Dualidade coerente - Coherent duality

Em matemática, dualidade coerente é qualquer uma de uma série de generalizações da dualidade de Serre , aplicando-se a feixes coerentes , em geometria algébrica e teoria de variedade complexa , bem como alguns aspectos da álgebra comutativa que fazem parte da teoria 'local'.

As raízes históricas da teoria residem na ideia do sistema linear adjacente de um sistema linear de divisores na geometria algébrica clássica. Isso foi reexpresso, com o advento da teoria dos feixes , de uma forma que tornou mais aparente uma analogia com a dualidade de Poincaré . Então, de acordo com um princípio geral, o ponto de vista relativo de Grothendieck , a teoria de Jean-Pierre Serre foi estendida a um morfismo adequado ; A dualidade de Serre foi recuperada como o caso do morfismo de uma variedade projetiva não singular (ou variedade completa ) até certo ponto. A teoria resultante é às vezes chamada de dualidade Serre-Grothendieck-Verdier e é uma ferramenta básica em geometria algébrica. Um tratamento dessa teoria, Residues and Duality (1966), de Robin Hartshorne , tornou-se uma referência. Uma derivação de concreto foi o resíduo de Grothendieck .

Ir além dos morfismos próprios, como para as versões da dualidade de Poincaré que não são para variedades fechadas , requer alguma versão do conceito de suporte compacto . Isso foi tratado no SGA2 em termos de cohomologia local e dualidade local de Grothendieck ; e subsequentemente. A dualidade Greenlees-May , formulada pela primeira vez em 1976 por Ralf Strebel e em 1978 por Eben Matlis , é parte da consideração contínua dessa área.

Ponto de vista do functor adjunto

Functores de imagem para polias
imagem direta f ∗
imagem inversa f ∗
imagem direta com suporte compacto f !
imagem inversa excepcional Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Teoremas de mudança de base
v t e

Embora a dualidade de Serre use um feixe de linhas ou feixe invertível como feixe de dualização , a teoria geral (ao que parece) não pode ser tão simples. (Mais precisamente, pode, mas ao custo de impor a condição do anel de Gorenstein .) Em uma virada característica, Grothendieck reformulou a dualidade coerente geral como a existência de um functor adjunto direito , chamado de functor de imagem inversa torcido ou excepcional , para um direto superior imagem com functor de suporte compacto . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Rf_ {!}}$

Imagens diretas superiores são uma forma sheafified de cohomologia de feixe , neste caso, com suporte adequado (compacto); eles são agrupados em um único functor por meio da formulação de categoria derivada da álgebra homológica (introduzida com este caso em mente). Se for adequado, então é um adjunto certo para o functor de imagem inversa . O teorema da existência para a imagem inversa torcida é o nome dado à prova da existência para o que seria a conta para a comonada da adjunção procurada, ou seja, uma transformação natural${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Rf _ {!} = Rf _ {\ ast}}$${\ displaystyle f ^ {\ ast}}$

${\ displaystyle Rf _ {!} f ^ {!} \ rightarrow id}$,

que é denotado por (Hartshorne) ou (Verdier). É o aspecto da teoria mais próximo do significado clássico, como sugere a notação, que a dualidade é definida pela integração. ${\ displaystyle Tr_ {f}}$${\ displaystyle \ int _ {f}}$

Para ser mais preciso, existe como um functor exato de uma categoria derivada de feixes quase coerentes em , para a categoria análoga em , sempre que ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

é um morfismo próprio ou quase projetivo de esquemas noetherianos, de dimensão Krull finita . Disto, o resto da teoria pode ser derivado: os complexos de dualização recuam via , o símbolo de resíduo de Grothendieck , o feixe de dualização no caso Cohen-Macaulay . ${\ displaystyle f ^ {!}}$

Para obter uma declaração em uma linguagem mais clássica, mas ainda mais ampla do que a dualidade de Serre, Hartshorne ( Geometria Algébrica ) usa o functor Ext de feixes ; esta é uma espécie de trampolim para a categoria derivada.

A afirmação clássica da dualidade de Grothendieck para um morfismo projetivo ou próprio de esquemas noetherianos de dimensão finita, encontrada em Hartshorne ( Resíduos e dualidade ) é o seguinte quase-isomorfismo ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

${\ displaystyle Rf _ {\ ast} RHom_ {X} (F ^ {\ bullet}, f ^ {!} G ^ {\ bullet}) \ to RHom_ {Y} (Rf _ {\ ast} F ^ {\ bullet} , G ^ {\ bullet})}$

para um complexo de módulos acima limitado com cohomologia quase coerente e um complexo de módulos abaixo limitado com cohomologia coerente. Aqui, o 's são feixes de homomorfismos. ${\ displaystyle F ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {X}}$${\ displaystyle G ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {Y}}$${\ displaystyle Hom}$

Construção do pseudofunctor usando complexos dualizantes rígidos${\ displaystyle f ^ {!}}$

Com o passar dos anos, surgiram várias abordagens para a construção do pseudofunctor. Uma abordagem bem-sucedida bastante recente é baseada na noção de um complexo de dualização rígido. Essa noção foi definida pela primeira vez por Van den Bergh em um contexto não comutativo. A construção é baseada em uma variante da cohomologia Hochschild derivada ( cohomologia Shukla): seja um anel comutativo e seja uma álgebra comutativa . Existe um functor que leva um complexo de cochain a um objeto na categoria derivada over . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k-}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle A}$

Asumming é noetherian, um complexo de dualização rígido sobre em relação a é por definição um par onde é um complexo de dualização sobre o qual tem dimensão plana finita sobre , e onde é um isomorfismo na categoria derivada . Se tal complexo de dualização rígido existe, então ele é único em um sentido forte. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (R, \ rho)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ rho: R \ to RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, R \ otimes _ {k} ^ {L} R)}$${\ displaystyle D (A)}$

Assumindo que é uma localização de um tipo finito -álgebra, a existência de um complexo dualizante rígido em relação a foi provada pela primeira vez por Yekutieli e Zhang assumindo que é um anel noetheriano regular de dimensão Krull finita, e por Avramov , Iyengar e Lipman assumindo que é um anel de Gorenstein de dimensão Krull finita e de dimensão plana finita acabada . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$

Se for um esquema de tipo finito acabado , pode-se colar os complexos dualizantes rígidos que suas peças afins possuem e obter um complexo dualizante rígido . Uma vez que se estabelece uma existência global de um complexo dualizante rígido, dado um mapa de esquemas acima , pode-se definir , onde para um esquema , definimos . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R_ {X}}$${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f ^ {!}: = D_ {X} \ circ Lf ^ {*} \ circ D_ {Y}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D_ {X}: = RHom _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (-, R_ {X})}$

Exemplos complexos de dualização

Complexo de Dualização para uma Variedade Projetiva

O complexo de dualização para uma variedade projetiva é dado pelo complexo ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [+ n])}$

Plano que cruza uma linha

Considere a variedade projetiva

${\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(x) (y, z)}} \ right) = { \ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(xy, xz)}} \ right)}$

Podemos calcular usando uma resolução por polias localmente livres. Isso é dado pelo complexo ${\ displaystyle \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} [+ 3 ])}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ para {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} (- 3) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​\\ - y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy & xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} \ para 0}$

Uma vez que temos isso ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} \ cong {\ mathcal {O}} (- 4)}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet}, {\ mathcal { O}} (- 4) [+ 3]) = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ otimes {\ mathcal {O }} (4) [- 3], {\ mathcal {O}})}$

Este é o complexo

${\ displaystyle [{\ mathcal {O}} (- 4) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy \\ xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​& -y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 1)] [- 3]}$

Veja também

• Dualidade de Verdier

Notas

Referências

• Greenlees, JPC; May, J. Peter (1992), "Derived functors of I -adic complete and local homology", Journal of Algebra , 149 (2): 438-453, doi : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90026-I , ISSN  0021-8693 , MR  1172439
• Hartshorne, Robin (1966), Residues and Duality , Lecture Notes in Mathematics 20 , Berlin, New York: Springer-Verlag , pp. 20-48
• Neeman, Amnon (1996), "Teorema da dualidade de Grothendieck via técnicas de Bousfield e representabilidade de Brown", Journal of the American Mathematical Society , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN  0894-0347 , MR  1308405
• Verdier, Jean-Louis (1969), "Mudança de base para imagem inversa torcida de feixes coerentes", Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , pp. 393– 408, MR  0274464
• Hopkins, Glenn, An Algebraic Approach to Grothendieck's Residue Symbol (PDF)