Método de elemento de fronteira - Boundary element method

O método dos elementos de fronteira ( BEM ) é um método computacional numérico de resolver equações diferenciais parciais lineares que foram formuladas como equações integrais (ou seja, na forma integral de fronteira ), incluindo mecânica dos fluidos , acústica , eletromagnética (onde a técnica é conhecida como método dos momentos ou abreviado como MoM ), mecânica de fratura e mecânica de contato .

Base matemática

A equação integral pode ser considerada como uma solução exata da equação diferencial parcial governante. O método do elemento de contorno tenta usar as condições de contorno fornecidas para ajustar os valores de contorno na equação integral, em vez de valores em todo o espaço definido por uma equação diferencial parcial. Feito isso, no estágio de pós-processamento, a equação integral pode então ser usada novamente para calcular numericamente a solução diretamente em qualquer ponto desejado no interior do domínio da solução.

O BEM é aplicável a problemas para os quais as funções de Green podem ser calculadas. Geralmente envolvem campos em meios lineares homogêneos . Isso impõe restrições consideráveis ​​à extensão e generalidade dos problemas aos quais os elementos de fronteira podem ser aplicados de maneira útil. Não linearidades podem ser incluídas na formulação, embora geralmente introduzam integrais de volume que então requerem que o volume seja discretizado antes que a solução possa ser tentada, removendo uma das vantagens mais frequentemente citadas do BEM. Uma técnica útil para tratar a integral de volume sem discretizar o volume é o método de reciprocidade dupla . A técnica aproxima parte do integrando usando funções de base radial ( funções de interpolação local) e converte a integral de volume em integral de limite após colocar em pontos selecionados distribuídos por todo o domínio de volume (incluindo a fronteira). No BEM de reciprocidade dupla, embora não haja necessidade de discretizar o volume em malhas, incógnitas em pontos escolhidos dentro do domínio de solução estão envolvidas nas equações algébricas lineares que se aproximam do problema sendo considerado.

Os elementos da função de Green conectando pares de patches de origem e de campo definidos pela malha formam uma matriz, que é resolvida numericamente. A menos que a função de Green seja bem comportada, pelo menos para pares de patches próximos um do outro, a função de Green deve ser integrada sobre um ou ambos os patches de origem e de campo. A forma do método em que as integrais sobre os patches de origem e de campo são as mesmas é chamada de " método de Galerkin ". O método de Galerkin é a abordagem óbvia para problemas que são simétricos em relação à troca de pontos de fonte e de campo. No domínio eletromagnético da frequência, isso é garantido pela reciprocidade eletromagnética . O custo de computação envolvido em implementações ingênuas de Galerkin é normalmente bastante alto. Deve-se fazer um loop sobre cada par de elementos (de modo que obtemos n ² interações) e para cada par de elementos, fazemos um loop através dos pontos de Gauss nos elementos, produzindo um fator multiplicativo proporcional ao número de pontos de Gauss ao quadrado. Além disso, as avaliações de função exigidas costumam ser bastante caras, envolvendo chamadas de função trigonométrica / hiperbólica. No entanto, a principal fonte do custo computacional é esse loop duplo sobre os elementos que produzem uma matriz totalmente preenchida.

As funções de Green , ou soluções fundamentais , são frequentemente problemáticas para integrar, pois são baseadas em uma solução das equações do sistema sujeitas a uma carga de singularidade (por exemplo, o campo elétrico que surge de uma carga pontual). Integrar esses campos singulares não é fácil. Para geometrias de elementos simples (por exemplo, triângulos planos), a integração analítica pode ser usada. Para elementos mais gerais, é possível projetar esquemas puramente numéricos que se adaptam à singularidade, mas com grande custo computacional. Obviamente, quando o ponto de origem e o elemento de destino (onde a integração é feita) estão distantes, o gradiente local ao redor do ponto não precisa ser quantificado exatamente e torna-se possível integrar facilmente devido ao declínio suave da solução fundamental. É esse recurso que é normalmente empregado em esquemas projetados para acelerar cálculos de problemas de elementos de contorno.

A derivação das funções de Green de forma fechada é de particular interesse no método dos elementos de fronteira, especialmente em eletromagnetismo. Especificamente na análise de mídia em camadas, a derivação da função de Green no domínio espacial necessita da inversão da função de Green no domínio espectral analiticamente derivável por meio da integral de caminho de Sommerfeld. Esta integral não pode ser avaliada analiticamente e sua integração numérica é cara devido ao seu comportamento oscilatório e de convergência lenta. Para uma análise robusta, as funções espaciais de Green são aproximadas como exponenciais complexas com métodos como o método de Prony ou o pencil generalizado de função , e a integral é avaliada com a identidade de Sommerfeld . Este método é conhecido como método de imagem complexa discreta.

Comparação com outros métodos

O método dos elementos de fronteira é frequentemente mais eficiente do que outros métodos, incluindo elementos finitos, em termos de recursos computacionais para problemas onde há uma pequena relação superfície / volume. Conceitualmente, funciona construindo uma " malha " sobre a superfície modelada. No entanto, para muitos problemas, os métodos de elemento de fronteira são significativamente menos eficientes do que os métodos de discretização de volume ( método de elemento finito , método de diferença finita , método de volume finito ). Um bom exemplo de aplicação do método dos elementos de fronteira é o cálculo eficiente das frequências naturais de derramamento de líquido em tanques. O método dos elementos de contorno é um dos métodos mais eficazes para simulação numérica de problemas de contato, em particular para simulação de contatos adesivos.

As formulações de elementos de fronteira normalmente dão origem a matrizes totalmente preenchidas. Isso significa que os requisitos de armazenamento e o tempo computacional tendem a crescer de acordo com o quadrado do tamanho do problema. Em contraste, as matrizes de elementos finitos são tipicamente agrupadas (os elementos são conectados apenas localmente) e os requisitos de armazenamento para as matrizes do sistema geralmente crescem de forma bastante linear com o tamanho do problema. As técnicas de compressão (por exemplo, expansões multipolares ou aproximação cruzada adaptativa / matrizes hierárquicas ) podem ser usadas para amenizar esses problemas, embora ao custo de complexidade adicional e com uma taxa de sucesso que depende muito da natureza do problema a ser resolvido e da geometria envolvida .

Veja também

• Método de elemento analítico
• Eletromagnética computacional
• Métodos sem malha
• Método de limite imerso
• Método de grade esticada

Referências

Bibliografia

• Ang, Whye-Teong (2007), A Beginner's Course in Boundary Element Methods , Boca Raton, Fl: Universal Publishers , ISBN 978-1-58112-974-8.
• Ang, Whye-Teong (2013), Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis , Oxford: Woodhead Publishing , ISBN 978-0-85709-479-7.
• Banerjee, Prasanta Kumar (1994), The Boundary Element Methods in Engineering (2ª ed.), Londres, etc: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-707769-3.
• Cerveja, Gernot; Smith, Ian; Duenser, Christian, The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists , Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag , pp. XIV + 494, ISBN 978-3-211-71574-1
• Cheng, Alexander H.-D .; Cheng, Daisy T. (2005), "Heritage and early history of the boundary element method", Engineering Analysis with Boundary Elements , 29 (3): 268–302, doi : 10.1016 / j.enganabound.2004.12.001 , Zbl  1182.65005, disponível também aqui .
• Gibson, Walton C (2008), The Method of Moments in Electromagnetics , Boca Raton, Flórida: Chapman & Hall / CRC Press , pp. Xv + 272, ISBN 978-1-4200-6145-1, MR  2503144 , Zbl  1175.78002.
• Katsikadelis, John T. (2002), Boundary Elements Theory and Applications , Amsterdam: Elsevier , pp. XIV + 336, ISBN 978-0-080-44107-8.
• Wrobel, LC; Aliabadi, MH (2002), The Boundary Element Method , Nova York: John Wiley & Sons , p. 1066, ISBN 978-0-470-84139-6 (em dois volumes).

Leitura adicional

• Constanda, cristã; Doty, Dale; Hamill, William (2016). Métodos de Equação Integral de Fronteira e Soluções Numéricas: Placas Finas em uma Base Elástica . Nova York: Springer. ISBN 978-3-319-26307-6.

links externos

• Um recurso online para elementos de fronteira
• O que está abaixo da superfície? Um guia para o Método do Elemento de Fronteira e funções de Green para alunos e profissionais
• Um curso introdutório ao BEM (com um capítulo sobre as funções de Green)
• Elementos de limite para problemas de fissura plana
• Site de modelagem eletromagnética na Clemson University (inclui uma lista de softwares disponíveis atualmente)
• Software Concept Analyst Boundary Element Analysis
• Klimpke, Bruce A Hybrid Magnetic Field Solver Using a Combined Finite Element / Boundary Element Field Solver , UK Magnetics Society Conference, 2003 que compara métodos FEM e BEM, bem como abordagens híbridas

Software grátis

• Bembel A 3D, isogeométrico, software BEM de código aberto de ordem superior para problemas de Laplace, Helmholtz e Maxwell utilizando um método multipolar rápido para compressão e redução de custo computacional
• boundary-element-method.com Um software BEM de código aberto para resolver problemas de acústica / Helmholtz e Laplace
• Puma-EM Um programa paralelo de Método de Momentos / Método Multipolar Rápido Multinível de código aberto e alto desempenho
• AcouSTO Acoustics Simulation TOol, um solver BEM paralelo gratuito e de código aberto para a Equação Integral de Kirchhoff-Helmholtz (KHIE)
• FastBEM Programas de elementos de limite multipolares rápidos e gratuitos para resolver potenciais 2D / 3D, elasticidade, fluxo de Stokes e problemas acústicos
• ParaFEM Inclui o solucionador BEM paralelo gratuito e de código aberto para problemas de elasticidade descritos em Gernot Beer, Ian Smith, Christian Duenser, The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists , Springer, ISBN  978-3-211-71574-1 ( 2008)
• Boundary Element Template Library (BETL) Uma biblioteca de software C ++ de propósito geral para a discretização de operadores de integrais de fronteira
• Nemoh Um software BEM de hidrodinâmica de código aberto dedicado ao cálculo de cargas de onda de primeira ordem em estruturas offshore (massa adicionada, amortecimento de radiação, forças de difração)
• Bempp , um software BEM de código aberto para problemas 3D Laplace, Helmholtz e Maxwell
• MNPBEM , uma caixa de ferramentas do Matlab de código aberto para resolver as equações de Maxwell para nanoestruturas de formato arbitrário
• Contact Mechanics and Tribology Simulator , Free, software baseado em BEM