próximo e escrever o resto dá um múltiplo de 7. (Isso funciona porque 10 a + b - 7 a = 3 a + b ; o último número tem o mesmo resto que 10 a + b . )	483: 4 × 3 + 8 = 20, 203: 2 × 3 + 0 = 6, 63: 6 × 3 + 3 = 21.
	Adicionar os dois últimos dígitos ao dobro do resto resulta em um múltiplo de 7. (Funciona porque 98 é divisível por 7.)	483.595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	Multiplique cada dígito (da direita para a esquerda) pelo dígito na posição correspondente neste padrão (da esquerda para a direita): 1, 3, 2, -1, -3, -2 (repetindo para dígitos além da casa dos cem mil ) Adicionar os resultados dá um múltiplo de 7.	483.595: (4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	Calcule o resto de cada par de dígitos (da direita para a esquerda) quando dividido por 7. Multiplique o resto mais à direita por 1, o próximo à esquerda por 2 e o próximo por 4, repetindo o padrão para pares de dígitos além da casa dos cem mil . Adicionar os resultados dá um múltiplo de 7.	194.536: 19 \| 45 \| 36; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, portanto não é divisível por 7 204.540: 20 \| 45 \| 40; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35, por isso é divisível por 7
8	Se o dígito das centenas for par, o número formado pelos dois últimos dígitos deve ser divisível por 8.	624: 24.
	Se o dígito das centenas for ímpar, o número obtido pelos dois últimos dígitos mais 4 deve ser divisível por 8.	352: 52 + 4 = 56.
	Adicione o último dígito ao dobro do resto. O resultado deve ser divisível por 8.	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	Os últimos três dígitos são divisíveis por 8.	34,152: Examine a divisibilidade de apenas 152: 19 × 8
	Adicione quatro vezes o dígito das centenas ao dobro do dígito das dezenas ao dígito da unidade. O resultado deve ser divisível por 8.	34.152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	Some os dígitos. O resultado deve ser divisível por 9.	2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10	O dígito da unidade é 0.	130: o dígito da unidade é 0.
11	Forme a soma alternada dos dígitos. O resultado deve ser divisível por 11.	918.082: 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 2 × 11.
	Adicione os dígitos em blocos de dois da direita para a esquerda. O resultado deve ser divisível por 11.	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	Subtraia o último dígito do resto. O resultado deve ser divisível por 11.	627: 62 - 7 = 55 = 5 × 11.
	Adicione o último dígito à casa das centenas (adicione 10 vezes o último dígito ao resto). O resultado deve ser divisível por 11.	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	Se o número de dígitos for par, some o primeiro e subtraia o último dígito do resto. O resultado deve ser divisível por 11.	918.082: o número de dígitos é par (6) → 1808 + 9 - 2 = 1815: 81 + 1 - 5 = 77 = 7 × 11
	Se o número de dígitos for ímpar, subtraia o primeiro e o último dígito do resto. O resultado deve ser divisível por 11.	14.179: o número de dígitos é ímpar (5) → 417 - 1 - 9 = 407 = 37 × 11
12	É divisível por 3 e por 4.	324: é divisível por 3 e por 4.
12	Subtraia o último dígito do dobro do resto. O resultado deve ser divisível por 12.	324: 32 × 2 - 4 = 60 = 5 × 12.
13	Forme a soma alternada de blocos de três da direita para a esquerda. O resultado deve ser divisível por 13.	2.911.272: 272 - 911 + 2 = -637
	Adicione 4 vezes o último dígito ao resto. O resultado deve ser divisível por 13.	637: 63 + 7 × 4 = 91,9 + 1 × 4 = 13.
	Subtraia os dois últimos dígitos de quatro vezes o resto. O resultado deve ser divisível por 13.	923: 9 × 4 - 23 = 13.
	Subtraia 9 vezes o último dígito do resto. O resultado deve ser divisível por 13.	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	É divisível por 2 e por 7.	224: é divisível por 2 e por 7.
14	Adicione os dois últimos dígitos ao dobro do resto. O resultado deve ser divisível por 14.	364: 3 × 2 + 64 = 70. 1764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	É divisível por 3 e por 5.	390: é divisível por 3 e por 5.
16	Se o dígito dos milhares for par, o número formado pelos três últimos dígitos deve ser divisível por 16.	254,176: 176.
	Se o dígito dos milhares for ímpar, o número formado pelos três últimos dígitos mais 8 deve ser divisível por 16.	3408: 408 + 8 = 416.
	Adicione os dois últimos dígitos a quatro vezes o resto. O resultado deve ser divisível por 16.	176: 1 × 4 + 76 = 80. 1168: 11 × 4 + 68 = 112.
	Os últimos quatro dígitos devem ser divisíveis por 16.	157.648: 7.648 = 478 × 16.
17	Subtraia 5 vezes o último dígito do resto.	221: 22 - 1 × 5 = 17.
	Subtraia os dois últimos dígitos de duas vezes o resto.	4.675: 46 × 2 - 75 = 17.
	Adicione 9 vezes o último dígito a 5 vezes o resto. Solte os zeros à direita.	4.675: 467 × 5 + 5 × 9 = 2380; 238: 23 × 5 + 8 × 9 = 187.
18	É divisível por 2 e por 9.	342: é divisível por 2 e por 9.
19	Adicione duas vezes o último dígito ao resto.	437: 43 + 7 × 2 = 57.
19	Adicione 4 vezes os dois últimos dígitos ao resto.	6935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	É divisível por 10 e o dígito das dezenas é par.	360: é divisível por 10 e 6 é par.
20	O número formado pelos dois últimos dígitos é divisível por 20.	480: 80 é divisível por 20.
21	Subtrair duas vezes o último dígito do resto resulta em um múltiplo de 21.	168: 16 - 8 × 2 = 0.
21	É divisível por 3 e por 7.	231: é divisível por 3 e por 7.
22	É divisível por 2 e por 11.	352: é divisível por 2 e por 11.
23	Adicione 7 vezes o último dígito ao resto.	3128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
23	Adicione 3 vezes os dois últimos dígitos ao resto.	1725: 17 + 25 × 3 = 92.
24	É divisível por 3 e por 8.	552: é divisível por 3 e por 8.
25	Examine o número formado pelos dois últimos dígitos.	134.250: 50 é divisível por 25.
26	É divisível por 2 e por 13.	156: é divisível por 2 e por 13.
26	Subtrair 5 vezes o último dígito de 2 vezes o resto do número resulta em um múltiplo de 26	1248: (124 × 2) - (8 × 5) = 208 = 26 × 8
27	Some os dígitos em blocos de três da direita para a esquerda.	2.644.272: 2 + 644 + 272 = 918.
	Subtraia 8 vezes o último dígito do resto.	621: 62 - 1 × 8 = 54.
	Subtraia os dois últimos dígitos de 8 vezes o resto.	6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19.
28	É divisível por 4 e por 7.	140: é divisível por 4 e por 7.
29	Adicione três vezes o último dígito ao resto.	348: 34 + 8 × 3 = 58.
29	Adicione 9 vezes os dois últimos dígitos ao resto.	5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
30	É divisível por 3 e por 10.	270: é divisível por 3 e por 10.

Exemplos passo a passo

Divisibilidade por 2

Primeiro, pegue qualquer número (neste exemplo, será 376) e anote o último dígito do número, descartando os outros dígitos. Em seguida, pegue o dígito (6) enquanto ignora o resto do número e determine se ele é divisível por 2. Se for divisível por 2, então o número original é divisível por 2.

Exemplo

376 (o número original)
37 6 (Pegue o último dígito)
6 ÷ 2 = 3 (verifique se o último dígito é divisível por 2)
376 ÷ 2 = 188 (Se o último dígito for divisível por 2, então o número inteiro é divisível por 2)

Divisibilidade por 3 ou 9

Primeiro, pegue qualquer número (neste exemplo, será 492) e some cada dígito do número (4 + 9 + 2 = 15). Em seguida, pegue essa soma (15) e determine se ela é divisível por 3. O número original é divisível por 3 (ou 9) se e somente se a soma de seus dígitos for divisível por 3 (ou 9).

Adicionar os dígitos de um número e, em seguida, repetir o processo com o resultado até que apenas um dígito permaneça, dará o resto do número original se for dividido por nove (a menos que esse único dígito seja o próprio nove, caso em que o número é divisível por nove e o resto é zero).

Isso pode ser generalizado para qualquer sistema posicional padrão , no qual o divisor em questão torna-se então um a menos que a raiz ; assim, na base doze , os dígitos serão somados ao restante do número original se divididos por onze, e os números são divisíveis por onze apenas se a soma dos dígitos for divisível por onze.

O produto de três números consecutivos é sempre divisível por 3. Isso é útil quando um número assume a forma de n × ( n - 1) × ( n + 1).

Exemplo.

492 (o número original)
4 + 9 + 2 = 15 (Adicione cada dígito individual junto)
15 é divisível por 3, ponto em que podemos parar. Como alternativa, podemos continuar usando o mesmo método se o número ainda for muito grande:
1 + 5 = 6 (some cada dígito individual)
6 ÷ 3 = 2 (verifique se o número recebido é divisível por 3)
492 ÷ 3 = 164 (Se o número obtido usando a regra for divisível por 3, então o número inteiro é divisível por 3)

Exemplo.

336 (o número original)
6 × 7 × 8 = 336
336 ÷ 3 = 112

Divisibilidade por 4

A regra básica para a divisibilidade por 4 é que se o número formado pelos dois últimos dígitos de um número for divisível por 4, o número original será divisível por 4; isso ocorre porque 100 é divisível por 4 e, portanto, adicionar centenas, milhares, etc. é simplesmente adicionar outro número que é divisível por 4. Se qualquer número terminar em um número de dois dígitos que você sabe que é divisível por 4 (por exemplo, 24, 04, 08, etc.), o número inteiro será divisível por 4, independentemente do que estiver antes dos dois últimos dígitos.

Alternativamente, pode-se simplesmente dividir o número por 2 e, em seguida, verificar o resultado para descobrir se ele é divisível por 2. Se for, o número original é divisível por 4. Além disso, o resultado deste teste é o mesmo que o número original dividido por 4.

Exemplo.
Regra geral

2092 (o número original)
20 92 (pegue os dois últimos dígitos do número, descartando quaisquer outros dígitos)
92 ÷ 4 = 23 (verifique se o número é divisível por 4)
2092 ÷ 4 = 523 (Se o número obtido é divisível por 4, então o número original é divisível por 4)

Exemplo alternativo

1720 (o número original)
1720 ÷ 2 = 860 (divida o número original por 2)
860 ÷ 2 = 430 (verifique se o resultado é divisível por 2)
1720 ÷ 4 = 430 (Se o resultado for divisível por 2, então o número original é divisível por 4)

Divisibilidade por 5

A divisibilidade por 5 é facilmente determinada verificando o último dígito do número (47 5 ) e vendo se é 0 ou 5. Se o último número for 0 ou 5, o número inteiro será divisível por 5.

Se o último dígito do número for 0, o resultado será os dígitos restantes multiplicados por 2. Por exemplo, o número 40 termina em zero, então pegue os dígitos restantes (4) e multiplique-os por dois (4 × 2 = 8). O resultado é igual ao resultado de 40 dividido por 5 (40/5 = 8).

Se o último dígito do número for 5, o resultado será os dígitos restantes multiplicados por dois, mais um. Por exemplo, o número 125 termina em 5, então pegue os dígitos restantes (12), multiplique-os por dois (12 × 2 = 24) e some um (24 + 1 = 25). O resultado é igual ao resultado de 125 dividido por 5 (125/5 = 25).

Exemplo.
Se o último dígito for 0

110 (o número original)
11 0 (pegue o último dígito do número e verifique se é 0 ou 5)
11 0 (se for 0, pegue os dígitos restantes, descartando os últimos)
11 × 2 = 22 (Multiplique o resultado por 2)
110 ÷ 5 = 22 (o resultado é o mesmo que o número original dividido por 5)

Se o último dígito for 5

85 (o número original)
8 5 (Pegue o último dígito do número e verifique se é 0 ou 5)
8 5 (Se for 5, pegue os dígitos restantes, descartando os últimos)
8 × 2 = 16 (Multiplique o resultado por 2)
16 + 1 = 17 (Adicione 1 ao resultado)
85 ÷ 5 = 17 (o resultado é o mesmo que o número original dividido por 5)

Divisibilidade por 6

A divisibilidade por 6 é determinada verificando o número original para ver se é um número par ( divisível por 2 ) e divisível por 3 . Este é o melhor teste a ser usado.

Se o número for divisível por seis, pegue o número original (246) e divida-o por dois (246 ÷ 2 = 123). Então, pegue esse resultado e divida-o por três (123 ÷ 3 = 41). Esse resultado é igual ao número original dividido por seis (246 ÷ 6 = 41).

Exemplo.

Regra geral

324 (o número original)
324 ÷ 3 = 108 (verifique se o número original é divisível por 3)
324 ÷ 2 = 162 OU 108 ÷ 2 = 54 (Verifique se o número original ou o resultado da equação anterior é divisível por 2)
324 ÷ 6 = 54 (Se qualquer um dos testes na última etapa for verdadeiro, então o número original é divisível por 6. Além disso, o resultado do segundo teste retorna o mesmo resultado que o número original dividido por 6)

Encontrar o resto de um número quando dividido por 6: (1, −2, −2, −2, −2 e −2 continua para o resto) Sem período. - Sequência de magnitude mínima; (1, 4, 4, 4, 4 e 4 continua para o resto) - Sequência positiva; Multiplique o dígito mais à direita pelo dígito mais à esquerda na sequência e multiplique o segundo dígito mais à direita pelo segundo dígito mais à esquerda na sequência e assim por diante.; Em seguida, calcule a soma de todos os valores e pegue o resto na divisão por 6.

Exemplo: Qual é o resto quando 1036125837 é dividido por 6?

Multiplicação do dígito mais à direita = 1 × 7 = 7

Multiplicação do segundo dígito mais à direita = 3 × −2 = −6

Terceiro dígito mais à direita = −16

Quarto dígito mais à direita = −10

Quinto dígito mais à direita = −4

Sexto dígito mais à direita = -2

Sétimo dígito mais à direita = −12

Oitavo dígito mais à direita = −6

Nono dígito mais à direita = 0

Décimo dígito mais à direita = -2

Soma = −51

−51 ≡ 3 (mod 6)

Restante = 3

Divisibilidade por 7

A divisibilidade por 7 pode ser testada por um método recursivo. Um número com a forma 10 x + y é divisível por 7 se e somente se x - 2 y for divisível por 7. Em outras palavras, subtraia duas vezes o último dígito do número formado pelos dígitos restantes. Continue a fazer isso até que um número seja obtido para o qual seja conhecido se é divisível por 7. O número original é divisível por 7 se e somente se o número obtido usando este procedimento for divisível por 7. Por exemplo, o número 371: 37 - (2 × 1) = 37 - 2 = 35; 3 - (2 × 5) = 3 - 10 = −7; assim, como −7 é divisível por 7, 371 é divisível por 7.

Da mesma forma, um número na forma 10 x + y é divisível por 7 se e somente se x + 5 y for divisível por 7. Portanto, adicione cinco vezes o último dígito ao número formado pelos dígitos restantes e continue a fazer isso até que um número é obtido para o qual é conhecido se é divisível por 7.

Outro método é a multiplicação por 3. Um número na forma 10 x + y tem o mesmo resto quando dividido por 7 como 3 x + y . Deve-se multiplicar o dígito mais à esquerda do número original por 3, adicionar o próximo dígito, tirar o resto quando dividido por 7 e continuar do início: multiplicar por 3, adicionar o próximo dígito, etc. Por exemplo, o número 371: 3 × 3 + 7 = 16 resto 2 e 2 × 3 + 1 = 7. Este método pode ser usado para encontrar o resto da divisão por 7.

Um algoritmo mais complicado para testar a divisibilidade por 7 usa o fato de que 10 ⁰ ≡ 1, 10 ¹ ≡ 3, 10 ² ≡ 2, 10 ³ ≡ 6, 10 ⁴ ≡ 4, 10 ⁵ ≡ 5, 10 ⁶ ≡ 1, .. . (mod 7). Pegue cada dígito do número (371) na ordem inversa (173), multiplicando-os sucessivamente pelos dígitos 1 , 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , repetindo com esta sequência de multiplicadores pelo tempo que for necessário (1, 3, 2 , 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...) e adicionando os produtos (1 × 1 + 7 × 3 + 3 × 2 = 1 + 21 + 6 = 28). O número original é divisível por 7 se e somente se o número obtido usando este procedimento for divisível por 7 (portanto, 371 é divisível por 7, pois 28 é).

Este método pode ser simplificado eliminando a necessidade de multiplicação. Com essa simplificação, bastaria memorizar a seqüência acima (132645 ...), somar e subtrair, mas sempre trabalhando com números de um dígito.

A simplificação é a seguinte:

Tome por exemplo o número 371
Altere todas as ocorrências de 7 , 8 ou 9 em 0 , 1 e 2 , respectivamente. Neste exemplo, obtemos: 301 . Esta segunda etapa pode ser ignorada, exceto para o dígito mais à esquerda, mas segui-lo pode facilitar os cálculos mais tarde.
Agora converta o primeiro dígito (3) no dígito seguinte na sequência 13264513 ... Em nosso exemplo, 3 torna-se 2 .
Adicione o resultado da etapa anterior (2) ao segundo dígito do número e substitua o resultado por ambos os dígitos, deixando todos os dígitos restantes inalterados: 2 + 0 = 2. Portanto, 30 1 se torna 2 1 .
Repita o procedimento até que você tenha um múltiplo reconhecível de 7, ou para ter certeza, um número entre 0 e 6. Então, começando com 21 (que é um múltiplo reconhecível de 7), pegue o primeiro dígito (2) e converta-o em o seguinte na sequência acima: 2 torna-se 6. Em seguida, adicione isso ao segundo dígito: 6 + 1 = 7 .
Se em qualquer ponto o primeiro dígito for 8 ou 9, eles se tornarão 1 ou 2, respectivamente. Mas se for 7, deve se tornar 0, somente se nenhum outro dígito vier em seguida. Caso contrário, ele deve simplesmente ser descartado. Isso ocorre porque o 7 teria se tornado 0 e os números com pelo menos dois dígitos antes do ponto decimal não começam com 0, o que é inútil. De acordo com isso, nosso 7 torna-se 0 .

Se através deste procedimento você obtiver um 0 ou qualquer múltiplo reconhecível de 7, então o número original é um múltiplo de 7. Se você obtiver qualquer número de 1 a 6 , isso indicará quanto você deve subtrair do número original para obter um múltiplo de 7. Em outras palavras, você encontrará o resto da divisão do número por 7. Por exemplo, pegue o número 186 :

Primeiro, mude o 8 para 1: 116 .
Agora, mude 1 para o dígito seguinte na sequência (3), adicione-o ao segundo dígito e escreva o resultado em vez de ambos: 3 + 1 = 4 . Portanto, 11 6 torna-se agora 4 6 .
Repita o procedimento, já que o número é maior que 7. Agora, 4 se torna 5, que deve ser somado a 6. Isso é 11 .
Repita o procedimento mais uma vez: 1 torna-se 3, que é adicionado ao segundo dígito (1): 3 + 1 = 4 .

Agora temos um número menor que 7, e esse número (4) é o resto da divisão 186/7. Portanto, 186 menos 4, que é 182, deve ser um múltiplo de 7.

Nota: A razão pela qual isso funciona é que se temos: a + b = c e b é um múltiplo de qualquer número n dado , então a e c produzirão necessariamente o mesmo resto quando divididos por n . Em outras palavras, em 2 + 7 = 9, 7 é divisível por 7. Portanto, 2 e 9 devem ter o mesmo lembrete quando dividido por 7. O restante é 2.

Portanto, se um número n é um múltiplo de 7 (isto é: o resto de n / 7 é 0), então adicionar (ou subtrair) múltiplos de 7 não pode mudar essa propriedade.

O que esse procedimento faz, conforme explicado acima para a maioria das regras de divisibilidade, é simplesmente subtrair pouco a pouco múltiplos de 7 do número original até chegar a um número que seja pequeno o suficiente para lembrarmos se ele é um múltiplo de 7. Se 1 se torna um 3 na seguinte posição decimal, que é o mesmo que converter 10 × 10 ⁿ em 3 × 10 ⁿ . E isso é realmente o mesmo que subtrair 7 × 10 ⁿ (claramente um múltiplo de 7) de 10 × 10 ⁿ .

Da mesma forma, quando você transforma um 3 em 2 na seguinte posição decimal, você está transformando 30 × 10 ⁿ em 2 × 10 ⁿ , que é o mesmo que subtrair 30 × 10 ⁿ −28 × 10 ⁿ , e isso é novamente subtrair um múltiplo de 7. O mesmo motivo se aplica a todas as conversões restantes:

20 × 10 ⁿ - 6 × 10 ⁿ = 14 × 10 ⁿ
60 × 10 ⁿ - 4 × 10 ⁿ = 56 × 10 ⁿ
40 × 10 ⁿ - 5 × 10 ⁿ = 35 × 10 ⁿ
50 × 10 ⁿ - 1 × 10 ⁿ = 49 × 10 ⁿ

Exemplo do primeiro método
1050 → 105 - 0 = 105 → 10 - 10 = 0. RESPOSTA: 1050 é divisível por 7.

Exemplo do segundo método
1050 → 0501 (reverso) → 0 × 1 + 5 × 3 + 0 × 2 + 1 × 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplique e some). RESPOSTA: 1050 é divisível por 7.

Método védico de divisibilidade por osculação A
divisibilidade por sete pode ser testada pela multiplicação pelo Ekhādika . Converta o divisor sete na família dos noves multiplicando por sete. 7 × 7 = 49. Adicione um, diminua o dígito das unidades e tome o 5, o Ekhādika , como o multiplicador. Comece pela direita. Multiplique por 5 e adicione o produto ao próximo dígito à esquerda. Coloque esse resultado em uma linha abaixo desse dígito. Repita esse método de multiplicar as unidades por cinco e somar esse produto ao número de dezenas. Adicione o resultado ao próximo dígito à esquerda. Anote esse resultado abaixo do dígito. Continue até o fim. Se o resultado final for zero ou um múltiplo de sete, então sim, o número é divisível por sete. Caso contrário, não é. Isso segue o ideal védico, notação de uma linha.

Exemplo de método védico:

Is 438,722,025 divisible by seven?  Multiplier = 5.
 4  3  8  7  2  2  0  2  5
42 37 46 37  6 40 37 27
YES

Método de Pohlman-Mass de divisibilidade por 7
O método Pohlman-Mass fornece uma solução rápida que pode determinar se a maioria dos inteiros são divisíveis por sete em três etapas ou menos. Este método pode ser útil em uma competição de matemática como MATHCOUNTS, onde o tempo é um fator para determinar a solução sem uma calculadora na Rodada de Sprint.

Etapa A: se o inteiro for 1.000 ou menos, subtraia duas vezes o último dígito do número formado pelos dígitos restantes. Se o resultado for um múltiplo de sete, o número original também será (e vice-versa). Por exemplo:

112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4  =  7  YES
98  -> 9  − (8×2) = 9  − 16 = −7  YES
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8  = 55  NO

Como 1.001 é divisível por sete, um padrão interessante se desenvolve para repetir conjuntos de 1, 2 ou 3 dígitos que formam números de 6 dígitos (zeros à esquerda são permitidos) em que todos esses números são divisíveis por sete. Por exemplo:

001 001 = 1,001 / 7 = 143
010 010 = 10,010 / 7 = 1,430
011 011 = 11,011 / 7 = 1,573
100 100 = 100,100 / 7 = 14,300
101 101 = 101,101 / 7 = 14,443
110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443
10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873
222,222 / 7 = 31,746
999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

Para todos os exemplos acima, subtrair os três primeiros dígitos dos três últimos resulta em um múltiplo de sete. Observe que zeros à esquerda podem formar um padrão de 6 dígitos.

Este fenômeno constitui a base para as etapas B e C.

Etapa B: se o número inteiro estiver entre 1.001 e um milhão, encontre um padrão de repetição de 1, 2 ou 3 dígitos que forme um número de 6 dígitos próximo ao inteiro (zeros à esquerda são permitidos e podem ajudá-lo a visualizar o padrão ) Se a diferença positiva for menor que 1.000, aplique a Etapa A. Isso pode ser feito subtraindo os três primeiros dígitos dos três últimos dígitos. Por exemplo:

341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7     YES
 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7  YES

O fato de que 999.999 é um múltiplo de 7 pode ser usado para determinar a divisibilidade de números inteiros maiores que um milhão, reduzindo o número inteiro a um número de 6 dígitos que pode ser determinado usando a Etapa B. Isso pode ser feito facilmente adicionando os dígitos restantes de os seis primeiros aos seis últimos e siga com a Etapa A.

Etapa C: Se o número inteiro for maior que um milhão, subtraia o múltiplo mais próximo de 999.999 e, em seguida, aplique a Etapa B. Para números ainda maiores, use conjuntos maiores, como 12 dígitos (999.999.999.999) e assim por diante. Em seguida, divida o número inteiro em um número menor que pode ser resolvido usando a Etapa B. Por exemplo:

22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442
   862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Step A) = 42  YES

Isso permite adicionar e subtrair conjuntos alternados de três dígitos para determinar a divisibilidade por sete. Compreender esses padrões permite calcular rapidamente a divisibilidade de sete, conforme visto nos exemplos a seguir:

Método Pohlman-Mass de divisibilidade por 7, exemplos:

Is 98 divisible by seven?
98  -> 9  − (8×2) = 9  − 16 = −7  YES  (Step A)

Is 634 divisible by seven?
634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8  = 55  NO  (Step A)

Is 355,341 divisible by seven?
355,341 − 341,341 = 14,000 (Step B) -> 014 − 000 (Step B) -> 14 = 1 − (4×2) (Step A) = 1 − 8 = −7  YES

Is 42,341,530 divisible by seven?
42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Step C)
341,572 − 341,341 = 231 (Step B)
231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21  YES (Step A)

Using quick alternating additions and subtractions:
 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21  YES

Método de multiplicação por 3 de divisibilidade por 7, exemplos:

Is 98 divisible by seven?
98  -> 9 remainder 2 -> 2×3 + 8 = 14 YES

Is 634 divisible by seven?
634 -> 6×3 + 3 = 21 -> remainder 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO

Is 355,341 divisible by seven?
3 * 3 + 5 = 14 -> remainder 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> remainder 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> remainder 2 -> 2×3 + 1 = 7 YES

Find remainder of 1036125837 divided by 7
1×3 + 0 = 3
3×3 + 3 = 12 remainder 5
5×3 + 6 = 21 remainder 0
0×3 + 1 = 1
1×3 + 2 = 5
5×3 + 5 = 20 remainder 6
6×3 + 8 = 26 remainder 5
5×3 + 3 = 18 remainder 4
4×3 + 7 = 19 remainder 5
Answer is 5

Encontrar o resto de um número quando dividido por 7

7 - (1, 3, 2, −1, −3, −2, ciclo se repete para os próximos seis dígitos) Período: 6 dígitos. Números recorrentes: 1, 3, 2, −1, −3, −2
Sequência de magnitude mínima
(1, 3, 2, 6, 4, 5, ciclo se repete para os próximos seis dígitos) Período: 6 dígitos. Números recorrentes: 1, 3, 2, 6, 4, 5
Sequência positiva

Multiplique o dígito mais à direita pelo dígito mais à esquerda na sequência e multiplique o segundo dígito mais à direita pelo segundo dígito mais à esquerda na sequência e assim por diante e assim por diante. Em seguida, calcule a soma de todos os valores e
obtenha o módulo de 7. Exemplo: Qual é o resto quando 1036125837 é dividido por 7?

Multiplicação do dígito mais à direita = 1 × 7 = 7

Multiplicação do segundo dígito mais à direita = 3 × 3 = 9

Terceiro dígito mais à direita = 8 × 2 = 16

Quarto dígito mais à direita = 5 × −1 = −5

Quinto dígito mais à direita = 2 × - 3 = −6

Sexto dígito mais à direita = 1 × −2 = −2

Sétimo dígito mais à direita = 6 × 1 = 6

Oitavo dígito mais à direita = 3 × 3 = 9

Nono dígito mais à direita = 0

Décimo dígito mais à direita = 1 × −1 = −1

Soma = 33

33 módulo 7 = 5

Restante = 5

Método de par de dígitos de divisibilidade por 7

Este método usa o padrão 1 , −3 , 2 nos pares de dígitos . Ou seja, a divisibilidade de qualquer número por sete pode ser testada separando primeiro o número em pares de dígitos e, em seguida, aplicando o algoritmo em pares de três dígitos (seis dígitos). Quando o número for menor que seis dígitos, preencha os zeros à direita até que haja seis dígitos. Quando o número for maior que seis dígitos, repita o ciclo no próximo grupo de seis dígitos e adicione os resultados. Repita o algoritmo até que o resultado seja um pequeno número. O número original é divisível por sete se e somente se o número obtido usando este algoritmo for divisível por sete. Este método é especialmente adequado para grandes números.

Exemplo 1:
O número a ser testado é 157514. Primeiro separamos o número em pares de três dígitos: 15, 75 e 14.
Em seguida, aplicamos o algoritmo: 1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 14 = 182
Porque o resultado 182 tiver menos de seis dígitos, adicionamos zeros ao lado direito até que tenham seis dígitos.
Em seguida, aplicamos nosso algoritmo novamente: 1 × 18 - 3 × 20 + 2 × 0 = −42
O resultado −42 é divisível por sete, portanto, o número original 157514 é divisível por sete.

Exemplo 2:
O número a ser testado é 15751537186.
( 1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 15) + ( 1 × 37 - 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
O resultado −77 é divisível por sete, portanto, o número original 15751537186 é divisível por sete.

Outro método de par de dígitos de divisibilidade por 7

Método

Este é um método não recursivo para encontrar o resto deixado por um número na divisão por 7:

Separe o número em pares de dígitos começando na casa das unidades. Anexe o número com 0 para completar o par final, se necessário.
Calcule os restos deixados por cada par de dígitos ao dividir por 7.
Multiplique os restantes com o multiplicador apropriado da sequência 1, 2, 4, 1, 2, 4, ...: o resto do par de dígitos que consiste em uma casa e dez casas deve ser multiplicado por 1, centenas e milhares por 2, dez milhares e centenas de milhares por 4, milhões e dez milhões novamente por 1 e assim por diante.
Calcule o restante de cada produto ao dividir por 7.
Adicione esses restos.
O restante da soma quando dividido por 7 é o restante do número fornecido quando dividido por 7.

Por exemplo:

O número 194.536 deixa um resto de 6 na divisão por 7.

O número 510.517.813 deixa um resto de 1 na divisão por 7.

Prova de correção do método

O método é baseado na observação de que 100 deixa um resto de 2 quando dividido por 7. E como estamos quebrando o número em pares de dígitos, temos essencialmente potências de 100.

1 mod 7 = 1

100 mod 7 = 2

10.000 mod 7 = 2 ^ 2 = 4

1.000.000 mod 7 = 2 ^ 3 = 8; 8 mod 7 = 1

10.0000.000 mod 7 = 2 ^ 4 = 16; 16 mod 7 = 2

1.000.0000.000 mod 7 = 2 ^ 5 = 32; 32 mod 7 = 4

E assim por diante.

A correção do método é então estabelecida pela seguinte cadeia de igualdades:

Seja N o número fornecido . ${\ displaystyle {\ overline {a_ {2n} a_ {2n-1} ... a_ {2} a_ {1}}}}$

${\ displaystyle {\ overline {a_ {2n} a_ {2n-1} ... a_ {2} a_ {1}}} \ mod 7}$

= ${\ displaystyle [\ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {2k} a_ {2k-1}) \ vezes 10 ^ {2k-2}] {\ bmod {7}}}$

= ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {2k} a_ {2k-1} \ vezes 10 ^ {2k-2}) {\ bmod {7}}}$

= ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {2k} a_ {2k-1} {\ bmod {7}}) \ times (10 ^ {2k-2} {\ bmod {7} })}$

Divisibilidade por 13

Teste restante 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, o ciclo continua.) Se você não se sentir confortável com números negativos, use esta sequência. (1, 10, 9, 12, 3, 4)

Multiplique o dígito mais à direita do número com o número mais à esquerda na sequência mostrada acima e o segundo dígito mais à direita para o segundo dígito mais à esquerda do número na sequência. O ciclo continua.

Exemplo: Qual é o resto quando 321 é dividido por 13?
Usando a primeira sequência,
Resp: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17
Restante = −17 mod 13 = 9

Exemplo: Qual é o resto quando 1234567 é dividido por 13?
Usando a segunda sequência,
responda: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9
Restante = 9

Além de 30

As propriedades de divisibilidade dos números podem ser determinadas de duas maneiras, dependendo do tipo de divisor.

Divisores compostos

Um número é divisível por um determinado divisor se for divisível pela maior potência de cada um de seus fatores primos . Por exemplo, para determinar a divisibilidade por 36, verifique a divisibilidade por 4 e por 9. Observe que marcar 3 e 12, ou 2 e 18, não seria suficiente. Uma tabela de fatores primos pode ser útil.

Um divisor composto também pode ter uma regra formada usando o mesmo procedimento que para um divisor primo, dado abaixo, com a ressalva de que as manipulações envolvidas podem não introduzir nenhum fator que esteja presente no divisor. Por exemplo, não se pode criar uma regra para 14 que envolva a multiplicação da equação por 7. Isso não é um problema para divisores primos porque eles não têm fatores menores.

Divisores principais

O objetivo é encontrar um inverso para 10 módulo do primo em consideração (não funciona para 2 ou 5) e usar isso como um multiplicador para fazer a divisibilidade do número original por aquele primo depender da divisibilidade do novo (geralmente menor ) número pelo mesmo primo. Usando 31 como exemplo, uma vez que 10 × (−3) = −30 = 1 mod 31, obtemos a regra para usar y - 3 x na tabela acima. Da mesma forma, como 10 × (28) = 280 = 1 mod 31 também, obtemos uma regra complementar y + 28 x do mesmo tipo - nossa escolha de adição ou subtração sendo ditada pela conveniência aritmética do valor menor. Na verdade, essa regra para divisores primos além de 2 e 5 é realmente uma regra para divisibilidade por qualquer inteiro relativamente primo a 10 (incluindo 33 e 39; veja a tabela abaixo). É por isso que a última condição de divisibilidade nas tabelas acima e abaixo para qualquer número relativamente primo a 10 tem o mesmo tipo de forma (adicionar ou subtrair algum múltiplo do último dígito do resto do número).

Exemplos notáveis

A tabela a seguir fornece regras para alguns divisores mais notáveis:

Divisor	Condição de divisibilidade	Exemplos
31	Subtraia três vezes o último dígito do resto.	837: 83 - 3 × 7 = 62
32	O número formado pelos últimos cinco dígitos é divisível por 32.	25.135.520: 35.520 = 1110 × 32
	Se o dígito de dez mil é par, examine o número formado pelos últimos quatro dígitos.	41.312: 1312.
	Se o dígito de dez mil é ímpar, examine o número formado pelos últimos quatro dígitos mais 16.	254.176: 4176 + 16 = 4192.
	Adicione os dois últimos dígitos a 4 vezes o resto.	1312: (13 × 4) + 12 = 64.
33	Adicione 10 vezes o último dígito ao resto.	627: 62 + 10 × 7 = 132, 13 + 10 × 2 = 33.
	Adicione os dígitos em blocos de dois da direita para a esquerda.	2145: 21 + 45 = 66.
	É divisível por 3 e por 11.	627: 62 - 7 = 55 e 6 + 2 + 7 = 15 = 3 × 5
35	É divisível por 7 e por 5.	595: 59 - (2 × 5) = 49 = 7 × 7. E o número termina em 5.
37	Pegue os dígitos em blocos de três da direita para a esquerda e adicione cada bloco.	2.651.272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37 × 25.
37	Subtraia 11 vezes o último dígito do resto.	925: 92 - (5 × 11) = 37.
39	É divisível por 3 e por 13.	351: 35 - 1 = 34 e 3 + 5 + 4 = 12 = 3 × 4
39	Adicione 4 vezes o último dígito ao resto.	351: 35 + (1 × 4) = 39
41	Some os dígitos em blocos de cinco da direita para a esquerda.	72.841.536.727: 7 + 28.415 + 36.727 = 65.149 = 41 × 1.589.
41	Subtraia 4 vezes o último dígito do resto.	738: 73 - 8 × 4 = 41.
43	Adicione 13 vezes o último dígito ao resto.	36.249: 3624 + 9 × 13 = 3741, 374 + 1 × 13 = 387, 38 + 7 × 13 = 129, 12 + 9 × 13 = 129 = 43 × 3.
43	Subtraia 3 vezes os dois últimos dígitos do resto.	36.249: 362 - 49 × 3 = 215 = 43 × 5.
45	É divisível por 9 e por 5.	2025: Termina em 5 e 2 + 0 + 2 + 5 = 9.
47	Subtraia 14 vezes o último dígito do resto.	1.642.979: 164297 - 9 × 14 = 164171, 16417 - 14 = 16403, 1640 - 3 × 14 = 1598, 159 - 8 × 14 = 47.
47	Adicione os dois últimos dígitos a 6 vezes o resto.	705: 7 × 6 + 5 = 47.
49	Adicione 5 vezes o último dígito ao resto.	1.127: 112+ (7 × 5) = 147. 147: 14 + (7 × 5) = 49
49	Adicione os dois últimos dígitos a 2 vezes o resto.	588: 5 × 2 + 88 = 98.
50	Os dois últimos dígitos são 00 ou 50.	134.250: 50.
51	O número deve ser divisível por 3 e 17.	459: 4 × 2 - 59 = -51 e 4 + 5 + 9 = 18 = 3 × 6
	Subtraia 5 vezes o último dígito do resto.	204: 20- (4 × 5) = 0
	Subtraia os dois últimos dígitos de 2 vezes o resto.	459: 4 × 2 - 59 = -51.
53	Adicione 16 vezes o último dígito ao resto.	3657: 365+ (7 × 16) = 477 = 9 × 53
53	Subtraia os dois últimos dígitos de 6 vezes o resto.	5777: 57 × 6 - 77 = 265.
55	O número deve ser divisível por 11, terminando em 0 ou 5.	605: termina em 5 e 60-5 = 55 = 11 × 5.
57	O número deve ser divisível por 3 e 19.	3591: 359 + 1 × 2 = 361 = 19 × 19 e 3 + 5 + 9 + 1 = 15 = 3 × 5
57	Subtraia 17 vezes o último dígito do resto.	3591: 359 - 17 = 342, 34 - 2 × 17 = 0.
59	Adicione 6 vezes o último dígito ao resto.	295: 29 + 5 × 6 = 59
61	Subtraia 6 vezes o último dígito do resto.	732: 73- (2 × 6) = 61
64	O número formado pelos últimos seis dígitos deve ser divisível por 64.	2.640.000: 640.000 é divisível por 64.
65	O número deve ser divisível por 13, terminando em 0 ou 5.	3.185: 318 + (5 × 4) = 338 = 13 × 26. E o número termina em 5.
67	Subtraia duas vezes os dois últimos dígitos do resto.	9112: 91 - 12 × 2 = 67
67	Subtraia 20 vezes o último dígito do resto.	4489: 448-9 × 20 = 448-180 = 268.
69	O número deve ser divisível por 3 e 23.	345: 3 + 4 + 5 = 12 = 3 × 4 e 34 + 5 × 9 = 69 = 3 × 23
69	Adicione 7 vezes o último dígito ao resto.	345: 34 + 5 × 7 = 69
71	Subtraia 7 vezes o último dígito do resto.	852: 85- (2 × 7) = 71
73	Forme a soma alternada de blocos de quatro da direita para a esquerda.	220.241: 241 - 22 = 219.
73	Adicione 22 vezes o último dígito do resto.	5329: 532 + 22 × 9 = 730, 7 + 22 × 3 = 73.
75	Os dois últimos dígitos são 00, 25, 50 ou 75, e a soma de todos os dígitos deve ser divisível por 3.	3675: 75 está no final e 3 + 6 + 7 + 5 = 21 = 3 × 7.
77	O número é divisível por 7 e 11.	693: 69 - 3 = 66 = 11 × 6 e 69 - (6 × 2) = 63 = 7 × 9
77	Forme a soma alternada de blocos de três da direita para a esquerda.	76.923: 923 - 76 = 847.
79	Adicione 8 vezes o último dígito ao resto.	711: 71 + 1 × 8 = 79
81	Subtraia 8 vezes o último dígito do resto.	162: 16- (2 × 8) = 0
83	Adicione 25 vezes o último dígito ao resto.	581: 58+ (1 × 25) = 83
83	Adicione os últimos três dígitos a quatro vezes o resto.	38.014: (4 × 38) + 14 = 166
85	O número deve ser divisível por 17, terminando em 0 ou 5.	30.855: 3085-25 = 3060 = 17 × 180. E o número termina em 5.
87	O número deve ser divisível por 29, sendo a soma de todos os seus dígitos divisível por 3.	2088: 208 + (8 × 3) = 232. 232 = 8 × 29 2 + 0 + 8 + 8 = 18 = 3 × 6
87	Subtraia 26 vezes o último dígito do resto.	15138: 1513 - 8 × 26 = 1305, 130 - 5 × 26 = 0.
89	Adicione 9 vezes o último dígito ao resto.	801: 80 + 1 × 9 = 89
89	Adicione os dois últimos dígitos a onze vezes o resto.	712: 12 + (7 × 11) = 89
91	Subtraia 9 vezes o último dígito do resto.	182: 18 - (2 × 9) = 0
	Forme a soma alternada de blocos de três da direita para a esquerda.	5.274.997: 5 - 274 + 997 = 728
	O número é divisível por 7 e 13.	8281: 828 + 4 = 832. 83 + 8 = 91 828-2 = 826. 82-12 = 70.
95	O número deve ser divisível por 19, terminando em 0 ou 5.	51.585: 5158 + 10 = 5168, 516 + 16 = 532, 53 + 4 = 57 = 19 × 3. E o número termina em 5.
97	Subtraia 29 vezes o último dígito do resto.	291: 29 - (1 × 29) = 0
97	Adicione os dois últimos dígitos a 3 vezes o resto.	485: (3 × 4) + 85 = 97
99	O número é divisível por 9 e 11.	891: 89 - 1 = 88. 8 + 9 + 1 = 18.
99	Adicione os dígitos em blocos de dois da direita para a esquerda.	144.837: 14 + 48 + 37 = 99.
100	Termina com pelo menos dois zeros.	14100: Possui dois zeros no final.
101	Forme a soma alternada de blocos de dois da direita para a esquerda.	40.299: 4 - 2 + 99 = 101.
103	Adicione 31 vezes o último dígito ao resto.	585658: 58565 + (8 × 31) = 58813. 58813: 103 = 571
103	Subtraia os dois últimos dígitos de 3 vezes o resto.	5356: (53 × 3) - 56 = 103
107	Subtraia 32 vezes o último dígito do resto.	428: 42 - (8 × 32) = -214
107	Subtraia os dois últimos dígitos de 7 vezes o resto.	1712: 17 × 7 - 12 = 107
109	Adicione 11 vezes o último dígito ao resto.	654: 65 + (11 × 4) = 109
111	Adicione os dígitos em blocos de três da direita para a esquerda.	1.370.184: 1 + 370 + 184 = 555
113	Adicione 34 vezes o último dígito do resto.	3842: 384 + 34 × 2 = 452, 45 + 34 × 2 = 113.
121	Subtraia 12 vezes o último dígito do resto.	847: 84 - 12 × 7 = 0
125	O número formado pelos três últimos dígitos deve ser divisível por 125.	2.125: 125 é divisível por 125.
127	Subtraia 38 vezes o último dígito do resto.	4953: 495 - 38 × 3 = 381, 38 - 38 × 1 = 0.
128	O número formado pelos últimos sete dígitos deve ser divisível por 128.
131	Subtraia 13 vezes o último dígito do resto.	1834: 183 - 13 × 4 = 131, 13 - 13 = 0.
137	Forme a soma alternada de blocos de quatro da direita para a esquerda.	340,171: 171 - 34 = 137.
139	Adicione 14 vezes o último dígito do resto.	1946: 194 + 14 × 6 = 278, 27 + 14 × 8 = 139.
143	Forme a soma alternada de blocos de três da direita para a esquerda.	1.774.487: 1 - 774 + 487 = -286
	Adicione 43 vezes o último dígito ao resto.	6149: 614 + 43 × 9 = 1001, 100 + 43 = 143.
	O número deve ser divisível por 11 e 13.	2.431: 243 - 1 = 242. 242 = 11 × 22. 243 + 4 = 247. 247 = 13 × 19
149	Adicione 15 vezes o último dígito do resto.	2235: 223 + 15 × 5 = 298, 29 + 15 × 8 = 149.
151	Subtraia 15 vezes o último dígito do resto.	66.893: 6689 - 15 × 3 = 6644 = 151 × 44.
157	Subtraia 47 vezes o último dígito do resto.	7536: 753 - 47 × 6 = 471, 47 - 47 = 0.
163	Adicione 49 vezes o último dígito ao resto.	26.569: 2656 + 441 = 3097 = 163 × 19.
167	Subtraia 5 vezes os dois últimos dígitos do resto.	53.774: 537 - 5 × 74 = 167.
173	Adicione 52 vezes o último dígito ao resto.	8996: 899 + 52 × 6 = 1211, 121 + 52 = 173.
179	Adicione 18 vezes o último dígito ao resto.	3222: 322 + 18 × 2 = 358, 35 + 18 × 8 = 179.
181	Subtraia 18 vezes o último dígito do resto.	3258: 325 - 18 × 8 = 181, 18 - 18 = 0.
191	Subtraia 19 vezes o último dígito do resto.	3629: 362 - 19 × 9 = 191, 19 - 19 = 0.
193	Adicione 58 vezes o último dígito ao resto.	11194: 1119 + 58 × 4 = 1351, 135 + 58 = 193.
197	Subtraia 59 vezes o último dígito do resto.	11820: 118 - 59 × 2 = 0.
199	Adicione 20 vezes o último dígito ao resto.	3980: 39 + 20 × 8 = 199.
200	Os dois últimos dígitos do número são "00" e o terceiro último dígito é um número par.	34.400: O terceiro último dígito é 4 e os dois últimos dígitos são zeros.
211	Subtraia 21 vezes o último dígito do resto.	44521: 4452 - 21 × 1 = 4431, 443 - 21 × 1 = 422, 42 - 21 × 2 = 0.
223	Adicione 67 vezes o último dígito ao resto.	49729: 4972 + 67 × 9 = 5575, 557 + 67 × 5 = 892, 89 + 67 × 2 = 223.
225	O número deve ser divisível por 9, terminando em "00", "25", "50" ou "75".	15.075: 75 está no final e 1 + 5 + 0 + 7 + 5 = 18 = 2 × 9.
227	Subtraia 68 vezes o último dígito do resto.	51756: 5175 - 68 × 6 = 4767, 476 - 68 × 7 = 0.
229	Adicione 23 vezes o último dígito ao resto.	52441: 5244 + 23 × 1 = 5267, 526 + 23 × 7 = 687, 68 + 23 × 7 = 229.
233	Adicione 70 vezes o último dígito ao resto.	54289: 5428 + 70 × 9 = 6058, 605 + 70 × 8 = 1165, 116 + 70 × 5 = 466, 46 + 70 × 6 = 466 = 233 × 2.
239	Pegue os dígitos em blocos de sete da direita para a esquerda e adicione cada bloco.	1.560.000.083: 156 + 83 = 239.
239	Adicione 24 vezes o último dígito ao resto.	57121: 5712 + 24 × 1 = 5736, 573 + 24 × 6 = 717, 71 + 24 × 7 = 239.
241	Subtraia 24 vezes o último dígito do resto.	58081: 5808 - 24 × 1 = 5784, 578 - 24 × 4 = 482, 48 - 24 × 2 = 0.
250	O número formado pelos três últimos dígitos deve ser divisível por 250.	1.327.750: 750 é divisível por 250.
251	Subtraia 25 vezes o último dígito do resto.	63001: 6300 - 25 × 1 = 6275, 627 - 25 × 5 = 502, 50 - 25 × 2 = 0.
256	O número formado pelos últimos oito dígitos deve ser divisível por 256.
257	Subtraia 77 vezes o último dígito do resto.	66049: 6604 - 77 × 9 = 5911, 591 - 77 × 1 = 514 = 257 × 2.
263	Adicione 79 vezes o último dígito ao resto.	69169: 6916 + 79 × 9 = 7627, 762 + 79 × 7 = 1315, 131 + 79 × 5 = 526, 52 + 79 × 6 = 526 = 263 × 2.
269	Adicione 27 vezes o último dígito ao resto.	72361: 7236 + 27 × 1 = 7263, 726 + 27 × 3 = 807, 80 + 27 × 7 = 269.
271	Pegue os dígitos em blocos de cinco da direita para a esquerda e adicione cada bloco.	77.925.613.961: 7 + 79.256 + 13.961 = 93.224 = 271 × 344.
271	Subtraia 27 vezes o último dígito do resto.	73441: 7344 - 27 × 1 = 7317, 731 - 27 × 7 = 542, 54 - 27 × 2 = 0.
277	Subtraia 83 vezes o último dígito do resto.	76729: 7672 - 83 × 9 = 6925, 692 - 83 × 5 = 277.
281	Subtraia 28 vezes o último dígito do resto.	78961: 7896 - 28 × 1 = 7868, 786 - 28 × 8 = 562, 56 - 28 × 2 = 0.
283	Adicione 85 vezes o último dígito ao resto.	80089: 8008 + 85 × 9 = 8773, 877 + 85 × 3 = 1132, 113 + 85 × 2 = 283.
293	Adicione 88 vezes o último dígito ao resto.	85849: 8584 + 88 × 9 = 9376, 937 + 88 × 6 = 1465, 146 + 88 × 5 = 586, 58 + 88 × 6 = 586 = 293 × 2.
300	Os dois últimos dígitos do número são "00" e o resultado da soma dos dígitos deve ser divisível por 3.	3.300: O resultado da soma dos dígitos é 6 e os dois últimos dígitos são zeros.
329	Adicione 33 vezes o último dígito ao resto.	9541: 954 + 1 × 33 = 954 + 33 = 987. 987 = 3 × 329.
331	Subtraia 33 vezes o último dígito do resto.	22177: 2217-231 = 1986. 1986 = 6 × 331.
333	Adicione os dígitos em blocos de três da direita para a esquerda.	410.922: 410 + 922 = 1.332
369	Pegue os dígitos em blocos de cinco da direita para a esquerda e adicione cada bloco.	50243409: 43409 + 502 = 43911. 43911 = 369 × 119.
369	Adicione 37 vezes o último dígito ao resto.	8487: 848 + 7 × 37 = 848 + 259 = 1107.
375	O número formado pelos três últimos dígitos deve ser divisível por 125 e a soma de todos os dígitos é um múltiplo de 3.	140.625: 625 = 125 × 5 e 1 + 4 + 0 + 6 + 2 + 5 = 18 = 6 × 3.
499	Adicione os últimos três dígitos a duas vezes o resto.	74.351: 74 × 2 + 351 = 499.
500	Termina com 000 ou 500.	47.500 é divisível por 500.
512	O número formado pelos últimos nove dígitos deve ser divisível por 512.
625	Termina em 0000, 0625, 1250, 1875, 2500, 3125, 3750, 4375, 5000, 5625, 6250, 6875, 7500, 8125, 8750 ou 9375. Ou o número formado pelos quatro últimos dígitos é divisível por 625.	567.886.875: 6875.
983	Adicione os últimos três dígitos a dezessete vezes o resto.	64878: 64 × 17 + 878 = 1966. 1966 = 2 × 983
987	Adicione os últimos três dígitos a treze vezes o resto.	30597: 30 × 13 + 597 = 987
987	O número deve ser divisível por 329, sendo a soma de todos os dígitos divisível por 3.	547785: 5 + 4 + 7 + 7 + 8 + 5 = 36. 36 = 3 × 12 54778 + 5 × 33 = 54943. 5494 + 3 × 33 = 5593. 559 + 3 × 33 = 658. 658 = 2 × 329.
989	Adicione os últimos três dígitos a onze vezes o resto.	21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989
989	O número deve ser divisível por 23 e 43.	1978: 197 + 56 = 253. 253 = 11 × 23 197 + 104 = 301. 301 = 7 × 43.
993	Adicione os últimos três dígitos a sete vezes o resto.	986049: 49 + 6902 = 6951. 6951 = 7 × 993.
993	O número deve ser divisível por 331, com a soma de todos os dígitos divisível por 3.	8937: 8 + 7 = 15. 15 = 3 × 5. (Nota: 9 e 3 não precisam estar na soma, eles são divisíveis por 3.) 893-231 = 662. 662 = 2 × 331.
997	Adicione os últimos três dígitos a três vezes o resto.	157.526: 157 × 3 + 526 = 997
999	Adicione os dígitos em blocos de três da direita para a esquerda.	235.764: 235 + 764 = 999
1000	Termina com pelo menos três zeros.	2000 termina com 3 zeros

Regra de divisibilidade generalizada

Para testar a divisibilidade por D , onde D termina em 1, 3, 7 ou 9, o seguinte método pode ser usado. Encontre qualquer múltiplo de D terminando em 9. (Se D terminar respectivamente em 1, 3, 7 ou 9, multiplique por 9, 3, 7 ou 1.) Em seguida, adicione 1 e divida por 10, denotando o resultado como m . Em seguida, um número N = 10 t + q é divisível por D se e somente se mq + t é divisível por D . Se o número for muito grande, você também pode dividi-lo em várias strings com e dígitos cada, satisfazendo 10 ^e = 1 ou 10 ^e = -1 (mod D ). A soma (ou soma alternativa) dos números tem a mesma divisibilidade do original.

Por exemplo, para determinar se 913 = 10 × 91 + 3 é divisível por 11, encontre que m = (11 × 9 + 1) ÷ 10 = 10. Então mq + t = 10 × 3 + 91 = 121; isto é divisível por 11 (com quociente 11), então 913 também é divisível por 11. Como outro exemplo, para determinar se 689 = 10 × 68 + 9 é divisível por 53, encontre que m = (53 × 3 + 1) ÷ 10 = 16. Então mq + t = 16 × 9 + 68 = 212, que é divisível por 53 (com quociente 4); portanto, 689 também é divisível por 53.

Alternativamente, qualquer número Q = 10c + d é divisível por n = 10a + b, de modo que gcd (n, 2, 5) = 1, se c + D (n) d = An para algum inteiro A, onde: ${\ displaystyle D (n) \ equiv {\ begin {cases} 9a + 1, & {\ mbox {if}} n {\ mbox {= 10a + 1}} \\ 3a + 1, & {\ mbox {if }} n {\ mbox {= 10a + 3}} \\ 7a + 5, & {\ mbox {if}} n {\ mbox {= 10a + 7}} \\ a + 1, & {\ mbox {if }} n {\ mbox {= 10a + 9}} \ end {casos}} \}$

Os primeiros poucos termos da sequência, gerada por D (n) são 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (sequência A333448 em OEIS ).

A forma da peça D (n) e a sequência gerada por ela foram publicadas pela primeira vez pelo matemático búlgaro Ivan Stoykov em março de 2020.

Provas

Prova usando álgebra básica

Muitas das regras mais simples podem ser produzidas usando apenas manipulação algébrica, criando binômios e reorganizando-os. Escrevendo um número como a soma de cada dígito vezes uma potência de 10, a potência de cada dígito pode ser manipulada individualmente.

Caso onde todos os dígitos são somados

Este método funciona para divisores que são fatores de 10 - 1 = 9.

Usando 3 como exemplo, 3 divide 9 = 10 - 1. Isso significa (consulte aritmética modular ). O mesmo para todas as potências superiores de 10: Eles são todos congruentes a 1 módulo 3. Como duas coisas que são congruentes módulo 3 são divisíveis por 3 ou ambos não, podemos trocar valores que são congruentes módulo 3. Então, em um número como o seguinte, podemos substituir todas as potências de 10 por 1: ${\ displaystyle 10 \ equiv 1 {\ pmod {3}}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {n} \ equiv 1 ^ {n} \ equiv 1 {\ pmod {3}}}$

{\ displaystyle 100 \ cdot a + 10 \ cdot b + 1 \ cdot c \ equiv (1) a + (1) b + (1) c {\ pmod {3}}}

que é exatamente a soma dos dígitos.

Caso em que a soma alternada de dígitos é usada

Este método funciona para divisores que são fatores de 10 + 1 = 11.

Usando 11 como exemplo, 11 divide 11 = 10 + 1. Isso significa . Para as potências superiores de 10, eles são congruentes com 1 para potências pares e congruentes com -1 para potências ímpares: ${\ displaystyle 10 \ equiv -1 {\ pmod {11}}}$

{\ displaystyle 10 ^ {n} \ equiv (-1) ^ {n} \ equiv {\ begin {cases} 1, & {\ mbox {if}} n {\ mbox {is even}} \\ - 1, & {\ mbox {if}} n {\ mbox {é ímpar}} \ end {casos}} {\ pmod {11}}.}

Como no caso anterior, podemos substituir potências de 10 por valores congruentes:

{\ displaystyle 1000 \ cdot a + 100 \ cdot b + 10 \ cdot c + 1 \ cdot d \ equiv (-1) a + (1) b + (- 1) c + (1) d {\ pmod {11}}}

que também é a diferença entre a soma dos dígitos nas posições ímpares e a soma dos dígitos nas posições pares.

Caso em que apenas o (s) último (s) dígito (s) importam

Isso se aplica a divisores que são um fator de uma potência de 10. Isso ocorre porque potências suficientemente altas da base são múltiplos do divisor e podem ser eliminadas.

Por exemplo, na base 10, os fatores de 10 ¹ incluem 2, 5 e 10. Portanto, a divisibilidade por 2, 5 e 10 depende apenas se o último 1 dígito é divisível por esses divisores. Os fatores de 10 ² incluem 4 e 25, e a divisibilidade por aqueles depende apenas dos últimos 2 dígitos.

Caso em que apenas o (s) último (s) dígito (s) são removidos

A maioria dos números não divide 9 ou 10 igualmente, mas divide uma potência maior de 10 ⁿ ou 10 ⁿ - 1. Nesse caso, o número ainda é escrito em potências de 10, mas não totalmente expandido.

Por exemplo, 7 não divide 9 ou 10, mas divide 98, que é próximo de 100. Assim, prossiga com

{\ displaystyle 100 \ cdot a + b}

onde, neste caso, a é qualquer número inteiro eb pode variar de 0 a 99. Em seguida,

{\ displaystyle (98 + 2) \ cdot a + b}

e novamente expandindo

{\ displaystyle 98 \ cdot a + 2 \ cdot a + b,}

e depois de eliminar o múltiplo conhecido de 7, o resultado é

{\ displaystyle 2 \ cdot a + b,}

que é a regra "duplique o número formado por todos, exceto os dois últimos dígitos e, em seguida, adicione os dois últimos dígitos".

Caso em que o (s) último (s) dígito (s) é (são) multiplicado (s) por um fator

A representação do número também pode ser multiplicada por qualquer número relativamente primo ao divisor, sem alterar sua divisibilidade. Depois de observar que 7 divide 21, podemos fazer o seguinte:

{\ displaystyle 10 \ cdot a + b,}

depois de multiplicar por 2, isso se torna

{\ displaystyle 20 \ cdot a + 2 \ cdot b,}

e então

{\ displaystyle (21-1) \ cdot a + 2 \ cdot b.}

Eliminando os 21 presentes

{\ displaystyle -1 \ cdot a + 2 \ cdot b,}

e multiplicar por -1 dá

{\ displaystyle a-2 \ cdot b.}

Qualquer uma das duas últimas regras pode ser usada, dependendo de qual é mais fácil de executar. Eles correspondem à regra "subtrair duas vezes o último dígito do resto".

Prova usando aritmética modular

Esta seção ilustrará o método básico; todas as regras podem ser derivadas seguindo o mesmo procedimento. O seguinte requer um aterramento básico em aritmética modular ; para divisibilidade diferente por 2 ea 5 de provas descansar sobre o fato básico de que 10 mod m pode ser invertida se 10 e m são relativamente primos.

Para 2 ⁿ ou 5 ⁿ :

Apenas os últimos n dígitos precisam ser verificados.

{\ displaystyle 10 ^ {n} = 2 ^ {n} \ cdot 5 ^ {n} \ equiv 0 {\ pmod {2 ^ {n} \ mathrm {\ ou \} 5 ^ {n}}}}

Representando x como ${\ displaystyle 10 ^ {n} \ cdot y + z,}$

{\ displaystyle x = 10 ^ {n} \ cdot y + z \ equiv z {\ pmod {2 ^ {n} \ mathrm {\ ou \} 5 ^ {n}}}}

e a divisibilidade de x é a mesma de z .

Para 7:

Como 10 × 5 ≡ 10 × (−2) ≡ 1 (mod 7), podemos fazer o seguinte:

Representando x como ${\ displaystyle 10 \ cdot y + z,}$

{\ displaystyle -2x \ equiv y-2z {\ pmod {7}},}

então x é divisível por 7 se e somente se y - 2 z é divisível por 7.

Veja também

Referências

^ Gardner, Martin (setembro de 1962). "Jogos matemáticos: testes que mostram se um grande número pode ser dividido por um número de 2 a 12". Scientific American . 207 (3): 232–246. doi : 10.1038 / scientificamerican0962-232 . JSTOR 24936675 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Isso segue o critério de Pascal. Veja Kisačanin (1998), p. 100-101
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Um número é divisível por 2 ^m , 5 ^m ou 10 ^m se e somente se o número formado pelos últimos m dígitos for divisível por esse número. Veja Richmond e Richmond (2009), p. 105
^ ^a ^b Apostol (1976), p. 108
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^ ^a ^b Kisačanin (1998), p. 101
^ "Teste de Chika" . Westminster Under School . 20/09/2019 . Recuperado em 2021-03-17 .
^ Su, Francis E. " " Divisibilidade por Sete " Mudd Math Fun Facts " . Página visitada em 2006-12-12 .
^ Página 274, Matemática Védica: Dezesseis Fórmulas Matemáticas Simples , por Swami Sankaracarya, publicado por Motilal Banarsidass, Varanasi, Índia, 1965, Delhi, 1978. 367 páginas.
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Fontes

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Kisačanin, Branislav (1998). Problemas matemáticos e provas: combinatória, teoria dos números e geometria . Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics . Textos de Graduação Puros e Aplicados. 3 . American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

links externos

Critérios de divisibilidade no corte do nó
Truques estúpidos de divisibilidade Regras de divisibilidade para 2–100.

[1] Gardner, Martin (setembro de 1962). "Jogos matemáticos: testes que mostram se um grande número pode ser dividido por um número de 2 a 12". Scientific American . 207 (3): 232–246. doi : 10.1038 / scientificamerican0962-232 . JSTOR 24936675 .

[Pascal's-criterion-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Isso segue o critério de Pascal. Veja Kisačanin (1998), p. 100-101

[last-m-digits-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Um número é divisível por 2 ^m , 5 ^m ou 10 ^m se e somente se o número formado pelos últimos m dígitos for divisível por esse número. Veja Richmond e Richmond (2009), p. 105

[apostol-1976-4] Apostol (1976), p. 108

[Richmond-Richmond-2009-5] Richmond & Richmond (2009), seção 3.4 (testes de divisibilidade), p. 102-108

[product-of-coprimes-6] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o ^p ^q Richmond & Richmond (2009), Seção 3.4 (Testes de divisibilidade), Teorema 3.4.3, p. 107

[alternating-sum-of-blocks-of-three-7] Kisačanin (1998), p. 101

[7Divis-8] "Teste de Chika" . Westminster Under School . 20/09/2019 . Recuperado em 2021-03-17 .

[7Divis1-9] Su, Francis E. " " Divisibilidade por Sete " Mudd Math Fun Facts " . Página visitada em 2006-12-12 .

[10] Página 274, Matemática Védica: Dezesseis Fórmulas Matemáticas Simples , por Swami Sankaracarya, publicado por Motilal Banarsidass, Varanasi, Índia, 1965, Delhi, 1978. 367 páginas.

[11] Dunkels, Andrejs, "Comentários sobre a nota 82.53 - um teste generalizado de divisibilidade", Mathematical Gazette 84, março de 2000, 79-81.

[auto-12] Stoykov, Ivan (março de 2020). "OEIS A333448" . OEIS A333448 .

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Regra de divisibilidade - Divisibility rule

Conteúdo

Regras de divisibilidade para números 1-30

Exemplos passo a passo

Divisibilidade por 2

Divisibilidade por 3 ou 9

Divisibilidade por 4

Divisibilidade por 5

Divisibilidade por 6

Divisibilidade por 7

Divisibilidade por 13

Além de 30

Divisores compostos

Divisores principais

Exemplos notáveis

Regra de divisibilidade generalizada

Provas

Prova usando álgebra básica

Prova usando aritmética modular

Veja também

Referências

Fontes

links externos