Aberração óptica - Optical aberration

v t e Aberração ótica
Desfocar Inclinação aberração esférica Astigmatismo Coma Distorção Curvatura do campo petzval Aberração cromática

Na óptica , a aberração é uma propriedade dos sistemas ópticos, como as lentes , que faz com que a luz se espalhe por alguma região do espaço em vez de ser focada em um ponto. As aberrações fazem com que a imagem formada por uma lente seja borrada ou distorcida, com a natureza da distorção dependendo do tipo de aberração. A aberração pode ser definida como um desvio do desempenho de um sistema óptico das previsões da óptica paraxial . Em um sistema de imagem, ocorre quando a luz de um ponto de um objeto não converge para (ou não diverge de) um único ponto após a transmissão através do sistema. As aberrações ocorrem porque a teoria paraxial simples não é um modelo totalmente preciso do efeito de um sistema óptico na luz, e não devido a falhas nos elementos ópticos.

Um sistema óptico de formação de imagem com aberração produzirá uma imagem que não é nítida. Os fabricantes de instrumentos ópticos precisam corrigir os sistemas ópticos para compensar a aberração.

A aberração pode ser analisada com as técnicas de óptica geométrica . Os artigos sobre reflexão , refração e cáusticos discutem as características gerais dos raios refletidos e refratados .

Visão geral

Reflexo de um espelho esférico. Raios incidentes (vermelho) longe do centro do espelho produzem raios refletidos (verdes) que perdem o ponto focal, F. Isso é devido à aberração esférica .

Com uma lente ideal , a luz de qualquer ponto de um objeto passaria através da lente e se juntaria em um único ponto no plano da imagem (ou, mais geralmente, na superfície da imagem ). As lentes reais não focalizam a luz exatamente em um único ponto, no entanto, mesmo quando são feitas com perfeição. Esses desvios do desempenho idealizado da lente são chamados de aberrações da lente.

As aberrações dividem-se em duas classes: monocromáticas e cromáticas . As aberrações monocromáticas são causadas pela geometria da lente ou do espelho e ocorrem quando a luz é refletida e quando é refratada. Eles aparecem mesmo quando se usa luz monocromática , daí o nome.

As aberrações cromáticas são causadas pela dispersão , a variação do índice de refração de uma lente com o comprimento de onda . Por causa da dispersão, diferentes comprimentos de onda de luz passam a ser focados em diferentes pontos. A aberração cromática não aparece quando a luz monocromática é usada.

Aberrações monocromáticas

As aberrações monocromáticas mais comuns são:

• Desfocar
• Aberração esférica
• Coma
• Astigmatismo
• Curvatura de campo
• Distorção de imagem

Embora a desfocagem seja tecnicamente a ordem mais baixa das aberrações ópticas, geralmente não é considerada uma aberração da lente, uma vez que pode ser corrigida movendo a lente (ou o plano da imagem) para trazer o plano da imagem para o foco óptico da lente .

Além dessas aberrações, o pistão e a inclinação são efeitos que mudam a posição do ponto focal. O pistão e a inclinação não são verdadeiras aberrações ópticas, pois quando uma frente de onda perfeita é alterada pelo pistão e pela inclinação, ela ainda formará uma imagem perfeita, sem aberrações, apenas deslocada para uma posição diferente.

Aberrações cromáticas

Comparação de uma imagem ideal de um anel (1) e aqueles com apenas axial (2) e apenas transversal (3) aberração cromática

A aberração cromática ocorre quando diferentes comprimentos de onda não estão focados no mesmo ponto. Os tipos de aberração cromática são:

• Aberração cromática axial (ou "longitudinal")
• Aberração cromática lateral (ou "transversal")

Teoria da aberração monocromática

Em um sistema ótico perfeito na teoria clássica da ótica , raios de luz procedentes de qualquer ponto do objeto se unem em um ponto da imagem ; e, portanto, o espaço do objeto é reproduzido em um espaço de imagem. A introdução de termos auxiliares simples, devido a Gauss , chamados de distâncias focais e planos focais , permite a determinação da imagem de qualquer objeto para qualquer sistema. A teoria gaussiana, entretanto, só é verdadeira enquanto os ângulos feitos por todos os raios com o eixo óptico (o eixo simétrico do sistema) são infinitamente pequenos, ou seja . com objetos, imagens e lentes infinitesimais; na prática, essas condições podem não ser realizadas, e as imagens projetadas por sistemas não corrigidos são, em geral, mal definidas e muitas vezes borradas se a abertura ou o campo de visão exceder certos limites.

As investigações de James Clerk Maxwell e Ernst Abbe mostraram que as propriedades dessas reproduções, ou seja . a posição relativa e magnitude das imagens, não são propriedades especiais dos sistemas ópticos, mas consequências necessárias da suposição (por Abade) da reprodução de todos os pontos de um espaço em pontos da imagem, e são independentes da maneira como a reprodução é efetuado. Esses autores mostraram, entretanto, que nenhum sistema óptico pode justificar essas suposições, uma vez que são contraditórias às leis fundamentais de reflexão e refração. Conseqüentemente, a teoria gaussiana fornece apenas um método conveniente de aproximar a realidade; os sistemas ópticos realistas ficam aquém desse ideal inatingível. Atualmente, tudo o que pode ser realizado é a projeção de um único plano em outro plano; mas mesmo nisso, sempre ocorrem aberrações e pode ser improvável que sejam totalmente corrigidas.

Aberração de pontos axiais (aberração esférica no sentido restrito)

figura 1

Seja S (fig. 1) qualquer sistema óptico, raios procedentes de um ponto do eixo O sob um ângulo u1 se unirão no ponto do eixo O'1; e aqueles sob um ângulo u2 no ponto do eixo O'2. Se houver refração em uma superfície esférica coletiva, ou através de uma lente positiva fina, O'2 ficará na frente de O'1 enquanto o ângulo u2 for maior que u1 ( sob correção ); e, inversamente, com uma superfície ou lentes dispersivas ( sobrecorreção ). O cáustico, no primeiro caso, assemelha-se ao sinal> (maior que); no segundo <(menos que). Se o ângulo u1 for muito pequeno, O'1 é a imagem gaussiana; e O'1 O'2 é denominado a aberração longitudinal, e O'1R a aberração lateral dos lápis com abertura u2. Se o lápis com o ângulo u2 é aquele da aberração máxima de todos os lápis transmitidos, então em um plano perpendicular ao eixo em O'1 há um disco circular de confusão de raio O'1R, e em um plano paralelo em O'2 outro de raio O'2R2; entre esses dois está situado o disco de menor confusão.

A maior abertura dos lápis, que participam da reprodução de O, ou seja . o ângulo u é geralmente determinado pela margem de uma das lentes ou por um orifício em uma placa fina colocada entre, antes ou atrás das lentes do sistema. Esse orifício é denominado batente ou diafragma ; Abbe usou o termo parada de abertura tanto para o orifício quanto para a margem limite da lente. O componente S1 do sistema, situado entre o batente de abertura e o objeto O, projeta uma imagem do diafragma, denominado por Abbe de pupila de entrada ; a pupila de saída é a imagem formada pelo componente S2, que é colocado atrás do batente de abertura. Todos os raios que saem de O e passam pelo stop de abertura também passam pelas pupilas de entrada e saída, pois são imagens do stop de abertura. Uma vez que a abertura máxima dos lápis emitidos de O é o ângulo u subtendido pela pupila de entrada neste ponto, a magnitude da aberração será determinada pela posição e diâmetro da pupila de entrada. Se o sistema estiver totalmente atrás do batente de abertura, então ele é a pupila de entrada ( batente frontal ); se totalmente à frente, é a pupila de saída ( parada traseira ).

Se o ponto do objeto estiver infinitamente distante, todos os raios recebidos pelo primeiro membro do sistema são paralelos, e suas interseções, após percorrerem o sistema, variam de acordo com sua altura perpendicular de incidência, ou seja , sua distância do eixo. Essa distância substitui o ângulo u nas considerações anteriores; e a abertura, ou seja . o raio da pupila de entrada é seu valor máximo.

Aberração de elementos, ou seja, objetos menores em ângulos retos com o eixo

Se os raios que saem de O (fig. 1) são concorrentes, isso não significa que os pontos em uma porção de um plano perpendicular em O ao eixo também serão concorrentes, mesmo que a parte do plano seja muito pequena. À medida que o diâmetro da lente aumenta ( ou seja , com o aumento da abertura), o ponto vizinho N será reproduzido, mas acompanhado de aberrações comparáveis ​​em magnitude a ON. Essas aberrações são evitadas se, de acordo com Abbe, a condição seno, sen u'1 / sen u1 = sen u'2 / sen u2, vale para todos os raios que reproduzem o ponto O. Se o ponto do objeto O está infinitamente distante, u1 e u2 devem ser substituídos por h1 e h2, as alturas perpendiculares de incidência; a condição seno torna-se então sen u'1 / h1 = sen u'2 / h2. Um sistema que cumpre esta condição e está livre de aberração esférica é denominado aplanático (grego a-, privativo, plann, errante). Esta palavra foi usada pela primeira vez por Robert Blair para caracterizar um acromatismo superior e, subsequentemente, por muitos escritores para denotar a liberdade de aberração esférica também.

Uma vez que a aberração aumenta com a distância do raio do centro da lente, a aberração aumenta à medida que o diâmetro da lente aumenta (ou, correspondentemente, com o diâmetro da abertura) e, portanto, pode ser minimizada reduzindo a abertura, no custo de também reduzir a quantidade de luz que atinge o plano da imagem.

Aberração de pontos laterais do objeto (pontos além do eixo) com lápis estreitos - astigmatismo

Figura 2

Um ponto O (fig. 2) a uma distância finita do eixo (ou com um objeto infinitamente distante, um ponto que subtende um ângulo finito no sistema) é, em geral, mesmo assim, não reproduzido nitidamente se o lápis de raios emitindo a partir dele e atravessar o sistema torna-se infinitamente estreito, reduzindo o batente de abertura; tal lápis consiste nos raios que podem passar do ponto do objeto através da pupila de entrada agora infinitamente pequena. É visto (ignorando casos excepcionais) que o lápis não encontra a superfície refratária ou refletora em ângulos retos; portanto, é astigmático (Gr. a-, privativo, estigmia, um ponto). Nomeando o raio central que passa pela pupila de entrada de eixo do lápis ou raio principal, pode-se dizer: os raios do lápis se cruzam, não em um ponto, mas em duas linhas focais, que podem ser assumidas em ângulos retos ao raio principal; destes, um encontra-se no plano que contém o raio principal e o eixo do sistema, ou seja, na primeira seção principal ou seção meridional , e o outro em ângulos retos com ele, ou seja, na segunda seção principal ou seção sagital. Recebemos, portanto, em nenhum plano de interceptação único atrás do sistema, como, por exemplo, uma tela de focalização, uma imagem do ponto do objeto; por outro lado, em cada um dos dois planos as linhas O 'e O "são formadas separadamente (nos planos vizinhos são formadas elipses), e em um plano entre O' e O" um círculo de menor confusão. O intervalo O'O ", denominado diferença astigmática, aumenta, em geral, com o ângulo W feito pelo raio principal OP com o eixo do sistema, ou seja, com o campo de visão. Duas superfícies de imagem astigmática correspondem a um plano de objeto ; e estes estão em contato no ponto do eixo; de um, encontram-se as linhas focais do primeiro tipo, do outro, as do segundo. Sistemas em que as duas superfícies astigmáticas coincidem são denominados anastigmáticos ou estigmáticos.

Sir Isaac Newton foi provavelmente o descobridor da astigmação; a posição das linhas astigmáticas da imagem foi determinada por Thomas Young; e a teoria foi desenvolvida por Allvar Gullstrand . Uma bibliografia de P. Culmann é fornecida em Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten de Moritz von Rohr .

Aberração dos pontos laterais do objeto com lápis largos - coma

Ao abrir mais o batente, desvios semelhantes surgem para os pontos laterais, como já foi discutido para os pontos axiais; mas, neste caso, são muito mais complicados. O curso dos raios na seção meridional não é mais simétrico ao raio principal do lápis; e em um plano de interceptação aparece, em vez de um ponto luminoso, um retalho de luz, não simétrico em relação a um ponto, e freqüentemente exibindo uma semelhança com um cometa tendo sua cauda direcionada para ou para longe do eixo. Desta aparência leva seu nome. A forma assimétrica do lápis meridional - anteriormente a única considerada - é coma apenas no sentido mais restrito; outros erros de coma foram tratados por Arthur König e Moritz von Rohr e, mais tarde, por Allvar Gullstrand.

Curvatura do campo da imagem

Se os erros acima forem eliminados, as duas superfícies astigmáticas unidas e uma imagem nítida obtida com uma grande abertura - resta a necessidade de corrigir a curvatura da superfície da imagem, especialmente quando a imagem deve ser recebida em uma superfície plana, por exemplo, em fotografia. Na maioria dos casos, a superfície é côncava em direção ao sistema.

Distorção da imagem

Fig. 3a: Distorção do barril

Fig. 3b: Distorção da almofada de alfinetes

Mesmo que a imagem seja nítida, ela pode ficar distorcida em comparação com a projeção de orifício de agulha ideal . Na projeção pinhole, a ampliação de um objeto é inversamente proporcional à sua distância da câmera ao longo do eixo óptico, de modo que uma câmera apontando diretamente para uma superfície plana reproduz essa superfície plana. A distorção pode ser considerada como um alongamento não uniforme da imagem ou, equivalentemente, como uma variação na ampliação ao longo do campo. Embora a "distorção" possa incluir deformação arbitrária de uma imagem, os modos mais pronunciados de distorção produzidos pela ótica de imagem convencional é a "distorção em barril", em que o centro da imagem é ampliado mais do que o perímetro (figura 3a). O inverso, em que o perímetro é ampliado mais do que o centro, é conhecido como "distorção almofada" (figura 3b). Esse efeito é chamado de distorção da lente ou distorção da imagem , e existem algoritmos para corrigi-lo.

Os sistemas livres de distorção são chamados de ortoscópicos ( órteses , à direita, skopein para olhar) ou retilíneos (linhas retas).

Figura 4

Essa aberração é bem distinta daquela da nitidez da reprodução; na reprodução não-nítida, a questão da distorção surge se apenas partes do objeto podem ser reconhecidas na figura. Se, em uma imagem não-nítida, um patch de luz corresponde a um ponto do objeto, o centro de gravidade do patch pode ser considerado como o ponto da imagem, sendo este o ponto onde o plano que recebe a imagem, por exemplo, uma tela de foco, se cruza o raio passando pelo meio da parada. Essa suposição é justificada se uma imagem ruim na tela de focagem permanecer estacionária quando a abertura for diminuída; na prática, isso geralmente ocorre. Este raio, chamado por Abbe de raio principal (não deve ser confundido com os raios principais da teoria gaussiana), passa pelo centro da pupila de entrada antes da primeira refração e pelo centro da pupila de saída após a última refração. Disto se segue que a exatidão do desenho depende unicamente dos raios principais; e é independente da nitidez ou curvatura do campo da imagem. Referindo-se à fig. 4, temos O'Q '/ OQ = a' tan w '/ a tan w = 1 / N, onde N é a escala ou ampliação da imagem. Para que N seja constante para todos os valores de w, a 'tan w' / a tan w também deve ser constante. Se a razão a '/ a for suficientemente constante, como é freqüentemente o caso, a relação acima se reduz à condição de Airy , isto é , tan w' / tan w = uma constante. Esta relação simples (ver Camb. Phil. Trans., 1830, 3, p. 1) é cumprida em todos os sistemas que são simétricos em relação ao seu diafragma (brevemente chamados de objetivos simétricos ou holossimétricos ), ou que consistem em dois semelhantes, mas componentes de tamanhos diferentes, posicionados a partir do diafragma na proporção de seu tamanho e apresentando a mesma curvatura a ele (objetivas hemissimétricas); nestes sistemas tan w '/ tan w = 1.

A constância de a '/ a necessária para que essa relação se mantenha foi apontada por RH Bow (Brit. Journ. Photog., 1861) e Thomas Sutton (Photographic Notes, 1862); foi tratado por O. Lummer e por M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17 e 1898, 18, p. 4). Requer que o meio do stop de abertura seja reproduzido nos centros das pupilas de entrada e saída sem aberração esférica. M. von Rohr mostrou que para sistemas que não cumprem nem a condição Airy nem a Bow-Sutton, a razão a 'cos w' / a tan w será constante para uma distância do objeto. Essa condição combinada é cumprida exatamente por objetivos holossimétricos reproduzindo-se com a escala 1, e por hemissimétricos, se a escala de reprodução for igual à razão dos tamanhos dos dois componentes.

Modelo Zernike de aberrações

Plano de imagem de um feixe de topo plano sob o efeito dos primeiros 21 polinômios de Zernike. O feixe passa por uma abertura do mesmo tamanho, que é fotografada neste plano por uma lente ideal.

Perfis circulares de frente de onda associados a aberrações podem ser modelados matematicamente usando polinômios de Zernike . Desenvolvido por Frits Zernike na década de 1930, os polinômios de Zernike são ortogonais sobre um círculo de raio unitário. Um perfil de frente de onda complexo e aberrado pode ser ajustado por curva com polinômios de Zernike para produzir um conjunto de coeficientes de ajuste que representam individualmente diferentes tipos de aberrações. Esses coeficientes de Zernike são linearmente independentes , portanto, as contribuições de aberração individuais para uma frente de onda geral podem ser isoladas e quantificadas separadamente.

Existem polinômios de Zernike pares e ímpares . Os polinômios Zernike pares são definidos como

${\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ phi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ cos (m \, \ phi) \!}$

e os estranhos polinômios de Zernike como

${\ displaystyle Z_ {n} ^ {- m} (\ rho, \ phi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ sin (m \, \ phi), \!}$

onde m e n são inteiros não negativos com , Φ é o ângulo azimutal em radianos e ρ é a distância radial normalizada. Os polinômios radiais não têm dependência azimutal e são definidos como ${\ displaystyle n \ geq m}$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$

${\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = \! \ sum _ {k = 0} ^ {(nm) / 2} \! \! \! {\ frac {(-1) ^ { k} \, (nk)!} {k! \, ((n + m) / 2-k)! \, ((nm) / 2-k)!}} \; \ rho ^ {n-2 \ , k} \ quad {\ mbox {if}} nm {\ mbox {é par}}}$

e se é estranho. ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = 0}$${\ displaystyle nm}$

Os primeiros polinômios de Zernike, multiplicados por seus respectivos coeficientes de ajuste, são:

${\ displaystyle a_ {0} \ times 1}$	"Pistão", igual ao valor médio da frente de onda
${\ displaystyle a_ {1} \ times \ rho \ cos (\ phi)}$	"X-Tilt", o desvio do feixe geral na direção sagital
${\ displaystyle a_ {2} \ times \ rho \ sin (\ phi)}$	"Y-Tilt", o desvio do feixe geral na direção tangencial
${\ displaystyle a_ {3} \ times (2 \ rho ^ {2} -1)}$	"Defocus", uma frente de onda parabólica resultante de estar fora de foco
${\ displaystyle a_ {4} \ times \ rho ^ {2} \ cos (2 \ phi)}$	"0 ° Astigmatismo", uma forma cilíndrica ao longo do eixo X ou Y
${\ displaystyle a_ {5} \ times \ rho ^ {2} \ sin (2 \ phi)}$	"Astigmatismo 45 °", uma forma cilíndrica orientada a ± 45 ° do eixo X
${\ displaystyle a_ {6} \ times (3 \ rho ^ {2} -2) \ rho \ cos (\ phi)}$	"X-Coma", imagem comática alargada na direção horizontal
${\ displaystyle a_ {7} \ times (3 \ rho ^ {2} -2) \ rho \ sin (\ phi)}$	"Y-Coma", imagem comática alargada na direção vertical
${\ displaystyle a_ {8} \ times (6 \ rho ^ {4} -6 \ rho ^ {2} +1)}$	"Aberração esférica de terceira ordem"

onde é o raio da pupila normalizado com , é o ângulo azimutal ao redor da pupila com e os coeficientes de ajuste são os erros de frente de onda em comprimentos de onda. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle 0 \ leq \ rho \ leq 1}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq 2 \ pi}$${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {8}}$

Como na síntese de Fourier usando senos e cossenos , uma frente de onda pode ser perfeitamente representada por um número suficientemente grande de polinômios de Zernike de ordem superior. No entanto, as frentes de onda com gradientes muito íngremes ou estrutura de frequência espacial muito alta , como produzida pela propagação através da turbulência atmosférica ou campos de fluxo aerodinâmicos , não são bem modeladas por polinômios de Zernike, que tendem a filtrar baixa definição espacial fina na frente de onda. Neste caso, outros métodos de ajuste, como fractais ou decomposição de valor singular, podem produzir resultados de ajuste melhorados.

Os polinômios circulares foram introduzidos por Frits Zernike para avaliar a imagem pontual de um sistema óptico aberrado levando em consideração os efeitos da difração . A imagem pontual perfeita na presença de difração já havia sido descrita por Airy , já em 1835. Demorou quase cem anos para chegar a uma teoria abrangente e modelagem da imagem pontual de sistemas aberrados (Zernike e Nijboer). A análise de Nijboer e Zernike descreve a distribuição de intensidade próxima ao plano focal ótimo. Uma teoria estendida que permite o cálculo da amplitude e intensidade da imagem do ponto sobre um volume muito maior na região focal foi recentemente desenvolvida ( teoria de Nijboer-Zernike estendida ). Esta teoria estendida de Nijboer-Zernike de formação de imagem de ponto ou 'função de espalhamento de ponto' encontrou aplicações na pesquisa geral sobre formação de imagem, especialmente para sistemas com uma alta abertura numérica , e na caracterização de sistemas ópticos em relação às suas aberrações.

Tratamento analítico de aberrações

A revisão anterior dos vários erros de reprodução pertence à teoria das aberrações de Abbe, na qual as aberrações definidas são discutidas separadamente; é bem adequado às necessidades práticas, pois na construção de um instrumento óptico se busca eliminar certos erros, cuja seleção é justificada pela experiência. No sentido matemático, entretanto, essa seleção é arbitrária; a reprodução de um objeto finito com uma abertura finita acarreta, com toda probabilidade, um número infinito de aberrações. Esse número só é finito se o objeto e a abertura forem assumidos como infinitamente pequenos de uma certa ordem ; e com cada ordem de pequenez infinita, isto é, com cada grau de aproximação da realidade (para objetos finitos e aberturas), um certo número de aberrações é associado. Essa conexão é fornecida apenas por teorias que tratam as aberrações em geral e analiticamente por meio de séries indefinidas.

Figura 5

Um raio procedente de um ponto objeto O (fig. 5) pode ser definido pelas coordenadas (ξ, η). Deste ponto O em um plano de objeto I, em ângulo reto com o eixo, e duas outras coordenadas (x, y), o ponto em que o raio intercepta a pupila de entrada, ou seja, o plano II. Da mesma forma, o raio de imagem correspondente pode ser definido pelos pontos (ξ ', η') e (x ', y'), nos planos I 'e II'. As origens desses sistemas de coordenadas de quatro planos podem ser colineares com o eixo do sistema óptico; e os eixos correspondentes podem ser paralelos. Cada uma das quatro coordenadas ξ ​​', η', x ', y' são funções de ξ, η, x, y; e se for assumido que o campo de visão e a abertura são infinitamente pequenos, então ξ, η, x, y são da mesma ordem dos infinitesimais; conseqüentemente, expandindo ξ ', η', x ', y' em potências ascendentes de ξ, η, x, y, são obtidas séries nas quais é necessário apenas considerar as potências mais baixas. É facilmente visto que se o sistema óptico for simétrico, as origens dos sistemas de coordenadas colineares com o eixo óptico e os eixos correspondentes paralelos, então, mudando os sinais de ξ, η, x, y, os valores ξ ', η' , x ', y' devem igualmente mudar seu sinal, mas manter seus valores aritméticos; isso significa que as séries são restritas às potências ímpares das variáveis ​​não marcadas.

A natureza da reprodução consiste nos raios procedentes de um ponto O sendo unidos em outro ponto O '; em geral, este não será o caso, pois ξ ', η' variam se ξ, η forem constantes, mas x, y variáveis. Pode-se supor que os planos I 'e II' são desenhados onde as imagens dos planos I e II são formadas por raios próximos ao eixo pelas regras gaussianas comuns; e por uma extensão dessas regras, mas não correspondendo à realidade, o ponto da imagem de Gauss O ' ₀ , com as coordenadas ξ' ₀ , η ' ₀ , do ponto O a alguma distância do eixo poderia ser construído. Escrevendo Dξ '= ξ'-ξ' ₀ e Dη '= η'-η' ₀ , então Dξ 'e Dη' são as aberrações pertencentes a ξ, η e x, y, e são funções dessas magnitudes que, quando expandidas em série, contêm apenas potências ímpares, pelas mesmas razões apresentadas acima. Por causa das aberrações de todos os raios que passam por O, um retalho de luz, dependendo do tamanho das potências mais baixas de ξ, η, x, y que as aberrações contêm, será formado no plano I '. Esses graus, nomeados por J. Petzval ( Bericht uber die Ergebnisse einiger dioptrischer Untersuchungen , Buda Pesth, 1843; Akad. Sitzber., Wien, 1857, vols. Xxiv. Xxvi.) As ordens numéricas da imagem, são , conseqüentemente, apenas poderes estranhos ; a condição para a formação de uma imagem da ordem m é que na série para Dξ 'e Dη' os coeficientes das potências do 3º, 5º ... (m-2 )º graus devem desaparecer. Sendo as imagens da teoria de Gauss de terceira ordem, o próximo problema é obter uma imagem de 5ª ordem, ou fazer com que os coeficientes das potências de 3º grau sejam zero. Isso requer a satisfação de cinco equações; em outras palavras, há cinco alterações de 3ª ordem, cujo desaparecimento produz uma imagem de 5ª ordem.

A expressão para esses coeficientes em termos das constantes do sistema óptico, ou seja, os raios, espessuras, índices de refração e distâncias entre as lentes, foi resolvida por L. Seidel (Astr. Nach., 1856, p. 289); em 1840, J. Petzval construiu sua objetiva de retrato, a partir de cálculos semelhantes que nunca foram publicados (ver M. von Rohr, Theorie und Geschichte des photographischen Objectivs , Berlin, 1899, p. 248). A teoria foi elaborada por S. Finterswalder (Munchen. Acad. Abhandl., 1891, 17, p. 519), que também publicou um artigo póstumo de Seidel contendo uma breve visão de sua obra ( München. Akad. Sitzber., 1898, 28, pág. 395); uma forma mais simples foi dada por A. Kerber ( Beiträge zur Dioptrik , Leipzig, 1895-6-7-8-9). A. Konig e M. von Rohr (ver M. von Rohr, Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten , pp. 317-323) representaram o método de Kerber e deduziram as fórmulas Seidel de considerações geométricas baseadas no método de Abbe, e interpretaram os resultados analíticos geometricamente (pp. 212-316).

As aberrações também podem ser expressas por meio da função característica do sistema e seus coeficientes diferenciais, em vez dos raios, etc., das lentes; essas fórmulas não são imediatamente aplicáveis, mas fornecem, entretanto, a relação entre o número de aberrações e a ordem. Sir William Rowan Hamilton (British Assoc. Report, 1833, p. 360) derivou assim as aberrações de terceira ordem; e em tempos posteriores o método foi seguido por Clerk Maxwell ( Proc. London Math. Soc., 1874-1875; (ver também os tratados de RS Heath e LA Herman), M. Thiesen ( Berlin. Akad. Sitzber., 1890, 35, p. 804), H. Bruns ( Leipzig. Math. Phys. Ber., 1895, 21, p. 410), e particularmente com sucesso por K. Schwarzschild ( Göttingen. Akad. Abhandl., 1905, 4, No. 1), que assim descobriu as aberrações da 5ª ordem (das quais existem nove), e possivelmente a prova mais curta das fórmulas práticas (Seidel). A. Gullstrand (vide supra, e Ann. D. Phys., 1905, 18, p. 941) fundou sua teoria das aberrações na geometria diferencial das superfícies.

As aberrações de terceira ordem são: (1) aberração do ponto do eixo; (2) aberração de pontos cuja distância do eixo é muito pequena, menor que a de terceira ordem - o desvio da condição senoidal e o coma aqui caem juntos em uma classe; (3) astigmatismo; (4) curvatura do campo; (5) distorção.

(1) A aberração da terceira ordem dos pontos do eixo é tratada em todos os livros de ótica. É muito importante no design de telescópios. Em telescópios, a abertura é geralmente considerada como o diâmetro linear da objetiva. Não é o mesmo que a abertura do microscópio, que se baseia na pupila de entrada ou no campo de visão visto do objeto e é expressa como uma medida angular. As aberrações de ordem superior no design de telescópios podem ser negligenciadas em grande parte. Para microscópios, isso não pode ser negligenciado. Para uma única lente de espessura muito pequena e potência dada, a aberração depende da proporção dos raios r: r ', e é mínima (mas nunca zero) para um certo valor dessa proporção; varia inversamente com o índice de refração (o poder da lente permanece constante). A aberração total de duas ou mais lentes muito finas em contato, sendo a soma das aberrações individuais, pode ser zero. Isso também é possível se as lentes tiverem o mesmo sinal algébrico. De lentes positivas finas com n = 1,5, quatro são necessárias para corrigir a aberração esférica de terceira ordem. Esses sistemas, entretanto, não são de grande importância prática. Na maioria dos casos, duas lentes finas são combinadas, uma das quais tem uma aberração positiva tão forte ( sub-correção, vide supra) quanto a outra, uma negativa; a primeira deve ser uma lente positiva e a segunda uma lente negativa; os poderes, entretanto: podem ser diferentes, de forma que o efeito desejado da lente seja mantido. Geralmente é uma vantagem garantir um grande efeito refrativo por várias lentes mais fracas do que por uma lente de alta potência. Por um, da mesma forma por vários, e mesmo por um número infinito de lentes finas em contato, não mais do que dois pontos de eixo podem ser reproduzidos sem aberração de terceira ordem. A ausência de aberração em dois pontos do eixo, um dos quais infinitamente distante, é conhecida como condição de Herschel. Todas essas regras são válidas, desde que as espessuras e distâncias das lentes não sejam levadas em consideração.

(2) A condição para ausência de coma na terceira ordem também é importante para as objetivas do telescópio; é conhecido como condição de Fraunhofer . (4) Após eliminar a aberração No eixo, coma e astigmatismo, a relação para a planura do campo na terceira ordem é expressa pela equação de Petzval, S1 / r (n'-n) = 0, onde r é o raio de uma superfície refratária, n e n 'os índices de refração da mídia vizinha, e S o sinal de soma para todas as superfícies refratárias.

Eliminação prática de aberrações

Estrelas guia de laser auxiliam na eliminação da distorção atmosférica.

O problema clássico de imagem é reproduzir perfeitamente um plano finito (o objeto) em outro plano (a imagem) por meio de uma abertura finita. É impossível fazer isso perfeitamente para mais de um par de aviões (isso foi provado com crescente generalidade por Maxwell em 1858, por Bruns em 1895 e por Carathéodory em 1926, ver resumo em Walther, A., J. Opt. Soc. Am. A 6 , 415-422 (1989)). Para um único par de planos (por exemplo, para um único ajuste de foco de um objetivo), no entanto, o problema pode, em princípio, ser resolvido perfeitamente. Exemplos de um sistema teoricamente perfeito incluem as lentes de Luneburg e o olho-de-peixe de Maxwell .

Os métodos práticos resolvem esse problema com uma precisão que, na maioria das vezes, é suficiente para o propósito especial de cada espécie de instrumento. O problema de encontrar um sistema que reproduza um dado objeto em um dado plano com dada ampliação (na medida em que as aberrações devem ser levadas em conta) poderia ser resolvido por meio da teoria da aproximação; na maioria dos casos, entretanto, as dificuldades analíticas eram grandes demais para os métodos de cálculo mais antigos, mas podem ser amenizadas pela aplicação de sistemas de computador modernos. Soluções, no entanto, foram obtidas em casos especiais (ver A. Konig em M. von Rohr's Die Bilderzeugung , p. 373; K. Schwarzschild, Göttingen. Akad. Abhandl., 1905, 4, Nos. 2 e 3). Na atualidade, os construtores quase sempre empregam o método inverso: eles compõem um sistema a partir de certas experiências, muitas vezes bastante pessoais, e testam, pelo cálculo trigonométrico das trajetórias de vários raios, se o sistema dá a reprodução desejada (exemplos são dados em A. Gleichen, Lehrbuch der geometrischen Optik , Leipzig e Berlin, 1902). Os raios, espessuras e distâncias são alterados continuamente até que os erros da imagem se tornem suficientemente pequenos. Por este método, apenas certos erros de reprodução são investigados, especialmente membros individuais, ou todos, aqueles mencionados acima. A teoria da aproximação analítica é freqüentemente empregada provisoriamente, uma vez que sua precisão geralmente não é suficiente.

A fim de tornar a aberração esférica e o desvio da condição senoidal pequenos ao longo de toda a abertura, é dado a um raio com um ângulo finito de abertura u * (largura de objetos infinitamente distantes: com uma altura finita de incidência h *) igual distância de interseção, e a mesma relação seno que para um vizinho ao eixo (u * ou h * não pode ser muito menor do que a maior abertura U ou H a ser usado no sistema). Os raios com um ângulo de abertura menor que u * não teriam a mesma distância de interseção e a mesma razão seno; esses desvios são chamados de zonas, e o construtor se esforça para reduzi-los ao mínimo. O mesmo vale para os erros dependendo do ângulo do campo de visão, w: astigmatismo, curvatura de campo e distorção são eliminados para um valor definido, w *, zonas de astigmatismo, curvatura de campo e distorção, atendem a valores menores de w . O óptico prático nomeia tais sistemas: corrigido para o ângulo de abertura u * (a altura de incidência h *) ou o ângulo de campo de visão w *. A aberração esférica e as mudanças nas relações senoidais são frequentemente representadas graficamente como funções da abertura, da mesma forma que os desvios de duas superfícies astigmáticas da imagem do plano da imagem do ponto do eixo são representados como funções dos ângulos do campo de visão .

A forma final de um sistema prático, conseqüentemente, baseia-se no compromisso; o aumento da abertura resulta em uma diminuição do campo de visão disponível e vice-versa. Mas a abertura maior dará a resolução maior. O seguinte pode ser considerado típico:

(1) Maior abertura; as correções necessárias são - para o ponto do eixo e condição do seno; erros do campo de visão são quase desconsiderados; exemplo - objetivas de microscópio de alta potência.

(2) Lente grande angular ; as correções necessárias são - para astigmatismo, curvatura de campo e distorção; erros da abertura apenas levemente considerados; exemplos - objetivas fotográficas de ângulo mais amplo e oculares.

Entre esses exemplos extremos está a lente normal : isso é corrigido mais em relação à abertura; objetivos para grupos mais no que diz respeito ao campo de visão.

(3) As lentes de foco longo têm pequenos campos de visão e as aberrações no eixo são muito importantes. Portanto, as zonas serão mantidas o mais pequenas possível e o design deve enfatizar a simplicidade. Por causa disso, essas lentes são as melhores para computação analítica.

Aberração cromática ou de cor

Em sistemas óticos compostos de lentes, a posição, magnitude e erros da imagem dependem dos índices de refração do vidro empregado (veja Lente (ótica) e Aberração monocromática , acima). Como o índice de refração varia com a cor ou comprimento de onda da luz (ver dispersão ), segue-se que um sistema de lentes (não corrigido) projeta imagens de cores diferentes em lugares e tamanhos um tanto diferentes e com aberrações diferentes; ou seja, há diferenças cromáticas das distâncias de interseção, de ampliações e de aberrações monocromáticas. Se a luz mista for empregada (por exemplo, luz branca), todas essas imagens são formadas e causam uma confusão, chamada de aberração cromática; por exemplo, em vez de uma margem branca em um fundo escuro, percebe-se uma margem colorida ou espectro estreito. A ausência desse erro é denominada acromatismo e um sistema óptico assim corrigido é denominado acromático. Diz-se que um sistema está cromaticamente sub-corrigido quando mostra o mesmo tipo de erro cromático que uma lente fina positiva; caso contrário, diz-se que está sobrecorrigido.

Se, em primeiro lugar, as aberrações monocromáticas forem negligenciadas - em outras palavras, a teoria gaussiana for aceita - então toda reprodução é determinada pelas posições dos planos focais e pela magnitude das distâncias focais, ou se as distâncias focais, como normalmente acontece, ser igual, por três constantes de reprodução. Essas constantes são determinadas pelos dados do sistema (raios, espessuras, distâncias, índices, etc., das lentes); portanto, sua dependência do índice de refração e, conseqüentemente, da cor, são calculáveis. Os índices de refração para diferentes comprimentos de onda devem ser conhecidos para cada tipo de vidro utilizado. Desse modo, as condições são mantidas para que qualquer constante de reprodução seja igual para duas cores diferentes, ou seja, essa constante é acromática. Por exemplo, é possível, com uma lente grossa no ar, cromatizar a posição de um plano focal da magnitude do comprimento focal. Se todas as três constantes de reprodução forem acromáticas, então a imagem gaussiana para todas as distâncias dos objetos é a mesma para as duas cores, e o sistema é dito estar em acromatismo estável.

Na prática, é mais vantajoso (depois de Abbe) determinar a aberração cromática (por exemplo, a da distância de interseção) para uma posição fixa do objeto e expressá-la por uma soma em que cada componente conlui a quantidade devida a cada superfície refratária. Em um plano que contém o ponto de imagem de uma cor, outra cor produz um disco de confusão; isso é semelhante à confusão causada por duas zonas na aberração esférica. Para objetos infinitamente distantes, o raio do disco cromático de confusão é proporcional à abertura linear e independente do comprimento focal ( vide supra , Aberração monocromática do ponto do eixo ); e uma vez que este disco se torna menos prejudicial com o aumento da imagem de um determinado objeto, ou com o aumento do comprimento focal, segue-se que a deterioração da imagem é proporcional à razão da abertura para o comprimento focal, isto é, a abertura relativa. (Isso explica as distâncias focais gigantescas em voga antes da descoberta do acromatismo.)

Exemplos:

(a) Em uma lente muito fina, no ar, apenas uma constante de reprodução deve ser observada, uma vez que a distância focal e a distância do ponto focal são iguais. Se o índice de refração para uma cor for , e para outra , e as potências, ou recíprocas das distâncias focais, seja e , então (1) ; é chamada de dispersão e o poder dispersivo do vidro.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n + dn}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f + df}$${\ displaystyle {\ dfrac {df} {f}} = {\ dfrac {dn} {(n-1)}} = {\ dfrac {1} {n}}}$${\ displaystyle dn}$${\ displaystyle n}$

(b) Duas lentes finas em contacto: deixe e ser as potências correspondentes para as lentes de índices de refracção e e raios , e , respectivamente; deixar que denotam a potência total, e , , as mudanças de , e com a cor. Então, as seguintes relações se mantêm:${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2}}$${\ displaystyle n_ {1}}$${\ displaystyle n_ {2}}$${\ displaystyle r '_ {1}}$${\ displaystyle r '' _ {1}}$${\ displaystyle r '_ {2}}$${\ displaystyle r '' _ {2}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle dn_ {1}}$${\ displaystyle dn_ {2}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n_ {1}}$${\ displaystyle n_ {2}}$

(2) ; e${\ displaystyle f = f_ {1} -f_ {2} = (n_ {1} -1) (1 / r '_ {1} -1 / r' '_ {1}) + (n2-1) ( 1 / r '_ {2} -1 / r' '_ {2}) = (n_ {1} -1) k_ {1} + (n_ {2} -1) k_ {2}}$

(3) . Para acromatismo , portanto, de (3),${\ displaystyle df = k_ {1} dn_ {1} + k_ {2} dn_ {2}}$${\ displaystyle df = 0}$

(4) , ou . Portanto e deve ter diferentes signos algébricos, ou o sistema deve ser composto por uma lente coletiva e uma lente dispersiva. Consequentemente, as potências dos dois devem ser diferentes (para que não sejam zero (equação 2)), e as potências dispersivas também devem ser diferentes (de acordo com 4).${\ displaystyle k_ {1} / k_ {2} = - dn_ {2} / dn_ {1}}$${\ displaystyle f_ {1} / f_ {2} = - n_ {1} / n_ {2}}$${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2}}$${\ displaystyle f}$

Newton não conseguiu perceber a existência de meios de diferentes poderes dispersivos exigidos pelo acromatismo; conseqüentemente, ele construiu grandes refletores em vez de refratores. James Gregory e Leonhard Euler chegaram à visão correta a partir de uma falsa concepção do acromatismo do olho; isso foi determinado por Chester More Hall em 1728, Klingenstierna em 1754 e por Dollond em 1757, que construiu os célebres telescópios acromáticos. (Veja o telescópio .)

O vidro com poder dispersivo mais fraco (maior ) é denominado vidro coroa ; aquele com maior poder de dispersão, vidro de sílex . Para a construção de uma lente coletiva acromática ( positiva) segue-se, por meio da equação (4), uma lente coletiva I. de vidro coroa e uma lente dispersiva II. de vidro de sílex deve ser escolhido; este último, embora o mais fraco, corrige o outro cromaticamente por seu maior poder dispersivo. Para lentes dispersivas acromáticas, o inverso deve ser adotado. Este é, atualmente, o tipo comum, por exemplo, de objetiva de telescópio; os valores dos quatro raios devem satisfazer as equações (2) e (4). Duas outras condições também podem ser postuladas: uma é sempre a eliminação da aberração no eixo; o segundo é a condição de Herschel ou Fraunhofer, sendo o último o melhor vide supra, Aberração monocromática ). Na prática, entretanto, é frequentemente mais útil evitar a segunda condição fazendo com que as lentes tenham contato, ou seja, raios iguais. De acordo com P. Rudolph (Eder's Jahrb. F. Photog., 1891, 5, p. 225; 1893, 7, p. 221), as objetivas cimentadas de lentes finas permitem a eliminação da aberração esférica no eixo, se, como acima , a lente coletiva tem um índice de refração menor; por outro lado, eles permitem a eliminação do astigmatismo e da curvatura do campo, se a lente coletiva tiver um índice de refração maior (isso decorre da equação de Petzval; ver L. Seidel, Astr. Nachr., 1856, p. 289) . Se o sistema cimentado for positivo, a lente mais potente deve ser positiva; e, de acordo com (4), ao poder maior pertence o poder dispersivo mais fraco (maior ), ou seja, o vidro da coroa; conseqüentemente, o vidro da coroa deve ter o maior índice de refração para imagens astigmáticas e planas. Em todos os tipos anteriores de vidro, entretanto, o poder dispersivo aumentou com o índice de refração; isto é, diminuiu conforme aumentou; mas alguns dos vidros Jena de E. Abbe e O. Schott eram vidros em forma de coroa de alto índice de refração, e os sistemas acromáticos de tais vidros em coroa, com vidros de sílex de baixo índice de refração, são chamados de novos acromatas e foram empregados por P. Rudolph nas primeiras anastigmatas (objetivas fotográficas). ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle n}$

Em vez de fazer desaparecer, um certo valor pode ser atribuído a ele que produzirá, pela adição das duas lentes, qualquer desvio cromático desejado, por exemplo, suficiente para eliminar um presente em outras partes do sistema. Se as lentes I. e II. ser cimentado e ter o mesmo índice de refração para uma cor, então seu efeito para aquela cor é o de uma lente de uma peça; por tal decomposição de uma lente, ela pode se tornar cromática ou acromática à vontade, sem alterar seu efeito esférico. Se o seu efeito cromático ( ) for maior que o da mesma lente, sendo esta o mais dispersivo dos dois vidros empregados, é denominado hipercromático.${\ displaystyle df}$${\ displaystyle df / f}$

Para duas lentes finas separadas por uma distância, a condição para acromatismo é ; se (por exemplo, se as lentes forem feitas do mesmo vidro), isso se reduz a , conhecido como a condição para os olhos.${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D = v_ {1} f_ {1} + v_ {2} f_ {2}}$${\ displaystyle v_ {1} = v_ {2}}$${\ displaystyle D = (f_ {1} + f_ {2}) / 2}$

Se uma constante de reprodução, por exemplo o comprimento focal, for igualada para duas cores, então não será a mesma para as outras cores, se forem empregados dois óculos diferentes. Por exemplo, a condição para acromatismo (4) para duas lentes finas em contato é satisfeita em apenas uma parte do espectro, uma vez que varia dentro do espectro. Este fato foi verificado pela primeira vez por J. Fraunhofer, que definiu as cores por meio das linhas escuras do espectro solar; e mostraram que a proporção de dispersão de dois vidros variava cerca de 20% do vermelho para o violeta (a variação para vidro e água é de cerca de 50%). Se, portanto, para duas cores, aeb , então, para uma terceira cor, c, o comprimento focal é diferente; isto é, se c estiver entre a e b, então , e vice-versa; esses resultados algébricos decorrem do fato de que para o vermelho predomina a dispersão do vidro da coroa positiva, para o violeta a do sílex negativo. Esses erros cromáticos de sistemas, que são acromáticos para duas cores, são chamados de espectro secundário e dependem da abertura e do comprimento focal da mesma maneira que os erros cromáticos primários. ${\ displaystyle dn_ {2} / dn_ {1}}$${\ displaystyle f_ {a} = f_ {b} = f}$${\ displaystyle f_ {c} <f}$

Na fig. 6, tirado de Theorie und Geschichte des photographischen Objectivs de M. von Rohr , as abscissas são comprimentos focais e os comprimentos de onda ordenados. As linhas Fraunhofer usadas são mostradas na tabela adjacente.

Figura 6

Os comprimentos focais são iguais para as linhas C e F. Na vizinhança de 550 nm, a tangente à curva é paralela ao eixo dos comprimentos de onda; e a distância focal varia pelo menos em uma gama razoavelmente grande de cores, portanto, nesta vizinhança, a união de cores está no seu melhor. Além disso, esta região do espectro é aquela que parece mais brilhante ao olho humano e, consequentemente, esta curva do secundário no espectro, obtida por fazer , é, de acordo com os experimentos de Sir GG Stokes (Proc. Roy. Soc., 1878 ), o mais adequado para instrumentos visuais ( acromatismo óptico ). Da mesma forma, para sistemas utilizados em fotografia, o vértice da curva de cor deve ser colocado na posição de sensibilidade máxima das placas; geralmente é suposto estar em G '; e para conseguir isso, as linhas de mercúrio F e violeta são unidas. Este artifício é especialmente adotado em objetivas para fotografia astronômica ( puro acromatismo actínico ). Para a fotografia comum, entretanto, há esta desvantagem: a imagem na tela de focagem e o ajuste correto da placa fotográfica sensível não estão registrados; na fotografia astronômica essa diferença é constante, mas em outros tipos depende da distância dos objetos. Por conta disso, as linhas D e G 'são unidas para objetivos fotográficos comuns; tanto a imagem ótica quanto a actínica são cromaticamente inferiores, mas ambas estão no mesmo lugar; e, conseqüentemente, a melhor correção encontra-se em F (isso é conhecido como a correção actínica ou liberdade do foco químico ). ${\ displaystyle f_ {C} = f_ {F}}$

Caso haja em duas lentes em contato as mesmas distâncias focais para as três cores a, b e c, ou seja , a dispersão parcial relativa deve ser igual para os dois tipos de vidro empregados. Isso segue considerando a equação (4) para os dois pares de cores ac e bc. Até recentemente, nenhum vidro era conhecido com um grau de absorção proporcional; mas R. Blair (Trans. Edin. Soc., 1791, 3, p. 3), P. Barlow e FS Archer superaram a dificuldade construindo lentes de fluido entre paredes de vidro. Fraunhofer preparou vidros que reduziram o espectro secundário; mas o sucesso permanente só foi garantido com a introdução dos óculos Jena por E. Abbe e O. Schott. Na utilização de óculos sem dispersão proporcional, o desvio de uma terceira cor pode ser eliminado por duas lentes, se for permitido um intervalo entre elas; ou por três lentes de contato, que podem não ser todas as lentes velhas. Ao unir três cores, um acromatismo de ordem superior é derivado; ainda existe um espectro terciário residual , mas sempre pode ser desprezado. ${\ displaystyle f_ {a} = f_ {b} = f_ {c} = f}$${\ displaystyle (n_ {c} -n_ {b}) (n_ {a} -n_ {b})}$

A teoria gaussiana é apenas uma aproximação; ainda ocorrem aberrações monocromáticas ou esféricas, que serão diferentes para cores diferentes; e se eles fossem compensados ​​por uma cor, a imagem de outra cor se mostraria perturbadora. O mais importante é a diferença cromática de aberração do ponto do eixo, que ainda está presente para perturbar a imagem, após raios paraxiais de cores diferentes serem unidos por uma combinação adequada de vidros. Se um sistema coletivo for corrigido para o ponto do eixo para um comprimento de onda definido, então, por conta da maior dispersão nos componentes negativos - os vidros de sílex, - a sobrecorreção surgirá para os comprimentos de onda mais curtos (sendo este o erro dos componentes negativos) , e sub-correção para comprimentos de onda mais longos (o erro das lentes de vidro da coroa preponderando no vermelho). Esse erro foi tratado por Jean le Rond d'Alembert e, em detalhes especiais, por CF Gauss. Aumenta rapidamente com a abertura e é mais importante com aberturas médias do que o espectro secundário de raios paraxiais; consequentemente, a aberração esférica deve ser eliminada para duas cores e, se isso for impossível, deve ser eliminada para os comprimentos de onda específicos que são mais eficazes para o instrumento em questão (uma representação gráfica desse erro é dada em M. von Rohr, Theorie und Geschichte des photographischen Objectivs ).

A condição para a reprodução de um elemento de superfície no lugar de um ponto nitidamente reproduzido - a constante da relação senoidal também deve ser preenchida com grandes aberturas para várias cores. E. Abbe conseguiu computar as objetivas do microscópio sem erros do ponto do eixo e satisfazendo a condição seno para várias cores, que portanto, segundo sua definição, eram aplanáticas para várias cores ; tais sistemas ele chamou de apocromáticos . Embora, no entanto, a ampliação das zonas individuais seja a mesma, não é a mesma para o vermelho e para o azul; e há uma diferença cromática de ampliação. Este é produzido na mesma quantidade, mas em sentido contrário, pelas oculares, que Abbe utilizava com essas objetivas ( oculares de compensação ), de modo que é eliminado na imagem de todo o microscópio. As melhores objetivas telescópicas e objetivas fotográficas destinadas ao trabalho em três cores também são apocromáticas, mesmo que não possuam exatamente a mesma qualidade de correção que as objetivas microscópicas. As diferenças cromáticas de outros erros de reprodução raramente têm importância prática.

Veja também

• Aberrações do olho
• Telescópio óptico # As cinco aberrações Seidel
• Codificação Wavefront

Referências

links externos

• Objetivos do microscópio: seção de Aberrações ópticas do site Expressões moleculares , Michael W. Davidson, Mortimer Abramowitz, Olympus America Inc. e The Florida State University