Teorema de Bohr-Van Leeuwen - Bohr–Van Leeuwen theorem

O teorema de Bohr-Van Leeuwen afirma que quando a mecânica estatística e a mecânica clássica são aplicadas de forma consistente, a média térmica da magnetização é sempre zero. Isso torna o magnetismo em sólidos apenas um efeito da mecânica quântica e significa que a física clássica não pode explicar o paramagnetismo , o diamagnetismo e o ferromagnetismo . A incapacidade da física clássica de explicar a triboeletricidade também decorre do teorema de Bohr-Van Leeuwen.

História

O que hoje é conhecido como teorema de Bohr – Van Leeuwen foi descoberto por Niels Bohr em 1911 em sua tese de doutorado e mais tarde foi redescoberto por Hendrika Johanna van Leeuwen em sua tese de doutorado em 1919. Em 1932, Van Vleck formalizou e expandiu o teorema inicial de Bohr em um livro que escreveu sobre suscetibilidades elétricas e magnéticas.

O significado desta descoberta é que a física clássica não permite coisas como paramagnetismo , diamagnetismo e ferromagnetismo e, portanto, a física quântica é necessária para explicar os eventos magnéticos. Este resultado, "talvez a publicação mais deflacionária de todos os tempos", pode ter contribuído para o desenvolvimento de Bohr de uma teoria quase clássica do átomo de hidrogênio em 1913.

Prova

Mecânica estatística
Termodinâmica Teoria cinética
Estatísticas de partículas Teorema da estatística de spin Partículas idênticas Maxwell – Boltzmann Bose-Einstein Fermi – Dirac Paraestatística Estatísticas anyonic Estatísticas de trança
Conjuntos termodinâmicos NVE microcanônico NVT Canonical µVT Grand canônico NPH isoentálpico-isobárico NPT Isotérmico-isobárico
Modelos Debye Einstein Eu canto Potts
Potenciais Energia interna Entalpia Energia livre de Helmholtz Gibbs energia livre Grande potencial / energia livre de Landau
Cientistas Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Bose
v t e

Uma prova intuitiva

O teorema de Bohr-Van Leeuwen se aplica a um sistema isolado que não pode girar. Se o sistema isolado pode girar em resposta a um campo magnético aplicado externamente, então este teorema não se aplica. Se, além disso, houver apenas um estado de equilíbrio térmico em uma determinada temperatura e campo, e o sistema tiver tempo para retornar ao equilíbrio após a aplicação de um campo, então não haverá magnetização.

A probabilidade de que o sistema estará em um determinado estado de movimento é prevista pela estatística de Maxwell-Boltzmann como sendo proporcional a , onde é a energia do sistema, é a constante de Boltzmann e é a temperatura absoluta . Essa energia é igual à soma da energia cinética ( para uma partícula com massa e velocidade ) e a energia potencial . ${\ displaystyle \ exp (-U / k _ {\ text {B}} T)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle mv ^ {2} / 2}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

O campo magnético não contribui para a energia potencial. A força de Lorentz em uma partícula com carga e velocidade é${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right),}$

onde está o campo elétrico e é a densidade do fluxo magnético . A taxa de trabalho realizado é e não depende de . Portanto, a energia não depende do campo magnético, então a distribuição dos movimentos não depende do campo magnético. ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = q \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

Em campo zero, não haverá movimento líquido de partículas carregadas porque o sistema não é capaz de girar. Haverá, portanto, um momento magnético médio de zero. Como a distribuição dos movimentos não depende do campo magnético, o momento de equilíbrio térmico permanece zero em qualquer campo magnético.

Uma prova mais formal

Para diminuir a complexidade da prova, será utilizado um sistema com elétrons. ${\ displaystyle N}$

Isso é apropriado, uma vez que a maior parte do magnetismo em um sólido é carregada por elétrons, e a prova é facilmente generalizada para mais de um tipo de partícula carregada.

Cada elétron tem carga e massa negativas . ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$

Se sua posição e velocidade são , ele produz uma corrente e um momento magnético${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} = e \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = {\ frac {1} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {j} = {\ frac {e} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}.}$

A equação acima mostra que o momento magnético é uma função linear das coordenadas de velocidade, então o momento magnético total em uma determinada direção deve ser uma função linear da forma

${\ displaystyle \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i},}$

onde o ponto representa uma derivada de tempo e são coeficientes de vetor dependendo das coordenadas de posição . ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$${\ displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {i}, i = 1 \ ldots N \}}$

A estatística de Maxwell-Boltzmann dá a probabilidade de que a n-ésima partícula tenha momento e coordene como${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {n}}$

${\ displaystyle dP \ propto \ exp {\ left [- {\ frac {{\ mathcal {H}} (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N})} {k _ {\ text {B}} T}} \ right]} d \ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {p} _ {N} d \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {r} _ {N},}$

onde está o hamiltoniano , a energia total do sistema. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

A média térmica de qualquer função dessas coordenadas generalizadas é então${\ displaystyle f (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N} )}$

${\ displaystyle \ langle f \ rangle = {\ frac {\ int fdP} {\ int dP}}.}$

Na presença de um campo magnético,

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2m _ {\ text {e}}}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (\ mathbf {p} _ { i} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i} \ right) ^ {2} + e \ phi (\ mathbf {q}),}$

onde está o potencial do vetor magnético e é o potencial escalar elétrico . Para cada partícula, os componentes do momento e da posição são relacionados pelas equações da mecânica hamiltoniana :${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i}}$${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} & = - \ partial {\ mathcal {H}} / \ partial \ mathbf {r} _ {i} \\ {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} & = \ parcial {\ mathcal {H}} / \ parcial \ mathbf {p} _ {i}. \ end {alinhado}}}$

Portanto,

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} \ propto \ mathbf {p} _ {i} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i}, }$

então o momento é uma função linear dos momentos . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

O momento termicamente medido,

${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = {\ frac {\ int \ mu dP} {\ int dP}},}$

é a soma dos termos proporcionais aos integrais da forma

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (\ mathbf {p} _ {i} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i}) dP,}$

onde representa uma das coordenadas do momento. ${\ displaystyle p}$

O integrando é uma função ímpar de , então ele desaparece. ${\ displaystyle p}$

Portanto ,. ${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = 0}$

Formulários

O teorema de Bohr-Van Leeuwen é útil em várias aplicações, incluindo a física de plasma : "Todas essas referências baseiam sua discussão do teorema de Bohr-Van Leeuwen no modelo físico de Niels Bohr, no qual paredes perfeitamente refletivas são necessárias para fornecer as correntes que cancelam a rede contribuição do interior de um elemento de plasma e resultar em diamagnetismo líquido zero para o elemento de plasma. "

O diamagnetismo de natureza puramente clássica ocorre nos plasmas, mas é uma consequência do desequilíbrio térmico, como um gradiente na densidade do plasma. Eletromecânica e engenharia elétrica também vêem benefícios práticos do teorema de Bohr-Van Leeuwen.

Veja também

• Lista de artigos sobre plasma (física)

Referências

links externos

• O início do século 20: a relatividade e a mecânica quântica finalmente trazem a compreensão