Lei Biot-Savart - Biot–Savart law

Em física , especificamente electromagnetismo , a lei de Biot-Savart ( / b i s ə v ɑr / ou / b j s ə v ɑr / ) é uma equação que descreve o campo magnético gerado por uma constante de corrente eléctrica . Relaciona o campo magnético à magnitude, direção, comprimento e proximidade da corrente elétrica. A lei de Biot-Savart é fundamental para a magnetostática , desempenhando um papel semelhante ao da lei de Coulomb na eletrostática . Quando a magnetostática não se aplica, a lei de Biot-Savart deve ser substituída pelas equações de Jefimenko . A lei é válida na aproximação magnetostáticos , e consistente com os dois Lei de Ampère e lei de Gauss para o magnetismo . Tem o nome de Jean-Baptiste Biot e Félix Savart , que descobriram esta relação em 1820.

Equação

Correntes elétricas (ao longo de uma curva / fio fechado)

São mostrados os rumos , e o valor de

A lei de Biot-Savart é usada para calcular o campo magnético resultante B na posição r no espaço 3D gerado por uma corrente flexível I (por exemplo, devido a um fio). Uma corrente constante (ou estacionária) é um fluxo contínuo de cargas que não muda com o tempo e a carga não se acumula nem se esgota em nenhum ponto. A lei é um exemplo físico de uma integral de linha , sendo avaliada ao longo do caminho C no qual as correntes elétricas fluem (por exemplo, o fio). A equação em unidades SI é

onde é um vetor ao longo do caminho cuja magnitude é o comprimento do elemento diferencial do fio na direção da corrente convencional . é um ponto no caminho . é o vetor de deslocamento completo do elemento de arame ( ) no ponto até o ponto em que o campo está sendo calculado ( ) e μ 0 é a constante magnética . Alternativamente:

onde é o vetor unitário de . Os símbolos em negrito denotam as quantidades do vetor .

A integral geralmente gira em torno de uma curva fechada , uma vez que as correntes elétricas estacionárias só podem fluir em caminhos fechados quando são limitadas. No entanto, a lei também se aplica a fios infinitamente longos (este conceito foi usado na definição da unidade SI de corrente elétrica - o Ampère - até 20 de maio de 2019).

Para aplicar a equação, o ponto no espaço onde o campo magnético deve ser calculado é escolhido arbitrariamente ( ). Mantendo esse ponto fixo, a linha integral ao longo do caminho da corrente elétrica é calculada para encontrar o campo magnético total naquele ponto. A aplicação desta lei depende implicitamente do princípio de superposição para campos magnéticos, ou seja, o fato de que o campo magnético é uma soma vetorial do campo criado por cada seção infinitesimal do fio individualmente.

Também existe uma versão 2D da equação de Biot-Savart, usada quando as fontes são invariantes em uma direção. Em geral, a corrente não precisa fluir apenas em um plano normal à direção invariante e é dada por ( densidade de corrente ). A fórmula resultante é:

Densidade de corrente elétrica (em todo o volume do condutor)

As formulações fornecidas acima funcionam bem quando a corrente pode ser aproximada como passando por um fio infinitamente estreito. Se o condutor tem alguma espessura, a formulação adequada da lei de Biot-Savart (novamente em unidades SI ) é:

onde é o vetor de dV ao ponto de observação , é o elemento de volume e é o vetor de densidade de corrente naquele volume (em SI em unidades de A / m 2 ).

Em termos de vetor unitário

Corrente uniforme constante

No caso especial de uma corrente constante uniforme I , o campo magnético é

ou seja, a corrente pode ser retirada da integral.

Carga pontual a velocidade constante

No caso de uma partícula carregada de ponto q movendo-se a uma velocidade constante v , as equações de Maxwell fornecem a seguinte expressão para o campo elétrico e o campo magnético:

onde é o vetor unitário apontando da posição atual (não retardada) da partícula para o ponto no qual o campo está sendo medido, e θ é o ângulo entre e .

Quando v 2c 2 , o campo elétrico e o campo magnético podem ser aproximados como

Essas equações foram derivadas pela primeira vez por Oliver Heaviside em 1888. Alguns autores chamam a equação acima de "lei de Biot-Savart para uma carga pontual" devido à sua semelhança com a lei de Biot-Savart padrão. No entanto, essa linguagem é enganosa, pois a lei de Biot-Savart se aplica apenas a correntes constantes e uma carga pontual em movimento no espaço não constitui uma corrente constante.

Aplicações de respostas magnéticas

A lei de Biot-Savart pode ser usada no cálculo de respostas magnéticas mesmo no nível atômico ou molecular, por exemplo, blindagens químicas ou suscetibilidades magnéticas , desde que a densidade de corrente possa ser obtida a partir de um cálculo ou teoria da mecânica quântica.

Aplicações aerodinâmicas

A figura mostra a velocidade ( ) induzida em um ponto P por um elemento de filamento de vórtice ( ) de força .

A lei de Biot-Savart também é usada na teoria aerodinâmica para calcular a velocidade induzida por linhas de vórtice .

Na aplicação aerodinâmica , os papéis de vorticidade e corrente são invertidos em comparação com a aplicação magnética.

No artigo de Maxwell de 1861 'On Physical Lines of Force', a força do campo magnético H foi diretamente equiparada à vorticidade pura (spin), enquanto B era uma vorticidade ponderada que foi ponderada pela densidade do mar de vórtice. Maxwell considerou a permeabilidade magnética μ como uma medida da densidade do mar de vórtice. Daí a relação,

Corrente de indução magnética

era essencialmente uma analogia rotacional para a relação da corrente elétrica linear,

Corrente de convecção elétrica
onde ρ é a densidade de carga elétrica.

B era visto como uma espécie de corrente magnética de vórtices alinhados em seus planos axiais, sendo H a velocidade circunferencial dos vórtices.

A equação da corrente elétrica pode ser vista como uma corrente convectiva de carga elétrica que envolve movimento linear. Por analogia, a equação magnética é uma corrente indutiva envolvendo spin. Não há movimento linear na corrente indutiva ao longo da direção do vetor B. A corrente magnética indutiva representa linhas de força. Em particular, ele representa as linhas da força da lei do inverso do quadrado.

Na aerodinâmica, as correntes de ar induzidas formam anéis solenóides em torno de um eixo de vórtice. Pode-se fazer uma analogia de que o eixo do vórtice está desempenhando o papel que a corrente elétrica desempenha no magnetismo. Isso coloca as correntes de ar da aerodinâmica (campo de velocidade do fluido) no papel equivalente do vetor de indução magnética B no eletromagnetismo.

No eletromagnetismo, as linhas B formam anéis solenoidais em torno da fonte de corrente elétrica, enquanto na aerodinâmica, as correntes de ar (velocidade) formam anéis solenoidais em torno do eixo do vórtice da fonte.

Portanto, no eletromagnetismo, o vórtice desempenha o papel de "efeito", enquanto na aerodinâmica, o vórtice desempenha o papel de "causa". Ainda assim, quando olhamos para as linhas B isoladamente, vemos exatamente o cenário aerodinâmico na medida em que B é o eixo do vórtice e H é a velocidade circunferencial, como no artigo de Maxwell de 1861.

Em duas dimensões , para uma linha de vórtice de comprimento infinito, a velocidade induzida em um ponto é dada por

onde Γ é a força do vórtice er é a distância perpendicular entre o ponto e a linha do vórtice. Isso é semelhante ao campo magnético produzido em um plano por um fio fino reto infinitamente longo normal ao plano.

Este é um caso limite da fórmula para segmentos de vórtice de comprimento finito (semelhante a um fio finito):

onde A e B são os ângulos (com sinal) entre a linha e as duas extremidades do segmento.

A lei de Biot-Savart, a lei circuital de Ampère e a lei de Gauss para o magnetismo

Em uma situação magnetostática , o campo magnético B calculado a partir da lei de Biot-Savart sempre satisfará a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de Ampère :

Em uma situação não- magnetostática, a lei de Biot-Savart deixa de ser verdadeira (é substituída pelas equações de Jefimenko ), enquanto a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de Maxwell-Ampère ainda são verdadeiras.

Bases teóricas

Inicialmente, a lei de Biot-Savart foi descoberta experimentalmente, depois essa lei foi derivada teoricamente de diferentes maneiras. Em The Feynman Lectures on Physics , em primeiro lugar, a similaridade de expressões para o potencial elétrico fora da distribuição estática de cargas e o potencial do vetor magnético fora do sistema de correntes distribuídas continuamente é enfatizada, e então o campo magnético é calculado através da onda de o potencial do vetor. Outra abordagem envolve uma solução geral da equação de onda não homogênea para o potencial vetorial no caso de correntes constantes. O campo magnético também pode ser calculado como uma consequência das transformações de Lorentz para a força eletromagnética atuando de uma partícula carregada em outra partícula. Duas outras maneiras de derivar a lei de Biot-Savart incluem: 1) Transformação de Lorentz dos componentes do tensor eletromagnético de um referencial móvel, onde há apenas um campo elétrico de alguma distribuição de cargas, em um referencial estacionário, no qual essas cargas se movem. 2) o uso do método dos potenciais retardados .

Veja também

Pessoas

Eletromagnetismo

Notas

  1. ^ "Lei de Biot-Savart" . Dicionário integral do Random House Webster .
  2. ^ Jackson, John David (1999). Eletrodinâmica Clássica (3ª ed.). Nova York: Wiley. Capítulo 5. ISBN 0-471-30932-X.
  3. ^ Electromagnetism (2ª edição), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN  978-0-471-92712-9
  4. ^ O princípio da superposição é válido para os campos elétrico e magnético porque são a solução para um conjunto de equações diferenciais lineares , nomeadamente as equações de Maxwell , em que a corrente é um dos "termos fonte".
  5. ^ a b Griffiths, David J. (1998). Introdução à Eletrodinâmica (3ª ed.) . Prentice Hall. pp.  222-224, 435-440 . ISBN 0-13-805326-X.
  6. ^ Knight, Randall (2017). Physics for Scientists and Engineers (4ª ed.). Pearson Higher Ed. p. 800.
  7. ^ "Cópia arquivada" . Arquivado do original em 19/06/2009 . Página visitada em 30-09-2009 .CS1 maint: cópia arquivada como título ( link )
  8. ^ Veja a nota de rodapé de advertência em Griffiths p. 219 ou a discussão em Jackson p. 175–176.
  9. ^ Maxwell, JC "On Physical Lines of Force" (PDF) . Wikimedia commons . Página visitada em 25 de dezembro de 2011 .
  10. ^ a b c d e f Veja Jackson, página 178–79 ou Griffiths p. 222–24. A apresentação em Griffiths é particularmente completa, com todos os detalhes detalhados.
  11. ^ Feynman R., Leighton R. e Sands M. The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2, cap. 14 (1964). Addison-Wesley, Massachusetts, Palo Alto, Londres.
  12. ^ David Tong. Palestras sobre Eletromagnetismo. Universidade de Cambridge, Parte IB e Parte II Mathematical Tripos (2015). http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em.html .
  13. ^ Daniel Zile e James Overdui. Derivação da Lei de Biot-Savart da Lei de Coulomb e implicações para a gravidade. Reunião APS de abril de 2014, resumo id. D1.033. https://doi.org/10.1103/BAPS.2014.APRIL.D1.33 .
  14. ^ Fedosin, Sergey G. (2021). "Teorema do campo magnético de corpos carregados em rotação". Progress in Research Electromagnetics M . 103 : 115–127. arXiv : 2107.07418 . Bibcode : 2021arXiv210707418F . doi : 10.2528 / PIERM21041203 .

Referências

Leitura adicional

  • Electricity and Modern Physics (2ª edição), GAG Bennet, Edward Arnold (UK), 1974, ISBN  0-7131-2459-8
  • Essential Principles of Physics, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2ª edição, 1978, John Murray, ISBN  0-7195-3382-1
  • The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
  • Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6ª Edição), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN  0-7167-8964-7
  • Encyclopaedia of Physics (2ª edição), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
  • McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2ª edição), CB Parker, 1994, ISBN  0-07-051400-3

links externos