Polinômios de Chebyshev - Chebyshev polynomials

Os polinômios de Chebyshev são duas sequências de polinômios relacionadas às funções cosseno e seno, notadas como e . Eles podem ser definidos de várias maneiras que têm o mesmo resultado final; neste artigo, os polinômios são definidos começando com funções trigonométricas :

Os polinômios Chebyshev do primeiro tipo são dados por
Da mesma forma, defina os polinômios de Chebyshev do segundo tipo como

Essas definições não parecem ser polinômios , mas usando várias identidades trigonométricas, elas podem ser convertidas em uma forma explicitamente polinomial. Por exemplo, para n = 2, a fórmula T 2 pode ser convertida em um polinômio com o argumento x = cos ( θ ) , usando a fórmula de ângulo duplo:

Substituindo os termos na fórmula pelas definições acima, obtemos

Os outros T n ( x ) são definidos de forma semelhante, onde para os polinômios do segundo tipo ( U n ) devemos usar a fórmula de Moivre para obter sin ( n θ ) como sin ( θ ) vezes um polinômio em cos ( θ ) . Por exemplo,

Uma vez convertidos para a forma polinomial, T n ( x ) e U n ( x ) são chamados de polinômios de Chebyshev de primeiro e segundo tipo , respectivamente.

Por outro lado, um poder inteiro arbitrário de funções trigonométricas pode ser expresso como uma combinação linear de funções trigonométricas usando polinômios de Chebyshev

onde o primo no símbolo de soma indica que a contribuição de j = 0 precisa ser dividida pela metade se aparecer, e .

Uma propriedade importante e conveniente do T n ( x ) é que eles são ortogonais em relação ao produto interno

e U n ( x ) são ortogonais em relação a outro produto interno análogo , dado abaixo. Isso decorre do fato de que os polinômios de Chebyshev resolvem as equações diferenciais de Chebyshev

que são equações diferenciais de Sturm-Liouville . É uma característica geral de tais equações diferenciais que haja um conjunto distinto de soluções ortonormais. (Outra maneira de definir os polinômios de Chebyshev é como as soluções para essas equações .)

Os polinômios de Chebyshev T n são polinômios com o maior coeficiente líder possível, cujo valor absoluto no intervalo [-1, 1] é limitado por 1. Eles também são os polinômios "extremos" para muitas outras propriedades.

Os polinômios de Chebyshev são importantes na teoria da aproximação porque as raízes de T n ( x ) , também chamadas de nós de Chebyshev , são usadas como pontos de correspondência para otimizar a interpolação polinomial . O polinômio de interpolação resultante minimiza o problema do fenômeno de Runge e fornece uma aproximação que se aproxima da melhor aproximação polinomial para uma função contínua sob a norma máxima , também chamada de critério " minimax ". Esta aproximação leva diretamente ao método da quadratura de Clenshaw-Curtis .

Esses polinômios foram nomeados após Pafnuty Chebyshev . A letra T é usada por causa das transliterações alternativas do nome Chebyshev como Tchebycheff , Tchebyshev (francês) ou Tschebyschow (alemão).

Definições

Definição de recorrência

Gráfico dos primeiros cinco polinômios T n Chebyshev do primeiro tipo

Os polinômios de Chebyshev do primeiro tipo são obtidos a partir da relação de recorrência

A função geradora comum para T n é

Existem várias outras funções geradoras para os polinômios de Chebyshev; a função geradora exponencial é

A função geradora relevante para a teoria do potencial bidimensional e expansão multipolar é

Gráfico dos primeiros cinco polinômios U n Chebyshev do segundo tipo

Os polinômios de Chebyshev do segundo tipo são definidos pela relação de recorrência

Observe que os dois conjuntos de relações de recorrência são idênticos, exceto para vs .. A função de geração comum para U n é

a função geradora exponencial é

Definição trigonométrica

Conforme descrito na introdução, os polinômios de Chebyshev do primeiro tipo podem ser definidos como os polinômios únicos que satisfazem

ou, em outras palavras, como os polinômios únicos que satisfazem

para n = 0, 1, 2, 3, ... que como ponto técnico é uma variante (transposta equivalente) da equação de Schröder . Ou seja, T n ( x ) é funcionalmente conjugado a nx , codificado na propriedade de aninhamento abaixo.

Os polinômios do segundo tipo satisfazem:

ou

que é estruturalmente muito semelhante ao kernel Dirichlet D n ( x ) :

Que cos nx é um polinômio de n -ésimo grau em cos x pode ser visto observando que cos nx é a parte real de um lado da fórmula de de Moivre . A parte real do outro lado é um polinômio em cos x e sin x , em que todos os poderes do pecado x são ainda e, portanto, substituível por meio da identidade cos 2 x + sin 2 x = 1 . Pelo mesmo raciocínio, sen nx é a parte imaginária do polinômio, em que todas as potências de sen x são ímpares e, portanto, se um for fatorado, o restante pode ser substituído para criar um polinômio de ( n −1) º grau em cos x .

A identidade é bastante útil em conjunto com a fórmula geradora recursiva, visto que permite calcular o cosseno de qualquer múltiplo integral de um ângulo unicamente em termos do cosseno do ângulo de base.

Avaliando os dois primeiros polinômios de Chebyshev,

e

pode-se determinar diretamente que

e assim por diante.

Dois corolários imediatos são a identidade da composição (ou propriedade de aninhamento especificando um semigrupo )

e a expressão de exponenciação complexa em termos de polinômios de Chebyshev: dado z = a + bi ,

Definição da equação de Pell

Os polinômios de Chebyshev também podem ser definidos como as soluções para a equação de Pell

em um anel R [ x ] . Assim, eles podem ser gerados pela técnica padrão para as equações de Pell de obtenção de poderes de uma solução fundamental:

Relações entre os dois tipos de polinômios de Chebyshev

Os polinômios de Chebyshev do primeiro e segundo tipos correspondem a um par complementar de sequências de Lucas n ( P , Q ) e Ũ n ( P , Q ) com parâmetros P = 2 x e Q = 1 :

Conclui-se que eles também satisfazem um par de equações de recorrência mútua:

Os polinômios de Chebyshev do primeiro e segundo tipos também são conectados pelas seguintes relações:

A relação de recorrência da derivada de polinômios de Chebyshev pode ser derivada destas relações:

Essa relação é usada no método espectral de Chebyshev para resolver equações diferenciais.

As desigualdades de Turán para os polinômios de Chebyshev são

As relações integrais são

onde integrais são considerados como valor principal.

Expressões explícitas

Diferentes abordagens para definir polinômios de Chebyshev levam a diferentes expressões explícitas, como:

com inverso

onde o primo no símbolo de soma indica que a contribuição de j = 0 precisa ser reduzida à metade se aparecer.

onde 2 F 1 é uma função hipergeométrica .

Propriedades

Simetria

Ou seja, polinômios de Chebyshev de ordem par têm simetria uniforme e contêm apenas potências pares de x . Polinômios de Chebyshev de ordem ímpar têm simetria ímpar e contêm apenas potências ímpares de x .

Raízes e extremos

Um polinômio de Chebyshev de qualquer tipo com grau n tem n raízes simples diferentes, chamadas raízes de Chebyshev , no intervalo [-1, 1] . As raízes do polinômio Chebyshev do primeiro tipo às vezes são chamadas de nós Chebyshev porque são usadas como nós na interpolação polinomial. Usando a definição trigonométrica e o fato de que

pode-se mostrar que as raízes de T n são

Da mesma forma, as raízes de U n são

Os extremos de T n no intervalo −1 ≤ x ≤ 1 estão localizados em

Uma propriedade única dos polinômios de Chebyshev do primeiro tipo é que no intervalo −1 ≤ x ≤ 1 todos os extremos têm valores que são −1 ou 1. Assim, esses polinômios têm apenas dois valores críticos finitos , a propriedade definidora de Polinômios de Shabat . Tanto o primeiro quanto o segundo tipos de polinômio de Chebyshev têm extremos nas extremidades, dados por:

Diferenciação e integração

Os derivados dos polinômios podem ser menos do que simples. Ao diferenciar os polinômios em suas formas trigonométricas, pode-se mostrar que:

As duas últimas fórmulas podem ser numericamente problemáticas devido à divisão por zero (0/0 forma indeterminada , especificamente) a x = 1 e x = -1 . Pode-se demonstrar que:

Prova

A segunda derivada do polinômio Chebyshev do primeiro tipo é

que, se avaliada como mostrado acima, representa um problema porque é indeterminada em x = ± 1 . Uma vez que a função é um polinômio, (todas) as derivadas devem existir para todos os números reais, portanto, tomar o limite na expressão acima deve produzir o valor desejado:

onde apenas x = 1 é considerado por enquanto. Fatorando o denominador:

Uma vez que o limite como um todo deve existir, o limite do numerador e denominador deve existir independentemente, e

O denominador (ainda) limita-se a zero, o que implica que o numerador deve ser limitado a zero, ou seja, U n - 1 (1) = nT n (1) = n que será útil mais tarde. Uma vez que o numerador e o denominador são limitados a zero, a regra de L'Hôpital se aplica:

A prova para x = −1 é semelhante, com o fato de que T n (−1) = (−1) n sendo importante.

Mais estados da fórmula geral:

que é de grande utilidade na solução numérica de problemas de autovalores.

Além disso, nós temos

onde o primo nos símbolos de soma significa que o termo contribuído por k = 0 deve ser dividido pela metade, se aparecer.

No que diz respeito à integração, a primeira derivada do T n implica que

e a relação de recorrência para os polinômios de primeiro tipo envolvendo derivados estabelece que para n ≥ 2

A última fórmula pode ser posteriormente manipulada para expressar a integral de T n como uma função de polinômios de Chebyshev apenas do primeiro tipo:

Além disso, temos

Produtos de polinômios de Chebyshev

Ao trabalhar com polinômios de Chebyshev, muitas vezes ocorrem produtos de dois deles. Esses produtos podem ser reduzidos a combinações de polinômios de Chebyshev com grau mais baixo ou mais alto e declarações conclusivas sobre o produto são mais fáceis de fazer. Deve ser assumido que a seguir o índice m é maior ou igual ao índice n e n não é negativo. Para polinômios de Chebyshev do primeiro tipo, o produto se expande para

que é uma analogia com o teorema da adição

com as identidades

Para n = 1, isso resulta na fórmula de recorrência já conhecida, apenas arranjada de forma diferente, e com n = 2 forma a relação de recorrência para todos os polinômios Chebyshev pares ou ímpares (dependendo da paridade do m mais baixo ) que permite projetar funções com propriedades de simetria prescritas. Três outras fórmulas úteis para avaliar polinômios de Chebyshev podem ser concluídas a partir desta expansão de produto:

Para polinômios Chebyshev do segundo tipo, os produtos podem ser escritos como:

para mn .

Por isso, como acima, com n = 2, a fórmula de recorrência para polinômios de Chebyshev do segundo tipo reduz para ambos os tipos de simetria

dependendo se m começa com 2 ou 3.

Ortogonalidade

Tanto T n quanto U n formam uma sequência de polinômios ortogonais . Os polinômios do primeiro tipo T n são ortogonais em relação ao peso

no intervalo [-1,1] , ou seja, temos:

Isso pode ser provado deixando x = cos θ e usando a identidade definidora T n (cos θ ) = cos .

Da mesma forma, os polinômios do segundo tipo U n são ortogonais em relação ao peso

no intervalo [-1,1] , ou seja, temos:

(A medida 1 - x 2 d x é, dentro de uma constante de normalização, a distribuição do semicírculo de Wigner .)

O T n também satisfaz uma condição de ortogonalidade discreta:

onde N é qualquer número inteiro maior que max ( i , j ) , e o x k são os N nós Chebyshev (veja acima) de T N ( x ) :

Para os polinômios do segundo tipo e qualquer número inteiro N > i + j com os mesmos nós Chebyshev x k , há somas semelhantes:

e sem a função de peso:

Para qualquer número inteiro N > i + j , com base nos N zeros de U N ( x ) :

pode-se obter a soma:

e novamente sem a função de peso:

∞- norma mínima

Para qualquer dado n ≥ 1 , entre os polinômios de grau n com coeficiente líder 1 ( polinômios mônicos ),

é aquele cujo valor absoluto máximo no intervalo [-1, 1] é mínimo.

Este valor absoluto máximo é

e | f ( x ) | atinge esse máximo exatamente n + 1 vezes em

Prova

Vamos supor que w n ( x ) é um polinômio de grau n com coeficiente líder 1 com valor absoluto máximo no intervalo [−1,1] menor que 1/2 n - 1 .

Definir

Porque em pontos extremos de T n temos

Do teorema do valor intermediário , f n ( x ) tem pelo menos n raízes. No entanto, isso é impossível, pois f n ( x ) é um polinômio de grau n - 1 , então o teorema fundamental da álgebra implica que ele tem no máximo n - 1 raízes.

Observação

Pelo teorema da equioscilação , entre todos os polinômios de grau n , o polinômio f minimiza || f || on [−1,1] se e somente se houver n + 2 pontos −1 ≤ x 0 < x 1 <⋯ < x n + 1 ≤ 1 tal que | f ( x i ) | = || f || .

Obviamente, o polinômio nulo no intervalo [−1,1] pode ser aproximado por si mesmo e minimiza a norma .

Acima, porém, | f | atinge seu máximo apenas n + 1 vezes porque estamos procurando o melhor polinômio de grau n ≥ 1 (portanto, o teorema evocado anteriormente não pode ser usado).

Outras propriedades

Os polinômios de Chebyshev são um caso especial dos polinômios ultra- esféricos ou de Gegenbauer , que por sua vez são um caso especial dos polinômios de Jacobi :

Para cada inteiro não negativo n , T n ( x ) e U n ( x ) são polinômios de grau n . Eles são funções pares ou ímpares de x, já que n é par ou ímpar, portanto, quando escritos como polinômios de x , tem apenas termos de graus pares ou ímpares, respectivamente. Na verdade,

e

O coeficiente líder de T n é 2 n - 1 se 1 ≤ n , mas 1 se 0 = n .

T n são um caso especial de curvas de Lissajous com razão de frequência igual a n .

Várias sequências polinomiais como polinômios de Lucas ( L n ), polinômios de Dickson ( D n ), polinômios de Fibonacci ( F n ) estão relacionados aos polinômios de Chebyshev T n e U n .

Os polinômios de Chebyshev do primeiro tipo satisfazem a relação

o que é facilmente comprovado pela fórmula de soma do produto para o cosseno. Os polinômios do segundo tipo satisfazem a relação semelhante

(com a definição U −1 ≡ 0 por convenção).

Semelhante à fórmula

nós temos a fórmula análoga

Para x ≠ 0 ,

e

o que segue do fato de que isso é válido por definição para x = e .

Definir

Então C n ( x ) e C m ( x ) são polinômios comutantes:

como é evidente na propriedade de aninhamento de Abelian especificada acima.

Polinômios de Chebyshev generalizados

Os polinômios de Chebyshev generalizados T a são definidos por

onde a não é necessariamente um número inteiro, e 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) é a função hipergeométrica gaussiana ; como exemplo ,. A expansão da série de potências

converge para .

Exemplos

Primeiro tipo

Os primeiros polinômios de Chebyshev do primeiro tipo no domínio −1 < x <1 : O plano T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 4 e T 5 .

Os primeiros polinômios de Chebyshev do primeiro tipo são OEISA028297

Segundo tipo

Os primeiros poucos polinômios de Chebyshev do segundo tipo no domínio −1 < x <1 : O plano U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 e U 5 . Embora não seja visível na imagem, U n (1) = n + 1 e U n (−1) = ( n + 1) (- 1) n .

Os primeiros polinômios de Chebyshev do segundo tipo são OEISA053117

Como conjunto de base

A função não suave (topo) y = - x 3 H (- x ) , onde H é a função escalonada de Heaviside e (embaixo) a 5ª soma parcial de sua expansão de Chebyshev. A 7ª soma é indistinguível da função original na resolução do gráfico.

No espaço de Sobolev apropriado , o conjunto de polinômios de Chebyshev forma uma base ortonormal , de modo que uma função no mesmo espaço pode, em −1 ≤ x ≤ 1 ser expressa por meio da expansão:

Além disso, como mencionado anteriormente, os polinômios de Chebyshev formam uma base ortogonal que (entre outras coisas) implica que os coeficientes a n podem ser determinados facilmente através da aplicação de um produto interno . Essa soma é chamada de série de Chebyshev ou expansão de Chebyshev .

Uma vez que uma série de Chebyshev está relacionada a uma série de cossenos de Fourier por meio de uma mudança de variáveis, todos os teoremas, identidades, etc. que se aplicam à série de Fourier têm uma contraparte de Chebyshev. Esses atributos incluem:

  • Os polinômios de Chebyshev formam um sistema ortogonal completo .
  • A série Chebyshev converge para f ( x ) se a função for suave por partes e contínua . O requisito de suavidade pode ser relaxado na maioria dos casos - desde que haja um número finito de descontinuidades em f ( x ) e seus derivados.
  • Em uma descontinuidade, a série convergirá para a média dos limites direito e esquerdo.

A abundância de teoremas e identidades herdadas da série de Fourier tornam os polinômios de Chebyshev ferramentas importantes na análise numérica ; por exemplo, são as funções de base de propósito geral mais populares usadas no método espectral , muitas vezes em favor de séries trigonométricas devido à convergência geralmente mais rápida para funções contínuas ( o fenômeno de Gibbs ainda é um problema).

Exemplo 1

Considere a expansão de Chebyshev de log (1 + x ) . Pode-se expressar

Pode-se encontrar os coeficientes a n através da aplicação de um produto interno ou pela condição de ortogonalidade discreta. Para o produto interno,

que dá

Alternativamente, quando o produto interno da função sendo aproximada não pode ser avaliado, a condição de ortogonalidade discreta dá um resultado frequentemente útil para coeficientes aproximados ,

onde δ ij é a função delta de Kronecker e x k são os zeros N Gauss-Chebyshev de T N ( x ) :

Para qualquer N , esses coeficientes aproximados fornecem uma aproximação exata da função em x k com um erro controlado entre esses pontos. Os coeficientes exatos são obtidos com N = ∞ , representando assim a função exatamente em todos os pontos em [−1,1] . A taxa de convergência depende da função e de sua suavidade.

Isso nos permite calcular os coeficientes aproximados um n muito eficiente através do cosseno transformada discreta

Exemplo 2

Para fornecer outro exemplo:

Somas parciais

As somas parciais de

são muito úteis na aproximação de várias funções e na solução de equações diferenciais (ver método espectral ). Dois métodos comuns para determinar os coeficientes a n são através do uso do produto interno como no método de Galerkin e através do uso de colocação, que está relacionado à interpolação .

Como um interpolante, os N coeficientes da ( N - 1) ésima soma parcial são normalmente obtidos nos pontos Chebyshev – Gauss – Lobatto (ou grade de Lobatto), o que resulta em erro mínimo e evita o fenômeno de Runge associado a uma grade uniforme. Esta coleção de pontos corresponde aos extremos do polinômio de ordem mais alta na soma, mais os pontos finais e é dada por:

Polinomial na forma Chebyshev

Um polinômio arbitrário de grau N pode ser escrito em termos dos polinômios de Chebyshev do primeiro tipo. Esse polinômio p ( x ) tem a forma

Polinômios na forma de Chebyshev podem ser avaliados usando o algoritmo de Clenshaw .

Polinômios de Chebyshev deslocados

Polinômios de Chebyshev deslocados do primeiro tipo são definidos como

Quando o argumento do polinômio de Chebyshev está no intervalo de 2 x - 1 ∈ [−1, 1], o argumento do polinômio de Chebyshev deslocado é x[0, 1] . Da mesma forma, pode-se definir polinômios deslocados para intervalos genéricos [ a , b ] .

Veja também

Referências

Fontes

links externos