Benoit Mandelbrot - Benoit Mandelbrot
Benoit Mandelbrot | |
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Nascer |
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20 de novembro de 1924
Faleceu | 14 de outubro de 2010
Cambridge, Massachusetts , Estados Unidos
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(85 anos)
Nacionalidade |
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Alma mater |
École Polytechnique Instituto de Tecnologia da Califórnia, Universidade de Paris |
Conhecido por | |
Cônjuge (s) | Aliette Kagan (m. 1955-2010; sua morte) |
Prêmios |
2003 Japan Prize 1993 Wolf Prize 1989 Prêmio Harvey 1986 Medalha Franklin 1985 Medalha Barnard |
Carreira científica | |
Campos | |
Instituições | |
Orientador de doutorado | Paul Lévy |
Alunos de doutorado | |
Influências | Johannes Kepler , Paul Lévy , Szolem Mandelbrojt |
Influenciado | Nassim Nicholas Taleb |
Benoit B. Mandelbrot (20 de novembro de 1924 - 14 de outubro de 2010) foi um matemático e polímata franco-americano nascido na Polônia com amplos interesses nas ciências práticas, especialmente no que diz respeito ao que rotulou como "a arte da aspereza " dos fenômenos físicos e "o elemento descontrolado na vida ". Ele se autodenomina um "fractalista" e é reconhecido por sua contribuição ao campo da geometria fractal , que incluiu a cunhagem da palavra "fractal", bem como o desenvolvimento de uma teoria de "rugosidade e auto-similaridade " na natureza.
Em 1936, quando ele era criança, a família de Mandelbrot emigrou para a França de Varsóvia , Polônia. Após o fim da Segunda Guerra Mundial , Mandelbrot estudou matemática, graduando-se em universidades de Paris e nos Estados Unidos e fazendo mestrado em aeronáutica pelo California Institute of Technology . Ele passou a maior parte de sua carreira nos Estados Unidos e na França, tendo dupla cidadania francesa e americana . Em 1958, ele começou uma carreira de 35 anos na IBM , onde se tornou um IBM Fellow , e periodicamente tirava licença para lecionar na Universidade de Harvard . Em Harvard, após a publicação de seu estudo sobre os mercados de commodities dos EUA em relação aos futuros do algodão, ele ensinou economia e ciências aplicadas.
Por causa de seu acesso aos computadores da IBM, Mandelbrot foi um dos primeiros a usar computação gráfica para criar e exibir imagens geométricas fractais, levando à descoberta do conjunto de Mandelbrot em 1980. Ele mostrou como a complexidade visual pode ser criada a partir de regras simples. Ele disse que as coisas normalmente consideradas "ásperas", uma "bagunça" ou "caóticas", como nuvens ou linhas costeiras, na verdade têm um "grau de ordem". Sua carreira de pesquisa centrada em matemática e geometria incluiu contribuições para campos como física estatística , meteorologia , hidrologia , geomorfologia , anatomia , taxonomia , neurologia , linguística , tecnologia da informação , computação gráfica , economia , geologia , medicina , cosmologia física , engenharia , teoria do caos , econofísica , metalurgia e ciências sociais .
No final de sua carreira, ele foi Professor Sterling de Ciências Matemáticas na Universidade de Yale , onde foi o professor mais antigo da história de Yale a receber o cargo. Mandelbrot também ocupou cargos no Laboratório Nacional do Noroeste do Pacífico , Université Lille Nord de France , Instituto de Estudos Avançados e Centre National de la Recherche Scientifique . Durante sua carreira, ele recebeu mais de 15 doutorados honorários e atuou em muitas revistas científicas, além de ganhar vários prêmios. Sua autobiografia, The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick , foi publicada postumamente em 2012.
Primeiros anos
Vídeo externo | |
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Antecedentes familiares e educação inicial , (4:11) Entrevista com Benoit Mandelbrot, Parte 1 de 144, Web of Stories |
Mandelbrot nasceu em uma família judia lituana , em Varsóvia durante a Segunda República Polonesa . Seu pai ganhava a vida negociando roupas; sua mãe era cirurgiã-dentista. Durante os primeiros dois anos escolares, ele foi ensinado em particular por um tio que desprezava o aprendizado mecânico : "Passei a maior parte do tempo jogando xadrez, lendo mapas e aprendendo a abrir os olhos para tudo ao meu redor." Em 1936, quando ele tinha 11 anos, a família emigrou da Polônia para a França. A mudança, a guerra e sua convivência com o irmão de seu pai, o matemático Szolem Mandelbrojt (que se mudara para Paris por volta de 1920), impediram ainda mais uma educação padrão. “O fato de meus pais, como refugiados econômicos e políticos, terem se juntado a Szolem na França salvou nossas vidas”, escreve ele.
Mandelbrot frequentou o Lycée Rollin (hoje Collège-lycée Jacques-Decour ) em Paris até o início da Segunda Guerra Mundial , quando sua família se mudou para Tulle , na França. Ele foi ajudado pelo Rabino David Feuerwerker , o Rabino de Brive-la-Gaillarde , para continuar seus estudos. Grande parte da França foi ocupada pelos nazistas na época, e Mandelbrot se lembra desse período:
Nosso medo constante era que um inimigo suficientemente determinado pudesse nos denunciar a uma autoridade e seríamos enviados para a morte. Isso aconteceu com uma amiga íntima de Paris, Zina Morhange , uma médica de um condado próximo. Simplesmente para eliminar a competição, outro médico a denunciou ... Escapamos desse destino. Quem sabe por quê?
Em 1944, Mandelbrot voltou a Paris, estudou no Lycée du Parc em Lyon , e em 1945 a 1947 frequentou a École Polytechnique , onde estudou com Gaston Julia e Paul Lévy . De 1947 a 1949, ele estudou no California Institute of Technology, onde obteve o título de mestre em aeronáutica. Retornando à França, obteve o título de Doutor em Ciências Matemáticas na Universidade de Paris em 1952.
Carreira de pesquisa
De 1949 a 1958, Mandelbrot foi membro da equipe do Centre National de la Recherche Scientifique . Durante esse tempo, ele passou um ano no Institute for Advanced Study em Princeton, New Jersey , onde foi patrocinado por John von Neumann . Em 1955 casou-se com Aliette Kagan e mudou-se para Genebra, Suíça (para colaborar com Jean Piaget no Centro Internacional de Epistemologia Genética) e posteriormente para a Université Lille Nord de France . Em 1958, o casal mudou-se para os Estados Unidos, onde Mandelbrot se juntou à equipe de pesquisa do IBM Thomas J. Watson Research Center em Yorktown Heights, Nova York . Ele permaneceu na IBM por 35 anos, tornando-se IBM Fellow e, posteriormente, Fellow Emeritus .
De 1951 em diante, Mandelbrot trabalhou em problemas e publicou artigos não apenas em matemática, mas em campos aplicados, como teoria da informação , economia e dinâmica de fluidos .
Aleatoriedade e fractais nos mercados financeiros
Mandelbrot viu os mercados financeiros como um exemplo de "aleatoriedade selvagem", caracterizada pela concentração e dependência de longo alcance. Ele desenvolveu várias abordagens originais para modelar flutuações financeiras. Em seus primeiros trabalhos, ele descobriu que as mudanças de preços nos mercados financeiros não seguiam uma distribuição gaussiana , mas sim distribuições estáveis de Lévy com variância infinita . Ele descobriu, por exemplo, que os preços do algodão seguiram uma distribuição estável de Lévy com o parâmetro α igual a 1,7 em vez de 2 como em uma distribuição gaussiana. Distribuições "estáveis" têm a propriedade de que a soma de muitas instâncias de uma variável aleatória segue a mesma distribuição, mas com um parâmetro de escala maior . O último trabalho do início dos anos 60 foi feito com dados diários de preços do algodão de 1900, muito antes de ele introduzir a palavra 'fractal'. Nos anos posteriores, após o amadurecimento do conceito de fractais, o estudo dos mercados financeiros no contexto dos fractais tornou-se possível somente após a disponibilidade de dados de alta frequência nas finanças. No final dos anos 80, Mandelbrot usou dados intradiários de carrapatos fornecidos pela Olsen & Associates em Zurique para aplicar a teoria fractal à microestrutura de mercado. Essa cooperação levou à publicação dos primeiros artigos abrangentes sobre lei de escala em finanças, que demonstra propriedades semelhantes em diferentes escalas de tempo, confirmando a visão de Mandelbrot sobre a natureza fractal da microestrutura do mercado. A própria pesquisa de Mandelbrot nesta área é apresentada em seus livros 'Fractals and Scaling in Finance' e 'The (Mis) behavior of Markets'.
Desenvolvendo a "geometria fractal" e o conjunto de Mandelbrot
Como professor visitante na Universidade de Harvard , Mandelbrot começou a estudar fractais chamados conjuntos de Julia, que eram invariáveis sob certas transformações do plano complexo . Com base no trabalho anterior de Gaston Julia e Pierre Fatou , Mandelbrot usou um computador para traçar imagens dos sets de Julia. Enquanto investigava a topologia desses conjuntos de Julia, ele estudou o conjunto de Mandelbrot que foi introduzido por ele em 1979. Em 1982, Mandelbrot expandiu e atualizou suas idéias em The Fractal Geometry of Nature . Este trabalho influente trouxe fractais para a corrente principal da matemática profissional e popular, bem como silenciando os críticos, que rejeitaram os fractais como " artefatos de programa ".
Em 1975, Mandelbrot cunhou o termo fractal para descrever essas estruturas e publicou suas idéias pela primeira vez, e mais tarde traduziu, Fractais: forma, acaso e dimensão . De acordo com o cientista da computação e físico Stephen Wolfram , o livro foi um "avanço" para Mandelbrot, que até então costumava "aplicar matemática bastante direta ... a áreas que mal tinham visto a luz da matemática séria antes". Wolfram acrescenta que, como resultado dessa nova pesquisa, ele deixou de ser um "cientista errante", e mais tarde o chamou de "o pai dos fractais":
Mandelbrot acabou fazendo uma grande obra científica e identificando uma ideia muito mais forte e fundamental - simplificada, que existem algumas formas geométricas, que ele chamou de "fractais", que são igualmente "ásperas" em todas as escalas. Não importa o quão perto você olhe, eles nunca ficam tão simples, por mais que a seção de uma costa rochosa que você pode ver aos seus pés pareça tão recortada quanto o trecho que você pode ver do espaço.
Wolfram descreve resumidamente os fractais como uma forma de repetição geométrica, "em que cópias cada vez menores de um padrão são sucessivamente aninhadas umas dentro das outras, de modo que as mesmas formas intrincadas aparecem, não importa o quanto você amplie o todo. Folhas de samambaia e Românico os brócolis são dois exemplos da natureza. " Ele aponta uma conclusão inesperada:
Alguém poderia pensar que tal forma simples e fundamental de regularidade teria sido estudada por centenas, senão milhares de anos. Mas não foi. Na verdade, ele ganhou destaque apenas nos últimos 30 anos ou mais - quase inteiramente por meio dos esforços de um homem, o matemático Benoit Mandelbrot.
Mandelbrot usou o termo "fractal", pois derivou da palavra latina "fractus", definida como vidro quebrado ou estilhaçado. Usando os recém-desenvolvidos computadores IBM à sua disposição, Mandelbrot foi capaz de criar imagens fractais usando código de computador gráfico, imagens que um entrevistador descreveu como "a exuberância delirante da arte psicodélica dos anos 1960 com formas assombrosamente reminiscentes da natureza e do corpo humano" . Ele também se via como um "aspirante a Kepler", em homenagem ao cientista do século 17, Johannes Kepler , que calculou e descreveu as órbitas dos planetas.
Mandelbrot, no entanto, nunca sentiu que estava inventando uma nova ideia. Ele descreve seus sentimentos em um documentário com o escritor de ciências Arthur C. Clarke:
Explorando esse conjunto, certamente nunca tive a sensação de invenção. Nunca tive a sensação de que minha imaginação era rica o suficiente para inventar todas essas coisas extraordinárias ao descobri-las. Eles estavam lá, embora ninguém os tivesse visto antes. É maravilhoso, uma fórmula muito simples explica todas essas coisas muito complicadas. Portanto, o objetivo da ciência é começar com uma bagunça e explicá-la com uma fórmula simples, uma espécie de sonho da ciência.
De acordo com Clarke, "o conjunto de Mandelbrot é de fato uma das descobertas mais surpreendentes em toda a história da matemática. Quem poderia imaginar que uma equação tão incrivelmente simples poderia ter gerado imagens de complexidade literalmente infinita ?" Clarke também observa uma "estranha coincidência
o nome Mandelbrot e a palavra " mandala " - para um símbolo religioso - que tenho certeza de que é pura coincidência, mas na verdade o conjunto de Mandelbrot parece conter um enorme número de mandalas.
Mandelbrot deixou a IBM em 1987, após 35 anos e 12 dias, quando a IBM decidiu encerrar a pesquisa pura em sua divisão. Ele ingressou no Departamento de Matemática em Yale e obteve seu primeiro cargo efetivo em 1999, aos 75 anos. Na época de sua aposentadoria em 2005, ele era Professor Sterling de Ciências Matemáticas.
Fractais e a "teoria da rugosidade"
Mandelbrot criou a primeira "teoria da aspereza" e viu a "aspereza" nas formas de montanhas, litorais e bacias hidrográficas ; as estruturas das plantas, vasos sanguíneos e pulmões ; o agrupamento de galáxias . Sua busca pessoal era criar alguma fórmula matemática para medir a "aspereza" geral de tais objetos na natureza. Ele começou perguntando a si mesmo vários tipos de perguntas relacionadas à natureza:
A geometria pode entregar o que a raiz grega de seu nome [geo-] parecia prometer - medição verdadeira, não apenas de campos cultivados ao longo do rio Nilo, mas também da Terra indomada?
Em seu artigo intitulado How Long Is the Coast of Britain? Auto-similaridade estatística e dimensão fracionária publicada na Science em 1967 Mandelbrot discute curvas auto-semelhantes com dimensão de Hausdorff que são exemplos de fractais , embora Mandelbrot não use esse termo no artigo, já que ele não o cunhou até 1975. O artigo é uma das primeiras publicações de Mandelbrot sobre o tema dos fractais.
Mandelbrot enfatizou o uso de fractais como modelos realistas e úteis para descrever muitos fenômenos "ásperos" no mundo real. Ele concluiu que "a rugosidade real é freqüentemente fractal e pode ser medida." Embora Mandelbrot tenha cunhado o termo "fractal", alguns dos objetos matemáticos que ele apresentou em The Fractal Geometry of Nature foram previamente descritos por outros matemáticos. Antes de Mandelbrot, no entanto, eles eram considerados curiosidades isoladas com propriedades não naturais e não intuitivas. Mandelbrot reuniu esses objetos pela primeira vez e os transformou em ferramentas essenciais para o longo esforço de estender o escopo da ciência para explicar objetos não suaves e "ásperos" no mundo real. Seus métodos de pesquisa eram antigos e novos:
A forma de geometria que cada vez mais tenho preferido é a mais antiga, mais concreta e mais abrangente, especificamente potencializada pelo olho e auxiliada pela mão e, hoje, também pelo computador ... trazendo um elemento de unidade aos mundos do saber e sentimento ... e, involuntariamente, como um bônus, com o propósito de criar beleza.
Fractais também são encontrados em atividades humanas, como música, pintura, arquitetura e preços do mercado de ações. Mandelbrot acreditava que os fractais, longe de serem antinaturais, eram de muitas maneiras mais intuitivos e naturais do que os objetos artificialmente lisos da geometria euclidiana tradicional :
Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, litorais não são círculos e a casca não é lisa, nem o raio viaja em linha reta.
—Mandelbrot, em sua introdução a The Fractal Geometry of Nature
Mandelbrot foi chamado de artista, visionário e independente. Seu estilo informal e apaixonado de escrever e sua ênfase na intuição visual e geométrica (apoiada pela inclusão de numerosas ilustrações) tornaram The Fractal Geometry of Nature acessível a não especialistas. O livro despertou um amplo interesse popular pelos fractais e contribuiu para a teoria do caos e outros campos da ciência e da matemática.
Mandelbrot também colocou suas idéias em prática na cosmologia. Ele ofereceu em 1974 uma nova explicação do paradoxo de Olbers (o enigma do "céu noturno escuro"), demonstrando as consequências da teoria fractal como uma resolução suficiente, mas não necessária , do paradoxo. Ele postulou que, se as estrelas do universo estivessem distribuídas de forma fractal (por exemplo, como a poeira de Cantor ), não seria necessário confiar na teoria do Big Bang para explicar o paradoxo. Seu modelo não descartaria um Big Bang, mas permitiria um céu escuro mesmo se o Big Bang não tivesse ocorrido.
Premios e honras
Os prêmios de Mandelbrot incluem o Wolf Prize for Physics em 1993, o Lewis Fry Richardson Prize da European Geophysical Society em 2000, o Japan Prize em 2003 e o Einstein Lectureship da American Mathematical Society em 2006.
O pequeno asteróide 27500 Mandelbrot foi nomeado em sua homenagem. Em novembro de 1990, ele foi nomeado Cavaleiro da Legião de Honra da França . Em dezembro de 2005, Mandelbrot foi nomeado para o cargo de Battelle Fellow no Pacific Northwest National Laboratory . Mandelbrot foi promovido a Oficial da Legião de Honra em janeiro de 2006. Um título honorário da Universidade Johns Hopkins foi concedido a Mandelbrot nos exercícios de formatura de maio de 2010.
Uma lista parcial dos prêmios recebidos por Mandelbrot:
- Prêmio de Melhor Livro de Negócios do Ano de 2004
- AMS Einstein Lectureship
- Medalha Barnard
- Serviço Caltech
- Prêmio Casimir Funk de Ciências Naturais
- Medalha Charles Proteus Steinmetz
- Spelling Bee (1940)
- Fellow, American Geophysical Union
- Membro da American Statistical Association
- Membro da American Physical Society (1987)
- Medalha Franklin
- Prêmio Harvey (1989)
- Prêmio Honda
- Humboldt Preis
- IBM Fellowship
- Prêmio Japão (2003)
- Prêmio John Scott
- Légion d'honneur ( Legião de Honra )
- Medalha Lewis Fry Richardson
- Medaglia della Presidenza della Repubblica Italiana
- Médaille de Vermeil de la Ville de Paris
- Prêmio Nevada
- Membro da Academia Norueguesa de Ciências e Letras .
- Membro da American Philosophical Society (2004)
- Ciência para a Arte
- Sven Berggren-Priset
- Prêmio Władysław Orlicz
- Prêmio Wolf Foundation de Física (1993)
Morte e legado
Mandelbrot morreu de câncer no pâncreas aos 85 anos em um hospício em Cambridge, Massachusetts, em 14 de outubro de 2010. Reagindo à notícia de sua morte, o matemático Heinz-Otto Peitgen disse: "[I] f falamos sobre o impacto na matemática e nas aplicações nas ciências, é uma das figuras mais importantes dos últimos cinquenta anos. "
Chris Anderson , curador da conferência TED , descreveu Mandelbrot como "um ícone que mudou a forma como vemos o mundo". Nicolas Sarkozy , presidente da França na época da morte de Mandelbrot, disse que Mandelbrot tinha "uma mente poderosa e original que nunca se esquivou de inovar e quebrar noções preconcebidas [... h] seu trabalho, desenvolvido inteiramente fora da pesquisa convencional, levou ao moderno teoria da informação. " O obituário de Mandelbrot no The Economist aponta sua fama como "celebridade além da academia" e o elogia como o "pai da geometria fractal".
O escritor e ensaísta best-seller Nassim Nicholas Taleb observou que o livro de Mandelbrot, The (Mis) Behavior of Markets, é, em sua opinião, "o livro financeiro mais profundo e realista já publicado".
Bibliografia
em inglês
- Fractais: Forma, Acaso e Dimensão, 1977, 2020
- The Fractal Geometry of Nature , 1982
- Fractais e dimensionamento em finanças: descontinuidade, concentração, risco. Selecta Volume E, 1997 por Benoit B. Mandelbrot e RE Gomory
- Fractales, hasard et finance, 1959-1997, 1 de novembro de 1998
- Multifractals and 1 / ƒ Noise: Wild Self-Affinity in Physics (1963–1976) (Selecta; VN) 18 de janeiro de 1999 por JM Berger e Benoit B. Mandelbrot
- Autoafinidade Gaussiana e Fractais: Globalidade, A Terra, Ruído 1 / f e R / S (Trabalhos Selecionados de Benoit B. Mandelbrot) 14 de dezembro de 2001 por Benoit Mandelbrot e FJ Damerau
- Fractals and Chaos: The Mandelbrot Set and Beyond, 9 de janeiro de 2004
- The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence, 2006 por Benoit Mandelbrot e Richard L. Hudson
- The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick, 2014
Em francês
- La forme d'une vie. Mémoires (1924–2010) por Benoît Mandelbrot (Autor), Johan-Frédérik Hel Guedj (tradutor)
Referências na cultura popular
- No livro de 1990 The Ghost from the Grand Banks, de Arthur C. Clarke , os clientes usam o conjunto para testar uma teoria de como levantar o Titanic .
- Em 1992, o autor Piers Anthony escreveu o Modo Fractal, onde as idéias de múltiplos universos sendo ligados por meio de fractais é o ponto principal da construção do mundo na história.
- Mandelbrot e geometria fractal são mencionados no filme The Bank , de 2001 , e servem de modelo para o protagonista criar seu programa BTSE
- Em 2004, o cantor e compositor americano Jonathan Coulton escreveu "Mandelbrot Set". Anteriormente, continha as linhas "Mandelbrot está no céu / pelo menos ele estará quando morrer / agora ele ainda está vivo e ensinando matemática em Yale". Apresentações ao vivo após a morte de Mandelbrot em 2010 apresentam apenas a primeira linha e um breve rock instrumental.
- Em 2007, a autora Laura Ruby publicou "The Chaos King", que inclui um personagem chamado Mandelbrot e uma discussão sobre a teoria do caos.
- Em 2017, a webcomic de Zach Weinersmith , Saturday Morning Breakfast Cereal , retratou Mandelbrot.
- Em 2017, Liz Ziemska publicou uma novela, Mandelbrot The Magnificent , um relato fictício de como Mandelbrot salvou sua família durante a Segunda Guerra Mundial.
Tributo
Em 20 de novembro de 2020, o Google celebrou Mandelbrot com um Google Doodle .
Veja também
- Ruído 1 / f - Tipo de sinal cuja amplitude é inversamente proporcional à sua frequência
- Dimensão fractal - Proporção que fornece um índice estatístico de variação de complexidade com escala
- Movimento browniano fracionário
- Qual é a extensão da costa da Grã-Bretanha? - Artigo de Benoît Mandelbrot discutindo a natureza dos fractais (sem usar o termo)
- Expoente de Hurst - Uma medida da dependência de longo alcance de uma série temporal
- Risco de curtose - termo na teoria da decisão
- Lacunaridade - Termo em geometria e análise fractal
- Louis Bachelier - pioneiro francês em economia matemática
- Competição Mandelbrot - Uma competição de matemática do ensino médio
- Sistema multifractal - Sistema com múltiplas dimensões fractais
- Auto-similaridade - O todo de um objeto é matematicamente semelhante a uma parte de si mesmo
- Sete estados de aleatoriedade - generalização da ideia de aleatoriedade
- Risco de distorção - termo de modelagem financeira
- Lei Zipf-Mandelbrot - Distribuição de probabilidade discreta
Notas
Referências
Bibliografia
- Hudson, Richard L .; Mandelbrot, Benoît B. (2004). O (des) comportamento dos mercados: uma visão fractal do risco, da ruína e da recompensa . Nova York: Basic Books. ISBN 978-0-465-04355-2.
Leitura adicional
- Mandelbrot, Benoit B. (2010). The Fractalist, Memoir of a Scientific Maverick. Nova York: Vintage Books , Division of Random House. ISBN 978-0-307-38991-6
- Mandelbrot, Benoît B. (1983). The Fractal Geometry of Nature . São Francisco: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1186-5.
- Heinz-Otto Peitgen , Hartmut Jürgens , Dietmar Saupe e Cornelia Zahlten: Fractals: An Animated Discussion (filme de vídeo de 63 min, entrevistas com Benoît Mandelbrot e Edward Lorenz, animações de computador), WH Freeman and Company, 1990. ISBN 0-7167-2213 -5 (republicado pela Films for the Humanities & Sciences, ISBN 978-0-7365-0520-8 )
- Mandelbrot, Benoit B. (1997) Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration, Risk , Springer.
- Mandelbrot, Benoît (fevereiro de 1999). "Uma caminhada multifractal pela Wall Street". Scientific American . 280 (2): 70. bibcode : 1999SciAm.280b..70M . doi : 10.1038 / scientificamerican0299-70 .
- Mandelbrot, Benoit B., Gaussian Self-Affinity and Fractals , Springer: 2002.
- Mandelbrot, Benoît; Taleb, Nassim (23 de março de 2006). “Foco nas exceções que comprovam a regra” . Financial Times . Arquivado do original em 23 de outubro de 2010 . Página visitada em 17 de outubro de 2010 .
- "Hunting the Hidden Dimension: misteriosamente lindos fractais estão sacudindo o mundo da matemática e aprofundando nossa compreensão da natureza" , NOVA , WGBH Educational Foundation, Boston for PBS, exibido pela primeira vez em 28 de outubro de 2008.
- Frame, Michael; Cohen, Nathan (2015). Benoit Mandelbrot: A Life in Many Dimensions . Singapura: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4366-06-9.
- Mandelbrot, B. (1959) Variables et processus stochastiques de Pareto-Levy, et Ia repartition des revenus. Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 249, 613–615.
- Mandelbrot, B. (1960) A lei de Pareto-Levy e a distribuição de renda. International Economic Review, 1, 79-106.
- Mandelbrot, B. (1961) Funções aleatórias de Paretian estáveis e a variação multiplicativa de renda. Econometrica, 29, 517–543.
- Mandelbrot, B. (1964) Passeios aleatórios, quantidade de dano de fogo e outros fenômenos de risco de Paretian. Operations Research, 12, 582–585.
links externos
- Benoit Mandelbrot no Projeto Genealogia da Matemática
- Página de Mandelbrot em Yale
- "Benoît Mandelbrot: Fractais e a arte da aspereza" (endereço TED).
- Fractais em Ciência, Engenharia e Finanças (palestra).
- Entrevista do FT.com sobre o tema dos mercados financeiros, que inclui sua crítica à hipótese do "mercado eficiente".
- Taylor, Richard (2011). "Obituários: Benoit Mandelbrot" . Física hoje . 64 (6): 63. bibcode : 2011PhT .... 64f..63T . doi : 10.1063 / 1.3603925 .
- Mandelbrot relata sua história de vida ( Web of Stories ).
- Entrevista (1 de janeiro de 1981, Ithaca, NY) realizada pela Coleção Eugene Dynkin de Entrevistas Matemáticas, Biblioteca da Universidade Cornell .
- Animação de vídeo do conjunto Mandelbrot , fator de zoom 10 342 .
- Animação em vídeo de Mandelbulb no YouTube , uma projeção tridimensional do conjunto de Mandelbrot.
- Vídeo sobrevoa um mundo animado de Mandelbulb no YouTube
- Benoit Mandelbrot na IMDb
- Benoit Mandelbrot no TED